Abel 群

Abel 群 (也称为交换群) 是一种代数结构, 指满足交换律的群, 也就是带有加法和减法运算的集合.

Abel 群与 $\mathbb{Z}$-模是等价的概念.

Abel 群以 Niels Abel 的名字命名, 因为 Abel 证明了以 Abel 群为 Galois 群的多项式方程可以用根式求解. 也就是说, Abel 群都是可解群.

1定义

定义 1.1 (Abel 群). Abel 群是满足以下交换律的群 $G$: $$ab=ba,\forall a,b\in G.$$此时, 有时也将群的乘法称为加法, 记为 $+$ , 将群的单位元记为 $0$, 并将元素 $a$ 的逆元记为 $-a$, 称为 $a$ 的相反元.

等价地说, Abel 群是四元组 $(G,0,+,-)$, 其中

•	$G$ 是集合.
•	$0\in G$ 是一个元素, 称为单位元或零元.
•	$+:G\times G\to G$ 是 $G$ 上的二元运算, 称为加法.
•	$-:G\to G$ 是 $G$ 上的一元运算, 称为逆.

它们满足以下条件:

•	(结合律) 对任意 $a,b,c\in G$, 有$$(a+b)+c=a+(b+c),$$从而这个结果可以无歧义地记成 $a+b+c$.
•	(交换律) 对任意 $a,b\in G$, 有$$a+b=b+a.$$
•	(单位律) 对任意 $a\in G$, 有$$0+a=a.$$
•	(逆元) 对任意 $a\in G$, 有$$a+(-a)=0.$$

对 $a,b\in G$, 我们也将 $a+(-b)$ 记为 $a-b$, 并称为减法.

在无歧义时, 此四元组也被简记为 $(G,+)$ 或 $G$.

注 1.2. 等价地, Abel 群是群范畴中的群对象. 这被称为 Eckmann–Hilton 论断.

定义 1.3. 所有 Abel 群构成一范畴, 其为群范畴的满子范畴, 记为 $\mathsf{Ab}$.

2性质

基本性质

命题 2.1. Abel 群的子群均为正规子群. 从而 Abel 群可以对其任意子群作商.

表示论

参见: Abel 群表示论

Abel 群, 尤其是有限 Abel 群的常表示论性质良好, 它的每个表示都是一维表示的直和.

命题 2.2. 有限 Abel 群的表示常表示都是 $1$ 维的, 对 $n$ 阶的循环群, 它的全体特征由某一生成元打到的 $n$ 次单位根唯一确定.

对 $n$ 阶的有限 Abel 群, 可将它写成循环群的直和 $G={⨁}_{k=1}^r{G}_k$, 通过确定每个循环分量 $G_k$ 上生成元的像, 能确定整个 $G$ 上的特征. 因此它恰有 $n$ 个特征.

3例子

•	平凡群是 Abel 群.
•	循环群是 Abel 群.
•	对任意群, 其可以通过交换化得到 Abel 群.

4相关概念

•	换位子群
•	交换化
•	循环群
•	自由 Abel 群
•	加性范畴
•	Abel 范畴

术语翻译

Abel 群 • 英文 abelian group • 德文 abelsche Gruppe • 法文 groupe abélien