12. CW-复形

注 12.1. 本节或许应当与 CW 复形配合阅览.

CW 复形

回忆到 $S^n\hookrightarrow D^n$ 为满足同伦延拓性质的余纤维化, 其中 $D^n$ 为 $n$ 维圆盘且 $S^{n-1}=\partial D^n$ 为其边界, 即 $(n-1)$ 维球面. 令$$e^n=(D^n{)}^{\circ }=D^n-\partial D^n$$表示 $D^n$ 的内部, 该开圆盘称为 $n$ 维胞腔.
CW-复形所构成的范畴由可以被 $n$ 维胞腔 (像乐高一样, 具体由 $S^{n-1}\hookrightarrow D^n$) 所构建的拓扑空间所组成. 此外, 它具有很强的一般性 ¹.

定义 12.2. 空间 $X$ 的胞腔分解为一族 $X$ 的子空间$$\mathcal{E}=\{e_{\alpha }^n|\alpha \in J_n\}$$使得每个 $e_{\alpha }^n$ 均为 $n$ 维胞腔且有集合的无交并$$X=\coprod e_{\alpha }^n.$$$X$ 的 $n$ 维骨架为子空间$$X^n=\coprod _{\alpha \in J_m,m\le n}{e}_{\alpha }^n.$$

定义 12.3. CW 复形是指由 Hausdorff 空间以及其胞腔分解所构成的二元组 $(X,\mathcal{E})$, 使得

1.	特征映射: 对于每个 $n$ 维胞腔都有一个特征映射$${\Phi }_{e_{\alpha }^n}:D^n\to X$$使得其限制在 $(D^n{)}^{\circ }$ 上同胚于 $e_{\alpha }^n$ 且 ${\Phi }_{e_{\alpha }^n}(S^{n-1})\subset X^{n-1}$.
2.	C = 闭包有限性: 对于任意胞腔 $e\in \mathcal{E}$ 其闭包 $\bar{e}$ 只与有限个 $\mathcal{E}$ 中的胞腔相交.
3.	W = 弱拓扑: 考虑子集 $A\subset X$, 它是闭的当且仅当对于每个 $e\in \mathcal{E}$ 都有 $A\cap \bar{e}$ 在 $\bar{e}$ 中闭.

称 $X$ 为 $n$ 维 CW-复形, 指 $\mathcal{E}$ 中胞腔的维数最大为 $n$ 的 CW 复形.

注意到 $X$ 的 Hausdorff 性质说明对于每个胞腔 $e\in \mathcal{E}$ 都有 $\bar{e}={\Phi }_e(D^n)$. 满射 ${\Phi }_e:D^n\to \bar{e}$ 为商映射是因为 $D^n$ 为紧空间且 $\bar{e}$ 是 Hausdorff 的. 记全体特征映射为$$\Phi :\coprod _{e\in \mathcal{E}}{D}^n\stackrel{\coprod {\Phi }_e}{\to }X.$$由弱拓扑推知 $\Phi$ 是商映射. 由此推出以下命题.

命题 12.4. 令 $(X,\mathcal{E})$ 为 CW 复形. 则 $f:X\to Y$ 连续当且仅当$$f\circ {\Phi }_e:D^n\to Y$$对于每个 $e\in \mathcal{E}$ 都是连续的.

命题 12.5. 令 $(X,\mathcal{C})$ 为 CW 复形. 则任意 $X$ 的紧子空间都只与有限多个胞腔有交.

证明. 不妨设存在 $X$ 的紧子空间 $K$ 使其与无限多个胞腔有交. 令 $x_i\in K\cap e_i$, $i=1,2,\cdots$, 其中 $e_i$ 为不同的胞腔. 考虑子集$$Z_m=\{x_m,x_{m+1},\cdots \},m\ge 1.$$根据闭包有限性, 可知 $Z_m$ 与每个闭包 $\bar{e}$ 至多交于有限个点, 因此根据 Hausdorff 性可知其在 $\bar{e}$ 中是闭的. 由弱拓扑可知, $Z_m$ 为 $X$ 的闭子集, 因此在 $K$ 中闭. 观察到$$\bigcap _{m\ge 1}{Z}_m=\varnothing$$但是 $Z_m$ 的任意有限交都是非空的, 这与 $K$ 的紧性相矛盾.

$\square$

命题 12.6. 令 $(X,\mathcal{E})$ 为 CW 复形且 $X^n$ 为 $n$ 维骨架. 则 $X$ 为以下 (望远镜) 图表的余极限 (即正向极限) $$X^1\to X^2\to \cdots \to X^n\to \cdots$$

证明. 由弱拓扑的泛性质可知 $f:X\to Y$ 连续当且仅当 $f{\mid }_{X^n}:X^n\to Y$ 对于每个 $n$ 都连续.

$\square$

命题 12.7. 令 $(X,\mathcal{E})$ 为 CW 复形. 则 $X$ 为紧生成弱 Hausdorff 空间.

证明. $X$ 为 Hausdorff 故自然弱 Hausdorff, 接下来说明 $X$ 为紧生成空间.
令 $Z\subset X$ 为 k-闭子空间, 因每个胞腔的闭包 $\bar{e}$ 都是紧 Hausdorff 的, $Z\cap \bar{e}$ 在 $\bar{e}$ 中闭.
弱拓扑推知 $Z$ 在 $X$ 中闭, 因此 $kX=X$.

$\square$

例 12.8. 以下是一些经典示例.

•	$n$ 维球面可以分解为 $0$ 维胞腔以及 $n$ 维胞腔此时, 有$$S^n=e^0\cup e^n$$
•	$n$ 维球面可以视为两个 $n$ 维胞腔以及一个 $n-1$ 维球面: 此时有$$\begin{array}{rl}{S}^n& =e_{+}^n\cup e_{-}^n\cup S^{n-1}\\ & =\left(e_{+}^n\cup e_{-}^n\right)\cup \left(e_{+}^{n-1}\cup e_{-}^{n-1}\right)\cup \cdots \cup \left(e_{+}^0\cup e_{-}^0\right)\end{array}$$
•	${\mathbb{R}}^n$ 网格/立方体分解为 $n$-立方体 $I^n\simeq D^n$.
•	${\mathbb{CP}}^n:({\mathbb{C}}^{n+1}-\{0\})/\sim$ 并且有$${\mathbb{CP}}^0\subset {\mathbb{CP}}^1\subset \cdots \subset {\mathbb{CP}}^{n-1}\subset \cdots \subset {\mathbb{CP}}^{\infty }.$$此外, $$\begin{array}{rl}{\mathbb{CP}}^n-{\mathbb{CP}}^{n-1}& =\{[z_0,\cdots ,z_n]:z_n\ne 0\}\\ & \simeq {\mathbb{C}}^n\simeq e^{2n}.\end{array}$$因此 ${\mathbb{CP}}^n$ 在 $0$ 到 $2n$ 的每个偶数维上都只有一个胞腔以及特征映射$$\begin{array}{rl}{\Phi }_{2n}:D^{2n}& \to {\mathbb{CP}}^n\\ (z_0,\cdots ,z_n)& \mapsto \left[z_0,\cdots ,z_{n-1}\sqrt{1-\sum _{i=0}^{n-1}|z_i{|}^2}\right]\end{array}$$

定义 12.9. CW 复形 $(X,\mathcal{E})$ 的子复形 $(X^{\prime },{\mathcal{E}}^{\prime })$ 定义为闭子空间 $X^{\prime }\subset X$ 以及胞腔分解 ${\mathcal{E}}^{\prime }\subset \mathcal{E}$. 在胞腔分解是自明的时候, 将其简写为 $X^{\prime }\subset X$. 我们也记 $X^{\prime }=|{\mathcal{E}}^{\prime }|$. 等价的说, 子复形被描述为子集 ${\mathcal{E}}^{\prime }\subset \mathcal{E}$ 使得$$e_1\in {\mathcal{E}}^{\prime },e_2\in \mathcal{E},{\bar{e}}_1\cap e_2\ne \varnothing \Rightarrow e_2\in {\mathcal{E}}^{\prime }.$$

例 12.10. $X$ 的 $n$ 维骨架 $X^n$ 就是维数 $\le n$ 的子复形.

粘接胞腔

定义 12.11. 给定 $f:S^{n-1}\to X$. 考虑推出我们称 $D^n{\coprod }_{f}X$ 为 $X$ 粘接上一个 $n$ 维胞腔. ${\Phi }_f$ 称为粘接 $n$ 维胞腔的特征映射.

图 1. 粘接一个胞腔

更一般的, 若有一族映射 $f_{\alpha }:S^{n-1}\to X$, 令 $f=\coprod f_{\alpha }$, 则推出称为往 $X$ 上粘接 $n$ 维胞腔.

例 12.12. $n$ 维球面 $S^n$ 可以由在一个点上粘接 $n$ 维胞腔得到

命题 12.13. 令 $(X,\mathcal{E})$ 为一个 CW 复形, 以及 $\mathcal{E}=\coprod {\mathcal{E}}^n$, 其中 ${\mathcal{E}}^n$ 为 $n$ 维胞腔构成的集合, 记 ${\Phi }_n={\coprod }_{e\in {\mathcal{E}}^n}{\Phi }_e$. 则图表为推出图表. 特别地, $X^n$ 由在 $X^{n-1}$ 上粘接 $X$ 的 $n$ 维胞腔得到.

证明. 由 $X^{n-1}$ 为 $X^n$ 的闭子空间以及弱拓扑立刻得到.

$\square$

该命题反过来也是正确的, 而下则定理可以视为 CW 复形的另一种定义.

定理 12.14. 若有空间的序列$$\varnothing :=X^{-1}\subset X^0\subset X^1\subset \cdots \subset X^n\subset X^{n+1}\subset \cdots$$其中 $X^n$ 由 $X^{n-1}$ 粘上 $n$ 维胞腔所得到. 令 $X={\bigcup }_{n\ge 0}{X}^n$ 为带有弱拓扑的并: $A\subset X$ 是闭的当且仅当对于每个 $n$, $A\cap X^n$ 在 $X^n$ 中是闭的. 则 $X$ 为 CW 复形.

该定理可以由以下引理直接得到

引理 12.15. 令 $X$ 为 $(n-1)$ 维 CW 复形且 $Y$ 为 $X$ 粘上 $n$ 维胞腔得到的空间, 则 $Y$ 为 $n$ 维 CW 复形.

证明. 我们需要对于 $Y$ 检查以下几条性质:

H:

$\square$

脚注

1.	^ 在英文原文中所述的是:“Moreover, it is large enough to cover most interesting examples.”

术语翻译

CW 复形 • 英文 CW complex

$n$ 维胞腔 • 英文 $n$-cell

胞腔分解 • 英文 cell decomposition

$n$ 维骨架 • 英文 $n$-skeleton