1.1. 景

在我们真正开始之前, 首先考虑如下问题, “为什么我们关心叠? ”

来回答这个问题, 我们首先后退一步, 来考虑模空间. 在几何中, 当我们学习一个几何对象时 (举例来说, 三角形, 椭圆曲线, 向量丛, 等等) , 一个很有帮助的技巧是考虑由所有这样的几何对象组成的空间 (举例来说, 三角形的模空间中, 每一个 “点” 都对应一个三角形) .

当这样一个空间存在时, 其被称之为 “模空间”. 我们首先考虑一个非常幼稚的例子, 来展现为什么这样的思维方式是有帮助的.

例 1.1.0.1. 我们考虑下述问题: 在域 $k$ 上的射影空间 ${\mathbb{P}}^2$ 中, 给定五个在一般位置的点, 那么有多少个 2 维的曲线 $C$ (换句话说, $C=V(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy+exz+fyz)$) 经过这五个点?

其答案是, 倘若五个点总是一般位置的话, 那么则只存在一个独特的 $C$. 我们使用模空间的思维来证明这一结论.

注意每一个这样的 $C$ 都是形如$$C=V(F(x,y,z))=\{(x,y,z):F(x,y,z)=0\}$$其中 $F(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy+exz+fyz$. 并且, 对于非零的 $\lambda$, 不难看出 $V(F)=V(\lambda F)$. 于是, 我们注意到了 ${\mathbb{P}}^2$ 中 2 维曲线的模空间由下述集合给出$${\mathcal{M}}_C=\{(a,b,c,d,e,f)\}/k^{\ast }$$其中等价关系为 $(a,b,c,d,e,f)\sim \lambda (a,b,c,d,e,f)$ 给出.

换句话说, $C$ 的模空间正好就是$${\mathcal{M}}_C={\mathbb{P}}^5$$

现在, 固定一个点 $p=(x_0:y_0:z_0)\in \mathbb{P}$, 则 $C=V(F)$ 包含 $p$ 当且仅当 $F(p)=0$. 这一非线性限制转换到一个对于 $(a,b,c,d,f)$ 的限制时, 便成为了一个线性限制条件. 准确来说, 我们只需要考虑超平面 $H_p:=\{C\in {\mathbb{P}}^5:p\in C\}$.

所以, 当我们给定五个一般位置的点 $p_1,...,p_5$ 时, 在模空间里, 我们仅仅是在计算五个超平面的交集. 但是从维度的角度考虑, 这五个点又是在一般位置, 所以当我们必然有 $H_{p_1}\cap ...\cap H_{p_5}$ 是一个单点集.

这证明了我们的结论.

上述十分简单的例子告诉了我们, 模空间是一个十分有用的几何对象. 这听起来十分美好, 不过我们只有一个小小的问题, 那就是, 在大多数情况下, 模空间不是概形! 他们一般都是叠.

比如下属例子中一个十分普遍的几何对象, 其模空间就不是概形.

例 1.1.0.2. 定义 $\mathcal{M}$ 为向量丛的模空间, 换句话说, 我们有映射 $X\to \mathcal{M}$ 一一对应 $X$ 上的向量丛.

那么, 假设 $\mathcal{M}$ 是一个概形. 接下来, 考虑应对 ${\mathbb{P}}^1$ 上的线从 $\mathcal{O}(1)$ 的映射 $\mathbb{P}\stackrel{\mathcal{O}(1)}{\to }\mathcal{M}$ 和对应结构层 $\mathcal{O}$ 的映射 ${\mathbb{P}}^1\stackrel{\mathcal{O}}{\to }\mathcal{M}$. 注意 ${\mathbb{P}}^1$ 存在仿射开覆盖 $U_1\cup U_2$, 其中 $U_i={\mathbb{A}}^1$. 于是我们得到$$U_1{\mathbb{P}}^1\mathcal{M}\mathcal{O}(1){|}_{U_1}\mathcal{O}(1)$$$$U_2{\mathbb{P}}^1\mathcal{M}\mathcal{O}(1){|}_{U_2}\mathcal{O}(1)$$其中我们有 $\mathcal{O}(1){|}_{U_1}=\mathcal{O}{|}_{U_1}$ 和 $\mathcal{O}(1){|}_{U_2}=\mathcal{O}{|}_{U_2}$.

所以, 假如 $\mathcal{M}$ 是概形的话, 则因为对于概形映射来说, $f{|}_{U_i}=g{|}_{U_i}$ 意味着 $f=g$, 于是我们得到 $\mathcal{O}\cong \mathcal{O}(1)$, 一个矛盾.

所以, 上述空间 $\mathcal{M}$ 不能是概形.

现在, 我们考虑一些直观的理解. 对于模空间来说, 一个映射 $X\to M$ 对应一个 $X$ 上的几何对象. 如果 $\mathcal{M}$ 是一个概形, 则 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Sch}}(X,\mathcal{M})$ 会是一个集合. 而另一边, 倘若 $\mathcal{M}$ 是一个叠, 则 $\mathrm{Hom}(X,\mathcal{M})$ 将会是一个范畴. 比如上述例子中的向量丛的模空间中, 我们应该要有 $\mathrm{Hom}(X,\mathcal{M})$ 为 $X$ 上向量丛的范畴. 在普遍的范畴中, 我们不再有 $f{|}_U=g{|}_U$ 意味着 $f=g$, 于是上述例子中出现的问题被解决了.

代数叠的定义由两部分构成:

1.	范畴论上的叠 (范畴叠) : 我们需要定义层的类比, 准确来说, 我们需要定义纤维范畴.
2.	一些几何: 在范畴叠的基础上, 我们加入一些额外的限制条件, 使得范畴叠变为代数叠.

有了足够的动机, 我们现在开始正式地定义一些数学概念.

读者应该回忆一下他们在幼儿时代学过的基础代数几何, 准确来说, 是关于预层的定义 (也就是, 对于每一个 $X$ 里的开集, 我们有一个集合, 并且有限制映射, 等等等等) . 我们在这里抛出一个更加范畴论的等价定义:

定义 1.1.0.3. 对于任意范畴 $\mathcal{C}$, 一个 $\mathcal{C}$ 上的预层是一个函子$$\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{opp}\to \mathsf{Set}$$我们把所有 $\mathcal{C}$ 上预层组成的范畴记作 $\hat{\mathcal{C}}$ 或者 $\mathsf{Pre}(\mathcal{C})$.

定理 1.1.0.4 (米田引理). 对于任意范畴 $\mathcal{C}$, 由 $X\mapsto h_X:=\mathrm{Hom}(-,X)$ 给出的映射 $\mathcal{C}\to \mathsf{Pre}(\mathcal{C})$ 是一个嵌入.

证明. 参见米田引理

$\square$

例 1.1.0.5. 对于拓扑空间 $X$, 考虑范畴 $\mathsf{Op}(X)$, 其中对象为 $X$ 的开集, 态射为 $U\to V\iff U\subseteq V$. 则不难看出 $\mathsf{Op}(X)$ 上的预层和基础代数几何中定义的预层一致.

米田引理一个十分方便的地方在于, 我们可以把 $\mathcal{C}$ 和 $\hat{\mathcal{C}}$ 中的对象放在同一个交换图表里.

定义 1.1.0.6. 一个预层 $\mathcal{F}\in \hat{\mathcal{C}}$ 被称之为可表, 如果存在 $X\in \mathcal{C}$ 使得 $\mathcal{F}\cong h_X$.

接下来, 我们考虑层. 在基础代数几何中, 层是由预层加上两条 (或者说一条) 额外的的公理来定义的. 这一条件同样可以用范畴论来高度概括: 对于拓扑空间 $X$ 来说, 预层 $\mathcal{F}$ 是层当且仅当对于所有对象 $U={\bigcup }_i{U}_i$, 我们存在下述等化子图表$$\mathcal{F}(U){\prod }_i\mathcal{F}(U_i){\prod }_{i,j}\mathcal{F}(U_i\cap U_j)p{p}_1{p}_2$$其中 $p(f)=(f{|}_{U_i})$, 以及 $p_1(f_i)=(f_i{|}_{U_i\cap U_j}),p_2(f_i)=(f_j{|}_{U_i\cap U_j})$.

这一概念同样也可以拓展到一些特定的范畴上, 但是我们首先需要把一些类似拓扑的东西放在我们的范畴上.

准确来说, Grothendieck 提供的见解是, 我们可以把拓扑中的并集公理从窗户里丢出去, 从而来定义一类更加普遍的拓扑.

定义 1.1.0.7. 一个范畴 $\mathcal{C}$ 上的一个 Grothendieck 拓扑是下述数据: 对于每一个 $X\in \mathcal{C}$, 我们有一个集合 $\{Y\to X:Y\in \mathcal{C}\}$ 的幂集的子集 $\mathrm{Cov}(X)$, 其被称之为 $X$ 的覆盖, 并且满足如下条件:

1.	如果 $V\stackrel{\sim }{\to }X$, 则 $\{V\stackrel{\sim }{\to }X\}\in \mathrm{Cov}(X)$
2.	如果 $\{X_i\to X{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(X)$, 并且 $Y\to X$, 则纤维积 $Y{\times }_X{X}_i$ 存在, 并且 $\{X{\times }_X{X}_i\to Y{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(Y)$
3.	如果 $\{X_i\to X{\}}_{i\in I}$, 并且 $\{V_{ij}\to X_i{\}}_{j\in J_i}\in \mathrm{Cov}(X_i)$, 则 $\{V_{ij}\to X{\}}_{i,j}\in \mathrm{Cov}(X)$.

这三条定义在直觉上一一对应传统拓扑中的三条公理:

1.	第一个条件对应 $X$ 覆盖 $X$ 本身.
2.	第二个条件对应覆盖的拉回仍然是覆盖 (更加直观的来说, 在拓扑范畴 $\mathsf{Op}(X)$ 中, 我们有 $U_i{\times }_{U}V=U_i\cap V$, 换句话说, 在 $\mathsf{Op}(X)$ 里条件二就是说如果 $U=\bigcup U_i$ 和 $V\subseteq U$, 则我们有 $V=\bigcup U_i\cap V$).
3.	第三个条件对应覆盖的加细仍然是覆盖 (在 $\mathsf{Op}(X)$ 中, 这对应 $U={\bigcup }_i{U}_i$ 和 $U_i={\bigcup }_j{V}_{ij}$ 则 $U={\bigcup }_{ij}{V}_{ij}$)

定义 1.1.0.8. 一个景是一个范畴 $\mathcal{C}$ 加上一个在其之上的 Grothendieck 拓扑.

例 1.1.0.9. 一个小 Zariski 景是由 $\mathsf{Op}(X)$ 和由下述条件给出的 Grothendieck 拓扑$$\{U_i\to U{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(U)\iff U=\bigcup _{i\in I}U$$组成的景, 其中 $X$ 是一个概形 (而非任意拓扑空间).

例 1.1.0.10. 在这个例子中, 我们定义大 Zariski 景. 对于概形的范畴 $\mathsf{Sch}$ 和 $X\in \mathsf{Sch}$, 我们有 俯范畴 $\mathcal{C}:=\mathsf{Sch}/X$. 对于 $\mathcal{C}$, 考虑 Grothendieck 拓扑$$\{Y_i\to Y{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(Y\to X)\iff Y_i\hookrightarrow Y\text{为开浸入, 并且 }Y=\bigcup _{i\in I}{Y}_i$$这一个景被称之为大 Zariski 景.

现在, 我们已经见到了一大堆的定义和例子, 不过我们在继续之前, 先提一嘴为什么我们需要 Grothendieck 拓扑. 当初 Grothendieck 为了解决 Weil 猜想, 用了大量的上同调工具, 但是传统的概形上的拓扑仅仅是一个用来记录代数性质的小册子, 其十分粗糙的开集使得很多精细的拓扑论证都不太好用 (举例来说, 对于复流形来说, 层上同调理应和拓扑上同调总是对应的才好, 但是这不一定总是这个情况). 所以, 我们急需一种新的拓扑来使得我们可以进行更精密的操作, 而在很长一段时间的探索里, Grothendieck 终于确定了我们上述定义的拓扑是传统拓扑的一个良好的替代品.

定义 1.1.0.11. 让 $\mathcal{C}$ 是一个任意景. 一个预层 $\mathcal{F}\in \hat{\mathcal{C}}$ 是一个层, 如果对于所有的覆盖 $\{U_i\to U\}\in \mathrm{Cov}(U)$, 下述图表是一个等化子:$$\mathcal{F}(U){\prod }_i\mathcal{F}(U_i){\prod }_{i,j}\mathcal{F}(U_i\cap U_j)p{p}_1{p}_2$$

定理 1.1.0.12. 对于景 $\mathcal{C}$, 下述函子 $\mathrm{sh}(\mathcal{C}):\mathsf{Sh}(\mathcal{C})\hookrightarrow \mathsf{Pre}(\mathcal{C})$ 有一个左伴随函子, 其中 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C})$ 是所有 $\mathcal{C}$ 上层组成的范畴.

如果你很容易在范畴论的语言里淹死, 那么下述是一个更加明了的表示: 上面这个定理是在说, 对于任意一个预层 $\mathcal{F}\in \mathsf{Pre}(\mathcal{C})$, 存在 $\mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^a$, 其中 ${\mathcal{F}}^a\in \mathsf{Sh}(\mathcal{C})$, 使得对于所有的 $\mathcal{G}\in \mathsf{Sh}(\mathcal{C})$ 以及 $\mathcal{F}\to \mathcal{G}$, 我们有下述交换图表$$\mathcal{F}\mathcal{G}{\mathcal{F}}^a\exists !$$

这就是传统代数几何中的层化操作.

我们并不会在这里给出证明, 不过值得注意的是, 在传统代数几何中, 上述定理一般是通过定义 ${\mathcal{F}}^a(U)$ 为 ${\prod }_{p\in U}{\mathcal{F}}_p$ 的一个特殊子集来证明的. 在抽象的范畴论中, 这完全就是胡说八道, 因为我们甚至没有一个拓扑, 所以也就无法定义茎. 而这使得我们的证明大大地复杂化了.