幺半群

幺半群是一种代数结构, 是指带有乘法运算的集合, 其中乘法满足结合律, 并且有单位元.

幺半群与范畴论有着密切联系. 一方面, 幺半群的胚化 (即 “幺半群胚”) 就是范畴. 因此, 在任何范畴中, 对象到自身的所有态射构成幺半群. 另一方面, 幺半群的范畴化, 即幺半范畴, 是范畴代数的基础.

幺半群也可以用算畴的语言来描述, 它是集合范畴 $(\mathsf{Set},\times )$ 上的结合算畴代数. 使用这种观点, 可以定义幺半范畴中幺半群的推广, 即幺半对象. 进一步, 如果考虑 $\infty$-算畴, 还可以定义幺半群在高阶代数理论中的推广, 即 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数或 ${\mathbb{E}}_1$-代数.

1定义

经典定义

定义 1.1 (幺半群). 幺半群是三元组 $(M,1,\cdot )$, 其中

•	$M$ 是集合.
•	$1\in M$ 是一个元素, 称为单位元或幺元.
•	$\cdot :M\times M\to M$ 是一个二元运算, 通常记为 $(x,y)\mapsto x\cdot y$ 或 $xy$, 称为乘法.

它们满足以下条件:

•	(结合律) 对任何 $x,y,z\in M$, 有$$(xy)z=x(yz),$$从而这个结果可以无歧义地记成 $xyz$.
•	(单位律) 对任何 $x\in M$, 有$$1x=x=x1.$$

在不引起歧义的情况下, 这个三元组也被简记为 $(M,\cdot )$ 或 $M$.

等价定义

•	幺半群是含有单位元的半群.
•	幺半群是集合范畴 $(\mathsf{Set},\times )$ 中的幺半对象, 也是其上的结合算畴代数.
•	幺半群是只有一个对象的范畴. 也就是说, 幺半群的胚化 (即 “幺半群胚”) 就是范畴.

2例子

•	自然数关于加法构成幺半群 $(\mathbb{N},0,+)$; 正整数关于乘法构成幺半群 $({\mathbb{N}}_{>0},1,\cdot )$.
•	群就是每个元素都可逆的幺半群.
•	环关于它的乘法构成幺半群.
•	集合代数关于取交集构成幺半群, 关于取并集也构成幺半群.
•	在范畴中, 对象到自身的态射关于态射的复合构成幺半群.
•	一个字母表构成的所有单词关于单词的拼接构成幺半群.

3性质

(...)

4相关概念

•	幺半对象
•	幺半范畴
•	幺半余群
•	$H$ 空间
•	${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数
•	${\mathbb{E}}_1$-代数

术语翻译

幺半群 • 英文 monoid • 德文 Monoid (n) • 法文 monoïde (m) • 拉丁文 monoides (n) • 古希腊文 μονοειδές (n)