11. 余纤维化

余纤维化

定义 11.1. 映射 $i:A\to X$ 被称为对于 $Y$ 具有同伦延拓性质 (HEP) 若对于任意映射 $f:A\to B$ 以及任意使得 $F(-,0)=f\circ i$ 的同伦 $F:A\times I\to Y$, 都存在一个同伦 $\bar{F}:X\times I\to Y$ 使得$$\bar{F}(i(a),t)=F(a,t),F(x,0)=f(x),\forall a\in A,x\in X,t\in I.$$

定义 11.2. 若对于任意空间, 映射 $i:A\to X$ 都具有同伦延拓性质, 则称 $i$ 为余纤维化.

该定义与纤维化是相对偶的: 纤维化由图表的同伦提升性质所定义调转箭头并且借由 $Y\times I$ 与道路空间 $Y^I$ 相对偶这一事实 (由伴随 $(-)\times I⊣(-{)}^I$ 所得到), (根据指数律) 可以得到同伦延拓性质, 即

注 11.3. 为直观起见, 一般写为

定义 11.4. 令 $f:A\to X$. 定义其 映射柱 $M_f$ 为推出

图 1. 映射柱 $M_f$

此时存在由嵌入 $X\times \{0\}\to X\times I$ 以及 $f\times 1:A\times I\to X\times I$ 所诱导的自然映射 $j:M_f\to X\times I$. $M_f$ 的映射柱拓扑 (即推出拓扑) 说明 $g:M_f\to Z$ 连续当且仅当 $g$ 限制在 $X\times \{0\}$ 到 $A\times I$ 时是连续的.

引理 11.5. $i:A\to X$ 的同伦延拓性质等价于交换图的填充性质.

命题 11.6. 令 $i:A\to X$ 以及 $j:M_i\to X\times I$ 为如上定义的映射. 则 $i$ 是余纤维化当且仅当存在 $r:X\times I\to M_i$ 使得 $r\circ j=1_{M_i}$.

证明. 若 $i$ 为余纤维化, 取 $Y=M_i$, 根据上述引理可以给出所需的 $r$. 另一方面, 若 $r$ 存在, 则任意 $f:M_i\to Y$ 都可以提升为 $f\circ r$.

$\square$

命题 11.7. 令 $i:A\to X$ 为余纤维化. 则 $i$ 同胚于其像 (即 $i$ 为嵌入). 若我们在 $\underline{\mathcal{T}}$ 上工作, 此时 $A$ 和 $X$ 均为紧生成弱 Hausdorff 空间. 则 $i$ 有闭的像 (即为闭嵌入).

证明. 由前一命题可以得到以下交换图表由此推出 $M_i$ 同胚于 $j(M_i)$. 考虑以下交换图因 $A\to M_i$, $M_i\to X\times I$ 以及 $X\to X\times I$ 均为嵌入, 从而 $i:A\to X$ 也为嵌入.
现在假设 $A,X\in \underline{\mathcal{T}}$ 为紧生成弱 Hausdorff 空间. 根据命题 7.30, $j:M_i\to X\times I$ 为闭嵌入. 因 $A\to M_i$ 与 $X\to X\times I$ 均为闭嵌入, 因此 $i:A\to X$ 也为闭嵌入.

$\square$

注 11.8. 一般而言余纤维化不是闭的. 比方说考虑带有平凡拓扑的两点空间 $X=\{a,b\}$ 且 $A=\{a\}$ 为其中一点.

定义 11.9. 令 $A$ 为 $X$ 的子空间. 若嵌入 $A\subset X$ 是余纤维化, 则称 $(X,A)$ 是余纤维的.

命题 11.10. 令 $A$ 为 $X$ 的闭子空间. 则嵌入映射 $i:A\subset X$ 为余纤维化当且仅当 $X\times \{0\}\cup A\times I$ 为 $X\times I$ 的收缩核.

证明. 若 $i$ 闭, 则 $M_i$ 同胚于 $X\times I$ 的子空间 $X\times \{0\}\cup A\times I$.

$\square$

注 11.11. 若 $A\subset X$ 非闭, 则 $M_i$ 上的映射柱拓扑与 $X\times \{0\}\cup A\times I$ 的子空间拓扑未必一致. 举例明之, 选定$$X=[0,1],A=\{1,1/2,1/3,\cdots ,1/n,\cdots \}.$$考虑子空间 $Z=\{(1,1),(1/2,1/2),\cdots ,(1/n,1/n),\cdots \}\subset A\times I$. 则 $Z$ 在 $A\times I$ 中是闭的且 $Z\cap (X\times \{0\})=\varnothing$. 因此 $Z$ 在映射柱中是闭的, 但其在 $X\times \{0\}\cup A\times I$ 中并非如此.

例 11.12. 嵌入 $S^{n-1}\hookrightarrow D^n$ 是余纤维化, 参见图 2.

图 2. $D^n\times \{0\}\cup S^{n-1}\times I$ 作为 $D^n\times I$ 的收缩核

命题 11.13. 令 $f:A\to X$ 为任意映射. 则闭嵌入$$i_1:A\to M_f,a\mapsto (a,1)$$为余纤维化.

证明. 图 3 说明 $M_f\times \{0\}\cup A\times I$ 为 $M_f\times I$ 的收缩核. 因此 $i_1$ 是余纤维化.

图 3. $M_f\times I$ 的收缩核.

$\square$

例 11.14. 嵌入 $A\to A\times I$, $a\mapsto a\times \{0\}$ , 为余纤维化. 事实上, 可以将其视为$$A\to M_{1_A}$$其中 $1_A:A\to A$ 为恒等映射.

定义 11.15. 令 $A$ 为 $X$ 的子空间. $A$ 被称为邻域形变收缩核若存在连续映射 $u:X\to I$ 且 $A=u^{-1}(0)$ 以及同伦 $H:X\times I\to X$ 使得$$\{\begin{array}{lll}H(x,0)& =x,& \forall x\in X,\\ H(a,t)& =a,& \text{若 }(a,t)\in A\times I,\\ H(x,1)& \in A,& \text{若 }u(x)<1.\end{array}$$

注意到若 $A$ 是 $X$ 的邻域形变收缩核, 则 $A$ 是 $X$ 的某个作为 $u^{-1}([0,1))$ 的开子集的强形变收缩核.

定理 11.16. 若 $A$ 为 $X$ 的闭子空间. 则以下条件等价

1.	$(X,A)$ 为余纤维对.
2.	$A$ 是 $X$ 的邻域形变收缩核.
3.	$X\times \{0\}\cup A\times I$ 是 $X\times I$ 的形变收缩核.
4.	$X\times \{0\}\cup A\times I$ 是 $X\times I$ 的强形变收缩核.

证明. 我们已经观察到了 1. 和 3. 的等价性.

3. $\Rightarrow$ 2.	令 $r$ 为收缩映射$$r:X\times I\to X\times \{0\}\cup A\times I.$$令 ${\pi }_X:X\times I\to X$, ${\pi }_I:X\times I\to I$ 为投影. 可以通过$$u:X\to I,u(x)=\underset{t\in I}{\sup }|t-{\pi }_I\circ r(x,t)|$$以及$$H:X\times I\to X,H(x,t)={\pi }_X\circ r(x,t),$$得到邻域形变收缩核.
2. $\Rightarrow$ 3.	给定资料 $(u,H)$ 作为邻域形变收缩核. 定义收缩 $r:X\times I\to X\times \{0\}$ 为$$\{\begin{array}{lll}r(x,t)& =(x,0),& \text{若}u(x)=1,\\ r(x,t)& =(H(x,2(1-u(x))t),0),& \text{若}1/2\le u(x)<1,\\ r(x,t)& =(H(x,t/(2u(x))),0),& \text{若}0<u(x)\le 1/2,0\le t\le 2u(x),\\ r(x,t)& =(H(x,1),t-2u(x)),& \text{若}0<u(x)\le 1/2,2u(x)\le t\le 1,\\ r(x,t)& =(x,t),& \text{若}u(x)=0.\end{array}$$
4. $\Rightarrow$ 3.	显然.
3. $\Rightarrow$ 4.	令 $r:X\times I\to X\times \{0\}\cup A\times I$ 为收缩映射. 则以下同伦$$\begin{array}{rl}F:X\times I\times I& \to X\times \{0\}\cup A\times I\mathrm{rel}X\times \{0\}\cup A\times I\\ F(x,t,s)& =({\pi }_X\circ r(x,(1-s)t),(1-s){\pi }_I\circ r(x,t)+st).\end{array}$$给出强形变收缩核.

$\square$

基本性质

命题 11.17. 令 $i:A\to X$ 为余纤维化, $f:A\to B$ 为连续映射. 考虑推出则 $j:B\to Y$ 也为余纤维化. 换句话说, 推出保持余纤维化.

证明. 该命题证明与命题 5.15 互为对偶, 证明留作习题.

$\square$

命题 11.18. 令 $i:X\to Y$ 与 $j:Y\to Z$ 为余纤维化. 则 $j\circ i:X\to Z$ 也为余纤维化.

证明. 留作习题.

$\square$

命题 11.19. 若 $i:A\to X$ 为余纤维化且 $A$ 是可缩的, 则商映射 $X\to X/A$ 是同伦等价.

证明. 留作习题.

$\square$

下则命题对于构建同伦十分有益.

命题 11.20. 令 $A\subset X$ 与 $B\subset Y$ 为闭嵌入且均为余纤维化. 则嵌入$$X\times B\cup A\times Y\subset X\times Y$$也为余纤维化. 因此, $A\times B\to X\times Y$ 为余纤维化.

证明. 令 $u:X\to I$, $H:X\times I\to X$ 为 $A\hookrightarrow X$ 作为邻域收缩核的信息, 且 $v:Y\to I$, $K:Y\times I\to Y$ 为 $B\hookrightarrow Y$ 作为邻域收缩核的信息. 考虑映射$$\phi :X\times Y\to I,\phi (x,y)=\min \{u(x),v(y)\}.$$以及$$\Sigma :X\times Y\times I\to X\times Y,\Sigma (x,y,t)=\{\begin{array}{cc}(x,y),& \text{若 }u(x)=v(y)=0,\\ (H(x,t),K(y,t\frac{u(x)}{v(y)})),& \text{若 }u(x)\le v(y)\ne 0,\\ (H(x,t\frac{v(y)}{u(x)}),K(y,t)),& \text{若 }0\ne u(x)\ge v(y).\end{array}$$这样 $(\phi ,\Sigma )$ 给出 $X\times B\cup A\times Y\subset X\times Y$ 作为邻域形变收缩核的信息. 因此其为余纤维化. 取 $B=\varnothing$ 作为特例, 有 $A\times Y\to X\times Y$ 为余纤维化.
现在考虑推出图表由于每个箭头均为余纤维化, 而推出保余纤维化, 因此可知合成为余纤维化, 而后复合上前文内容可知 $A\times B\to X\times Y$ 为余纤维化.

$\square$

令 $f:A\to X$ 为映射. 考虑映射柱的图表有自然的交换图表此处 $i_1(a)=(a,1)$, $r(a,t)=f(a)$ 且 $r(x,0)=x$.
不难发现 $r$ 是同伦等价. 这就得到定理 9.4 的对偶情况.

定理 11.21. 映射 $r:M_f\to X$ 为同伦等价, 且 $i_1:A\to M_f$ 为余纤维化. 特别地, 任意映射 $f:A\to X$ 为余纤维化与同伦等价的复合.

定义 11.22. 令 $i:A\to X$, $j:A\to Y$ 为余纤维化. 映射 $f:X\to Y$ 称为余纤维映射若以下图表交换两个余纤维映射 $f,g:X\to Y$ 之间的余纤维同伦是指 $f$ 与 $g$ 之间与余纤维映射的同伦. 余纤维同伦等价的定义也是类似的.

以下结果为命题 9.6 的余纤维化类比.

命题 11.23. 令 $i:A\to X$ , $j:A\to Y$ 为余纤维化. 令 $f:X\to Y$ 为余纤维映射. 若 $f$ 为同伦等价, 则 $f$ 为余纤维同伦等价.

余纤维正合列

现在我们在范畴 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 与 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 上工作. 全体映射以及测试图表都要求选定基点.

定义 11.24. 考虑带点空间 $(X,x_0)$, 若其基点 $x_0\in X$ 的嵌入为在未选取基点时为余纤维化, 则称其为良基点的.

定义 11.25. 令 $(X,x_0)\in \underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ , 定义其 (约化) 锥为$$C_{\star }X=X\wedge Y=X\times Y/(X\times \{0\}\cup x_0\times I).$$

图 4. 约化锥 $C_{\star }X$

命题 11.26. 若 $X$ 为良基点的, 则由 $i_1(x)=(x,1)$ 给出的嵌入 $i_1:X\to C_{\star }X$ 为余纤维化.

定义 11.27. 令 $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)\in \underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$, 定义其 (约化) 映射柱为$$M_{\star f}=M_f/\{x_0\times I\}$$

图 5. 约化映射柱 $M_{\star f}$

若 $(X,x_0)$ 为良基点的, 则商 $M_f\to M_{\star f}$ 为同伦等价.
给定 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中的映射 $f:X\to Y$, 定义其 (约化) 同伦余纤维 $C_{\star f}$ 为推出若 $X$ 为良基点的, 则 $j:Y\to C_{\star f}$ 也为余纤维化. 注意到 $C_{\star f}$ 商去 $Y$ 恰为 $\Sigma X$. 因此可以将上述映射延拓为$$X\to Y\to C_{\star f}\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \Sigma C_{\star f}\to {\Sigma }^{2}X\to \cdots .$$

定义 11.28. 称 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中的一列映射$$\cdots \to X_{n+1}\to X_n\to X_{n-1}\to \cdots$$是余正合的, 指对于任意 $Y\in \underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 以下带点集合所构成的列是正合的$$\cdots \to [X_{n-1},Y{]}_0\to [X_n,Y{]}_0\to [X_{n+1},Y{]}_0\to \cdots .$$

定理 11.29 (余正合 Puppe 序列). 令 $f:X\to Y$ 为 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中良基点空间之间的映射. 则以下序列在 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中是余正合的$$X\to Y\to C_{\star f}\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \Sigma C_{\star f}\to {\Sigma }^{2}X\to \cdots .$$

引理 11.30. 令 $f:A\to X$ 为良基点空间之间的余纤维化. 则自然嵌入$$C_{\star }(A)\to C_{\star f}$$为余纤维化.

证明. 推出图表道明一切

$\square$

定理 11.31. 令 $f:A\to X$ 为良基点的带点空间之间的余纤维化. 则自然映射$$\bar{r}:C_{\star f}\to X/A$$为同伦等价. 换句话说, 余纤维同伦等价于同伦余纤维.

证明. 因 $C_{\star }(A)\to C_{\star f}$ 为余纤维化, 且 $C_{\star }(A)$ 可缩, 由命题 11.19 得知$$C_{\star f}\to C_{\star f}/C_{\star }(A)=X/A$$为同伦等价.

$\square$

定理 11.32. 令 $i:A\to X$ 为良基点带点空间之间的余纤维化, 则下列映射$$A\to X\to X/A\to \Sigma A\to \Sigma X\to \Sigma (X/A)\to {\Sigma }^{2}A\to \cdots$$在 $\underline{h{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中是余正合的.

术语翻译

同伦延拓性质 • 英文 homotopy extension property(HEP)

余纤维化 • 英文 cofibration

映射柱 • 英文 mapping cylinder

余纤维的 • 英文 cofibered

邻域形变收缩核 (NDR) • 英文 neighborhood deformation retract(NDR)

余纤维映射 • 英文 cofiber map

余纤维同伦 • 英文 cofiber homotopy

良基点 • 英文 well-pointed