纤维化流形

纤维化流形是纤维丛的推广, 一个流形每个点上有一根纤维, 这些纤维可以不同.

纤维化流形可以视为相对观点下的流形.

1定义

定义 1.1. 纤维化流形是满浸没 $\pi :Y\to X$; 其中 $Y$ 称作全空间, $X$ 称作底空间.

对流形 $X$, 它上面的所有纤维化流形可以构成一个范畴.

定义 1.2. 给定光滑流形 $X$, 范畴 ${\mathsf{Fib}}_X$ 为以 $X$ 为底空间的纤维化流形的范畴, 其中的态射为交换图

在此范畴上有一些函子性的构造, 例如第 $r$ 射流函子 $J^r:{\mathsf{Fib}}_X\to {\mathsf{Fib}}_X$.

2例子

•	每个纤维丛都是纤维化流形.
•	特别地, 覆盖空间是具有离散纤维的纤维化流形.
•	$\pi :(R^2-\{0\})\to \mathbb{R}$ 是纤维化流形, 但不是纤维丛, 因为 $0$ 处的纤维与其它纤维不同伦等价.

3性质

在局部坐标上, 纤维化流形可以写成 Euclid 空间上的投影映射.

命题 3.1 (局部坐标). 设 $\pi :Y\to X$ 是满浸没, 那么通过 $Y$ 的任一点有局部截面. 并且可以在 $Y$ 的一点附近选取坐标系 $(x^{\mu },y^{\alpha })$, 使得 $\pi$ 在这个邻域内表示为 $(x^{\mu },y^{\alpha })\mapsto x^{\mu }$.

术语翻译

满浸没 • 英文 surjective submersion • 德文 surjektive Submersion • 法文 submersion surjective • 拉丁文 submersio superjectiva

全空间 • 英文 total space • 德文 Totalraum • 法文 espace total • 拉丁文 spatium totum

底空间 • 英文 base space • 德文 Basis (f) • 法文 base (f) • 拉丁文 basis (f)