用户: TravorLZH/从整数到算术基本定理

1整数的定义

环公理

加法公理

在集合 $\mathbb{Z}$ 上我们定义封闭的二元运算 $+:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$ 并使其满足下列性质:

1.	加法交换律: 对于所有的 $a,b\in \mathbb{Z}$ 均有 $a+b=b+a$.
2.	加法结合律: 对于所有的 $a,b,c\in \mathbb{Z}$ 均有 $(a+b)+c=a+(b+c)$.
3.	加法幺元: 存在 $b\in \mathbb{Z}$ 使得对于所有的 $a\in \mathbb{Z}$ 均有 $a+b=a$, 记 $b$ 为 $0$.
4.	加法逆元: 对于所有的 $a\in \mathbb{Z}$ 均存在 $b\in \mathbb{Z}$ 使 $a+b=0$, 记 $b$ 为 $-a$.

从抽象代数的观点来看, $(\mathbb{Z},+)$ 构成一个 Abel 群.

乘法公理

在集合 $\mathbb{Z}$ 上我们再定义封闭的二元运算 $\cdot :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$ 并要其其满足下列公理:

1.	乘法交换律: 对于所有的 $a,b\in \mathbb{Z}$ 均有 $a\cdot b=b\cdot a$.
2.	乘法结合律: 对于所有的 $a,b,c\in \mathbb{Z}$ 均有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
3.	乘法幺元: 存在 $b\in \mathbb{Z}$ 使得对于所有的 $a\in \mathbb{Z}$ 均有 $a\cdot b=a$, 记 $b$ 为 $1$.
4.	乘法分配律: 对于所有的 $a,b,c\in \mathbb{Z}$ 均有 $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

前三条公理使 $(\mathbb{Z},\times )$ 成为了交换幺半群, 结合第四条公理便可发现 $(\mathbb{Z},+,\times )$ 构成一个交换环. 因此这两节定义出来的八条公理被统称为 $\mathbb{Z}$ 的环公理 (ring axioms) .

序公理

我们定义集合 ${\mathbb{Z}}^{+}$ 为正整数集, 其满足:

1.	运算封闭: 对于所有的 $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$, 有 $a+b\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 和 $a\cdot b\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
2.	$0\notin {\mathbb{Z}}^{+}$.
3.	对于所有 $a\in \mathbb{Z}$, 其必满足 $a=0$、$a\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 和 ${\mathbb{Z}}^{-}$ 中的一个.

良序原理

若集合 $S$ 非空且 $\subset {\mathbb{Z}}^{+}$ 则存在 $m\in S$ 使 $x\ge m$ 对于一切 $x\in S$ 都成立.

2整除与素数

定义 2.1 (整除). 对于 $a,b\in \mathbb{Z}$, 我们称 $a|b$ 当且仅当存在 $c\in \mathbb{Z}$ 使 $b=ca$.

推论 2.2. 对于 $a,b,c\in \mathbb{Z}$, 若 $a|b$ 且 $b|c$ 则 $a|c$.

从这个定义中我们可以看出对于所有的 $a\in \mathbb{Z}$ 均有 $\pm 1|a$、$\pm a|a$ 以及 $a|0$. 由此我们可以再定义一类新的数:

定义 2.3 (素数). 我们称 $p\in {\mathbb{Z}}^{+}\setminus \{1\}$ 为素数当且仅当其只能被 $\pm 1$ 和 $\pm p$ 整除.

同余与素数个数无穷

定义 2.4 (同余). 对于 $m\in \mathbb{Z}$, 我们称 $a,b\in \mathbb{Z}$ 同余当且仅当 $m|(a-b)$, 记作 $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.

利用同余的符号, 我们就可以轻便地证明素数有无穷个了.

引理 2.5. 若 $a\in \mathbb{Z}\setminus \{-1,1\}$, 则必存在素数 $p$ 满足 $p|a$.

证明. 现在我们定义集合: $$S=\{b:b\in {\mathbb{Z}}^{+}\setminus \{1\},b|a\}$$则可以发现 $a\in S\subset {\mathbb{Z}}^{+}$, 所以根据良序原理可知 $S$ 存在最小值, 记之为 $q$. 倘若 $q$ 不为素数则存在 $1<m<q$ 使得 $m|q$. 再由 $q|a$ 得 $m|a$. 这意味着 $m\in S$ 且 $m<q$, 从而产生矛盾.

$\square$

定理 2.6 (Euclid). 素数有无穷多个.

证明. 我们将采用反证法来证明这个结论. 假设只有 $n$ 个素数 $p_1,p_2,\dots ,p_n$, 则当$$a_n=p_1{p}_2\cdots p_n+1$$时 $a_n>1$ 且对于每个 $1\le i\le n$ 均有$$a_n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i)$$但这与引理 2.5 矛盾.

$\square$

3算术基本定理

定理 3.1. 若 $a\in {\mathbb{Z}}^{+}\setminus \{1\}$ 则 $a$ 是素数的乘积.

证明. 我们用 $S$ 表示 ${\mathbb{Z}}^{+}\setminus \{1\}$ 中不能被表为素数乘积的整数集合, 则需证明 $S$ 为空集.

假设 $S$ 不为空, 则根据 $S\subset {\mathbb{Z}}^{+}$, 我们可以通过良序原理得知 $S$ 存在最小元 $m$. 根据引理 2.5, 我们知道存在素数 $p$ 和正整数 $k<m$ 使得 $m=pk$.

•	当 $k$ 为素数的乘积时根据上述定义可知 $m$ 亦为素数之积, 从而产生矛盾.
•	当 $k$ 不为素数的乘积则 $k\in S$ 且 $m\in S$, 这与 $m$ 为 $S$ 最小元产生矛盾.

综上所述, $S$ 必然为空集.

$\square$