相对观点

相对观点是数学中一种观点, 指在研究数学对象时不仅仅关注对象本身, 而关心它和其它对象的关系.

下面列出了数学中此一观点的应用:

•	在代数几何中, 考虑概形之间的态射 $X\to S$ 的性质而不仅仅是概形本身, 也就是将态射视为相对概形. 此时, 经典理论中许多代数簇的性质与构造可以推广到态射上, 例如光滑性、余切丛、上同调等, 称为 Grothendieck 相对观点. 使用这样的观点考虑一族代数簇, 即把上述 $X$ 视为一族由 $S$ 中的点参数化的、“连续变化的” 一族代数簇 $\{X_s\mid s\in S\}$, 由此可以研究一族代数簇之间的比较、代数簇的形变、模空间理论等.
•	在环论以及模论中, 考虑环在它的模上的作用以反映环本身的性质, 例如交换环的同调维数 (与交换环上的模范畴相关) 以及它本身的正则性和维数有紧密联系.
•	与上一条类似, 在表示论中, 考虑群、代数、Lie 代数等的表示以反映它们本身的性质. 群论中一些定理可以使用表示论方法证明, 例如 Burnside 定理. Tannaka–Krein 对偶表明这种观点是合理的, 因为可以通过一个代数的表示构成的范畴 (以及一些附加结构) 重构出这个代数本身.
•	在微分几何中考虑流形之间的映射, 并推广函数相关的构造, 例如微分被推广为切映射, 调和函数被推广为调和映射等等.

术语翻译

相对观点 • 英文 relative point of view • 德文 relativer Begriff • 法文 point de vue relatif