1. 范畴与函子

范畴

在范畴论当中, 我们会频繁地使用图表的语言. 粗略地说, 一个图表指的是一些 ‘对象’ 和 ‘箭头’ 的集合; 我们将这些对象记为 $A,B,C,X,Y,\cdots$, 将箭头记为 $f,g,\cdots$, 例如:

我们用 $\circ$ 来表示箭头的复合. 如果在一个图表中, 对于任意两个对象, 它们之间任意路径上箭头的复合都相等, 我们称这个图表交换. 对于之前的两个例子而言, 它们交换当且仅当$$h=g\circ f{f}_2\circ f_1=g_2\circ g_1.$$

定义 1.1. 一个范畴 $\mathcal{C}$ 包含如下信息:

1.	一类对象: $\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ (我们称一个范畴是小的, 如果 $\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ 构成一个集合). 对于范畴 $\mathcal{C}$ 中的对象 $A$, 我们记 $A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$, 或直接记为 $A\in \mathcal{C}$.
2.	任意对象 $A,B$ 之间态射构成的集合: ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)$. 任意 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)$ 被称为 $A$ 到 $B$ 的一个态射, 记为$$A\stackrel{f}{\to }B\text{或}f:A\to B$$ 当在上下文中明确地指范畴 $\mathcal{C}$ 时, 我们也会将 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)$ 简记为 $\mathrm{Hom}(A,B)$.
3.	态射之间的复合操作 $\circ$ $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)\times {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(B,C)& \to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,C),\forall A,B,C\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})\\ f\times g& \mapsto g\circ f,\end{array}$$采用图表的语言, 可以表示如下:

这些信息满足以下公理:

1.	结合律: 态射满足 $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$, 并被直接记为 $h\circ g\circ f$. 结合律可表示为如下交换图表
2.	单位: 对任意 $A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$, 存在 $1_A\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,A)$, 称为 $A$ 的单位态射, 满足$$f\circ 1_A=f=1_B\circ f,\forall A\stackrel{f}{\to }B,$$也就是说, 我们有以下交换图表

定义 1.2. 范畴 $\mathcal{C}$ 的子范畴 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ (记为 ${\mathcal{C}}^{\prime }\subset \mathcal{C}$) 是满足如下条件的范畴:

1.	$\mathrm{Obj}({\mathcal{C}}^{\prime })\subset \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$
2.	${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\prime }}(A,B)\subset {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B),A,B\in \mathrm{Obj}({\mathcal{C}}^{\prime })$
3.	${\mathcal{C}}^{\prime }$ 继承了 $\mathcal{C}$ 中的复合操作.

我们称 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 为 $\mathcal{C}$ 的满子范畴, 如果 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\prime }}(A,B)={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B),\forall A,B\in \mathrm{Obj}({\mathcal{C}}^{\prime })$.

定义 1.3. 态射 $f:A\to B$ 是一个同构 (或是可逆的), 当且仅当存在态射 $g:B\to A$ 使得 $f\circ g=1_B$ 且 $g\circ f=1_A$, 即我们有如下交换图表两个对象 $A,B$ 是同构的, 当且仅当存在同构 $f:A\to B$.

例子 1.4. 我们会经常遇到下列范畴:

1.	$\mathcal{C}=\mathsf{Set}$, 集合的范畴: $$\mathrm{Obj}(\mathcal{C})=\{\text{集合}\},{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)=\{\text{集合的映射}A\to B\}.$$
2.	$\mathcal{C}={\mathsf{Vect}}_k$, 域 $k$ 上的向量空间的范畴: $$\mathrm{Obj}(\mathcal{C})=\{\text{k-向量空间}\},{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)=\{\text{k-线性映射}A\to B\}.$$${\mathsf{Vect}}_k$ 是 $\mathsf{Set}$ 的子范畴, 但并不是满的子范畴.
3.	$\mathcal{C}=\mathsf{Grp}$, 群的范畴: $$\mathrm{Obj}(\mathcal{C})=\{\text{群}\},{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)=\{\text{群同态}A\to B\}.$$它有一个满的子范畴是$$\mathsf{Ab},\text{Abel 群的范畴}.$$
4.	$\mathcal{C}=\mathsf{Ring}$, 环的范畴: $$\mathrm{Obj}(\mathcal{C})=\{\text{环}\},{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)=\{\text{环同态}A\to B\}.$$$\mathsf{Ring}$ 是 $\mathsf{Ab}$ 的子范畴, 但不是它的满的子范畴. $\mathsf{Ring}$ 有一个满的子范畴是$$\mathsf{CRing},\text{交换环的范畴}.$$

我们主要感兴趣的范畴是$$\boxed{\mathsf{Top}:=\text{拓扑空间的范畴}}$$

•	构成这个范畴的对象是拓扑空间
•	范畴里对象间的态射 $f:X\to Y$ 是连续映射.

例子 1.5. 记 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 是两个范畴. 我们可以如下构造一个新的范畴, 记作 $\mathcal{C}\times \mathcal{D}$, 并把它称为范畴 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 的乘积.

•	范畴 $\mathcal{C}\times \mathcal{D}$ 中的对象是二元组 $(X,Y)$, 其中 $X\in \mathcal{C}$, $Y\in D$.
•	对象间的态射是二元组 $(f,g):(X_1,Y_1)\to (X_2,Y_2)$, 其中 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X_1,X_2)$, $g\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(Y_1,Y_2)$.
•	态射按分量复合.

商范畴与同伦

定义 1.6. 记 $\mathcal{C}$ 是一个范畴. 用 $\simeq$ 表示定义在每个态射集合 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B),A,B\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ 上的一个等价关系, 这个等价关系与态射间的复合映射在下述含义下相容$$f_1\simeq f_2,g_1\simeq g_2⟹g_1\circ f_1\simeq g_2\circ f_2.$$这种相容性可用下面的图表表示这样, 我们就说 $\simeq$ 在 $\mathcal{C}$ 上定义了一个等价关系. 由此, 我们可以定义商范畴 ${\mathcal{C}}^{\prime }=\mathcal{C}/\simeq$

•	$\mathrm{Obj}({\mathcal{C}}^{\prime })=\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$
•	${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\prime }}(A,B)={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)/\simeq ,\forall A,B\in \mathrm{Obj}({\mathcal{C}}^{\prime })$.

习题 1.7. 验证上述定义是良定义的.

在代数拓扑中, 同伦是最重要的等价关系之一.

记 $I=[0,1]$. 用 $X\times Y$ 表示拓扑空间 $X,Y$ 在范畴 $\mathsf{Top}$ 中的乘积.

定义 1.8. $\mathsf{Top}$ 中的两个态射 $f_0,f_1:X\to Y$ 是同伦的, 并被记为 $f_0\simeq f_1$, 如果$$\exists F:X\times I\to Y\text{使得}F{|}_{X\times \{0\}}=f_0\text{且}F{|}_{X\times \{1\}}=f_1.$$在同伦 $F$ 需要被特别注明时, 我们也采用 $F:f_0\simeq f_1$ 或 $f_0\stackrel{F}{\simeq }{f}_1$ 这种记法. 这可以用如下图表描述为

记 $f:X\to Y$ 是 $\mathsf{Top}$ 中的一个态射. 我们定义它的同伦类为$$[f]:=\{g\in \mathrm{Hom}(X,Y)\mid g\simeq f\},$$并采用记号: $$\begin{array}{c}[X,Y]:=\mathrm{Hom}(X,Y)/\simeq .\end{array}$$

定理 1.9. 同伦在 $\mathsf{Top}$ 上定义了一个等价关系.

证明. 我们首先验证 $\simeq$ 在态射集合中定义了一个等价关系.

•	自反性: 将 $F$ 取成对任意 $t\in I$ 都满足 $F{\mid }_{X\times t}=f$ 的同伦.
•	对称性: 假定我们有一个同伦 $F:f_0\simeq f_1$. 那么如下 “逆转” $I$ 为即取 $\tilde{F}(x,t)=F(x,1-t):X\times I\to Y$, 这样就给出了这里所需要的 $f_1\simeq f_0$.
•	传递性: 假定我们有两个同伦 $F:f_0\simeq f_1$ 和 $G:f_1\simeq f_2$, 那么像下图所表示地将它们 “放” 在一起就给出 $\tilde{F}:f_0\simeq f_2$

我们接下来验证 $\simeq$ 与复合映射相容.

记 $f_0,f_1:X\to Y$ , 以及 $g_0,g_1:Y\to Z$. 假定 $f_0\stackrel{F}{\simeq }{f}_1$ 且 $g_0\stackrel{G}{\simeq }{g}_1$. 那么

根据传递性, 我们就证明了这里的相容性: $g_0\circ f_0\simeq g_0\circ f_1\simeq g_1\circ f_1$.

$\square$

我们将 $\mathsf{Top}$ 在同伦等价关系 $\simeq$ 下的的商范畴记为$$h\mathsf{Top}=\mathsf{Top}/\simeq$$其中的态射 ${\mathrm{Hom}}_{h\mathsf{Top}}(X,Y)=[X,Y]$.

定义 1.10. 两个拓扑空间 $X,Y$ 被称为具有相同的同伦型, 或称 $X,Y$ 同伦等价, 如果它们在 $h\mathsf{Top}$ 中是同构的.

例子 1.11. $\mathbb{R}$ 和 ${\mathbb{R}}^2$ 是同伦等价的, 但它们不是同胚的. 换言之, 它们在 $h\mathsf{Top}$ 中是同构的, 但在 $\mathsf{Top}$ 中是不同构的. 我们将看到, ${\mathbb{R}}^1$ 与 $S^1$ 不是同伦等价的.

我们也有如下相对同伦的概念.

定义 1.12. 设 $A\subset X\in \mathsf{Top}$, 态射 $f_0,f_1:X\to Y$ 满足 $f_0{|}_A=f_1{|}_A:A\to Y$. 我们称 $f_0$ 与 $f_1$ 相对于 $\mathbf{A}$ 同伦, 记为$$f_0\simeq f_1\mathrm{rel}A$$如果存在 $F:X\times I\to Y$ 使得$$F{|}_{X\times \{0\}}=f_0,F{|}_{X\times \{1\}}=f_1,F{|}_{A\times t}=f_0{|}_A,\forall t\in I.$$

函子

定义 1.13. 令 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 是两个范畴. 协变函子 (相应地, 反变函子) $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 由以下组成

1.	$F:\mathrm{Obj}(\mathcal{C})\to \mathrm{Obj}(\mathcal{D})$, $A\to F(A)$
2.	${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(F(A),F(B)),\forall A,B\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$. 我们记为$$A\stackrel{f}{\to }B⟹F(A)\stackrel{F(f)}{\to }F(B)$$(相应地, ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(F(B),F(A)),\forall A,B\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$, 记为$$A\stackrel{f}{\to }B⟹F(B)\stackrel{F(f)}{\to }F(A).)$$

满足以下性质

1.	$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ (相应地, $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$) 对任意可复合态射 $f,g$ (相应地, 反转右图中所有箭头).
2.	$F(1_A)=1_{F(A)},\forall A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$.

$F$ 是 忠实的 (相应地, 全的), 如果 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(F(A),F(B))$ 是单射 (相应地, 满射) $\forall A,B\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$. $F$ 是全忠实的, 如果 $F$ 既是忠实又是全的.

例子 1.14. 恒等函子 $1_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 对应的映射为$$1_{\mathcal{C}}(A)=A,1_{\mathcal{C}}(f)=f$$对任意对象 $A$ 和态射 $f$.

例子 1.15. $\forall X\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$,

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rcl}\mathrm{Hom}(X,-):\mathcal{C}& \to & \mathsf{Set},\\ A& \mapsto & \mathrm{Hom}(X,A)\end{array}\end{array}$$定义了一个协变函子并且$$\begin{array}{c}\begin{array}{rcl}\mathrm{Hom}(-,X):\mathcal{C}& \to & \mathsf{Set},\\ A& \mapsto & \mathrm{Hom}(A,X)\end{array}\end{array}$$定义了一个反变函子.

这两种函子叫作 (由 $X$ 表示的) 可表函子.

例子 1.16. 遗忘函子 $\mathsf{Grp}\to \mathsf{Set}$ (把一个群映射到它的群元素的集合) 可以用由一个生成元生成的自由群 $\mathbb{Z}$ 表示. 我们有集合同构$$G={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Grp}}(\mathbb{Z},G).$$

例子 1.17. 令 $G$ 是一个 Abel 群. 对于 $X\in \mathsf{Top}$, 我们将会研究它的 $n$ 阶 $G$-系数上同调 $H^n(X;G)$. 它定义了一个反变函子$$H^n(-;G):h\mathsf{Top}\to \mathsf{Set},X\to H^n(X;G).$$如果我们考虑由 CW 复形构成的子范畴, 我们将会看到这个函子可由 Eilenberg-Maclane 空间 $K(G,n)$ 表示.

例子 1.18. 我们定义一个反变函子$$\mathrm{Fun}:\mathsf{Top}\to \mathsf{Ring},X\to \mathrm{Fun}(X)={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Top}}(X,\mathbb{R}).$$$\text{Fun}(X)$ 是 $X$ 上连续的实函数. Gelfand–Kolmogoroff 的一个经典结果说两个紧 Hausdorff 空间 $X,Y$ 是同胚的 (即在 $\mathsf{Top}$ 中同构) 当且仅当 $\mathrm{Fun}(X)$ 和 $\mathrm{Fun}(Y)$ 是环同构 (即在 $\mathsf{Ring}$ 中同构).

命题 1.19. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是一个函子. 假设 $f:A\to B$ 是一个在 $\mathcal{C}$ 中的同构, 那么 $F(f):F(A)\to F(B)$ 是一个在 $\mathcal{D}$ 中的同构.

证明. 留作练习自证.

$\square$

自然变换

定义 1.20. 令 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 是两个范畴并且 $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是两个函子. 自然变换 $\tau :F\Rightarrow G$ 由以下态射组成

$$\tau =\{{\tau }_A:F(A)\to G(A)|\forall A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})\}$$使得对任意 $A,B\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ 以下图表交换 (此处 $f:A\to B$ 如果 $F,G$ 协变, $f:B\to A$ 如果 $F,G$ 反变)

$\tau$ 被称为自然同构, 如果对于任意的 $A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C}),{\tau }_A$ 是同构, 并且我们记 $F\simeq G$.

例子 1.21. 我们考虑以下两个函子$${\mathrm{GL}}_n,(-{)}^{\times }:\mathsf{CRing}\to \mathsf{Grp}.$$对于交换环 $R\in \mathsf{CRing}$, ${\mathrm{GL}}_n(R)$ 为元素在 $R$ 中的可逆 $n$ 阶矩阵构成的群, 而 $R^{\times }$ 是 $R$ 的可逆元构成的乘法群. 我们可以等同 $(-{)}^{\times }={\mathrm{GL}}_1$.

行列式定义了自然变换$$\det :{\mathrm{GL}}_n\Rightarrow (-{)}^{\times }$$其中 ${\det }_R:{\mathrm{GL}}_n(R)\to R^{\times }$ 是矩阵的行列式. $\det$ 的自然性源于这样的一个事实, 即行列式的公式对于任何的系数环都是相同的. 如此, 我们可以说取矩阵的行列式是一种自然的运算.

例子 1.22. 令 $A,B\in \mathcal{C}$ 和 $f:A\to B$. 我们有

•	一个自然变换$$f_{\ast }:\mathrm{Hom}(-,A)\Rightarrow \mathrm{Hom}(-,B)$$关于 (反变) 可表函子 $\mathrm{Hom}(-,A),\mathrm{Hom}(-,B):\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$.
•	一个自然变换$$f^{\ast }:\mathrm{Hom}(B,-)\Rightarrow \mathrm{Hom}(A,-)$$关于 (协变) 可表函子 $\mathrm{Hom}(A,-),\mathrm{Hom}(B,-):\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$.

例子 1.23. 以上例子是下面构造的特殊情况. 令 $A\in \mathcal{C}$.

•	令 $F:\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$ 为反变函子. 那么任意 $\phi \in F(A)$ 诱导自然变换$$\mathrm{Hom}(-,A)\Rightarrow F$$通过对 $f\in \mathrm{Hom}(B,A)$ 指定 $F(f)(\phi )\in F(B)$.
•	令 $G:\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$ 为协变函子. 那么任意 $\phi \in G(A)$ 诱导自然变换$$\mathrm{Hom}(A,-)\Rightarrow G$$通过对 $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ 指定 $G(f)(\phi )\in G(B)$.

定义 1.24. 令 $F,G,H:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是函子并且 ${\tau }_1:F\Rightarrow G,{\tau }_2:G\Rightarrow H$ 是两个自然变换. 它们的合成 ${\tau }_2\circ {\tau }_1$ 是如下定义的从 $F$ 到 $H$ 的自然变换$$({\tau }_2\circ {\tau }_1{)}_A:F(A)\stackrel{{\tau }_1}{\to }G(A)\stackrel{{\tau }_2}{\to }H(A),\forall A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C}).$$

定义 1.25. 两个范畴 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 被称为是同构的, 如果 $\exists F:\mathcal{C}\to \mathcal{D},G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 使得 $F\circ G=1_{\mathcal{D}},G\circ F=1_{\mathcal{C}}$. 两个范畴被称为是等价的, 如果 $\exists F:\mathcal{C}\to \mathcal{D},G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 和两个自然同构 $F\circ G\simeq 1_{\mathcal{D}},1_{\mathcal{C}}\simeq G\circ F$. 在这些情况下, 我们说 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 给出了范畴的同构/等价.

在应用中, 同构对于绝大部分有趣的函子过于严格, 不甚实用. 而等价则更加现实, 并且本质上同样好. 以下命题在实践中十分有用.

命题 1.26. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是范畴等价. 那么 $F$ 全忠实.

函子范畴

定义 1.27. 令 $\mathcal{C}$ 是小范畴, $\mathcal{D}$ 是一个范畴. 我们定义函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$

•	对象: 从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的函子$$F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}.$$
•	态射: 两个函子之间的自然变换 (这确实是一个集合因为 $\mathcal{C}$ 是小范畴).

下面的 Yoneda 引理在范畴论和应用中有着根本性的作用.

定理 1.28 (Yoneda 引理). 令 $\mathcal{C}$ 是一个范畴, $A\in \mathcal{C}$. 考虑两个函子$$h^A={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(-,A):\mathcal{C}\to \mathsf{Set},h_A={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,-):\mathcal{C}\to \mathsf{Set}.$$

1.	反变版本: 令 $F:\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$ 是反变函子. 那么有集合间的同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set})}\left(h^A,F\right)=F(A).$$这个同构对 $A$ 满足函子性.
2.	协变版本: 令 $G:\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$ 是协变函子. 那么有集合间的同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set})}\left(h_A,G\right)=G(A).$$这个同构对 $A$ 满足函子性.

对 $A$ 满足函子性准确的含义是我们有 $\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$ 之间函子的自然同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set})}\left(h^{(-)},F\right)\simeq F(-),{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set})}\left(h_{(-)},G\right)\simeq G(-).$$上面 Yoneda 引理中所要求的同构就是例 1.23 中描述的那些映射.

一个重要的结果是我们有集合同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set})}\left(h_A,h_B\right)={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,B),\forall A,B\in \mathcal{C}$$它对 $A$ 和 $B$ 都满足函子性. 这诱导了全忠实函子$$h_{(-)}:\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Set}).$$

对偶

范畴论中的许多概念和陈述都有对偶的描述. 这些对偶值得关注. 粗略地说, 一条范畴论表述的对偶就是反转所有态射箭头, 将每个关于来源的描述更改为关于目标的描述 (反之亦然), 并反转复合顺序的结果.

例如, 令 $\mathcal{C}$ 是一个范畴. 我们能够定义它的对偶范畴 ${\mathcal{C}}^{\text{op}}$ 为

•	$\mathrm{Obj}({\mathcal{C}}^{\text{op}})=\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$;
•	$f:A\to B$ 是 ${\mathcal{C}}^{\text{op}}$ 中的态射当且仅当 $f:B\to A$ 是 $\mathcal{C}$ 中的态射;
•	${\mathcal{C}}^{\text{op}}$ 中两个态射的复合 $g\circ f$ 和 $\mathcal{C}$ 中的复合 $f\circ g$ 相同.

反变函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 和协变函子 $F:{\mathcal{C}}^{\text{op}}\to \mathcal{D}$ 是一回事. 据此, 我们可以完全只考虑协变函子或只考虑反变函子. 例如如果我们考虑对偶范畴, Yoneda 引理中的两条陈述实际上是相同的.

又例如, 我们将会经常考虑提升问题, 即寻找态射 $F:X\to E$ 使得以下图表交换

其对偶问题就是扩张问题, 即寻找态射 $G$ 使其对偶图表交换

伴随函子

令 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 为两个范畴, 令 $L:\mathcal{C}\to \mathcal{D},R:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 为两个 (协变) 函子. 以下规则$$(A,B)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L(A),B),(A,B)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,R(B)),A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C}),B\in \mathrm{Obj}(\mathcal{D})$$定义了两个函子$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L(-),-),{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(-,R(-)):{\mathcal{C}}^{\text{op}}\times \mathcal{D}\to \mathsf{Set}.$$我们称 $L$ 和 $R$ 互为伴随 (更准确地说, $L$ 是左伴随, $R$ 是右伴随), 如果存在自然同构$$\tau :{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L(-),-)\simeq {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{}}(-,R(-));$$也就是说, 对每个 $A\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C}),B\in \mathrm{Obj}(\mathcal{D})$, 我们有集合同构$${\tau }_{A,B}:{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(L(A),B)={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,R(B))$$并且这个同构对 $A$ 和 $B$ 都满足函子性. 我们有时将伴随函子写成

例子 1.29 (自由 vs 忘却). 令 $X$ 为一个集合, $F(X)=\underset{x\in X}{⨁}\mathbb{Z}$ 为 $X$ 生成的自由 Abel 群. 这定义了一个函子$$\text{Free}:\mathsf{Set}\to \mathsf{Ab},X\to F(X).$$“忘掉群结构” 这一操作定义了另一个函子 (这类函子常常被称为忘却函子)$$\text{Forget}:\mathsf{Ab}\to \mathsf{Set},A\to A.$$这两个函子互为伴随实际上, 数学中许多 " 自由构造 " 都是某些忘却函子的左伴随.

命题 1.30. 令为伴随函子. 则存在自然变换$$1_{\mathcal{C}}\Rightarrow R\circ L,L\circ R\Rightarrow 1_{\mathcal{D}}.$$

证明. 对 $A\in \mathcal{C}$, 我们要找的态射 $A\to RL(A)$ 在伴随下对应于单位态射 $1_{L(A)}:L(A)\to L(A)$. 用类似方法可以构造 $L\circ R\Rightarrow 1_{\mathcal{D}}$ .

$\square$

$1_{\mathcal{C}}\Rightarrow R\circ L$ 被称作伴随的单位. $L\circ R\Rightarrow 1_{\mathcal{D}}$ 被称作伴随的余单位.

术语翻译

对象 • 英文 object

态射 • 英文 morphism

乘积 • 英文 product

商范畴 • 英文 quotient category

同伦 • 英文 homotopy

同伦型 • 英文 homotopy type

同伦等价 • 英文 homotopy equivalence