2. 同调群的同伦不变性

2.1单纯逼近定理

希望对拓扑空间 $X,Y$, 若 $X\cong Y$, 则有 $H_p(X)\cong H_p(Y)$. 对可以三角剖分的拓扑空间, 存在复形 $K$ 使得 $X=\left|K\right|$. 于是希望 $\left|K\right|\cong \left|L\right|$ 时有 $H_p(\left|K\right|)\cong H_p(\left|L\right|)$. 一个自然的问题是如何定义 $H_p(\left|K\right|)$.

对任何 $\left|K\right|$ 的三角剖分 $K^{\prime },K^{\prime \prime }$, 有 $\left|K^{\prime }\right|=\left|K^{\prime \prime }\right|$ 成立, 于是定义 $H_p(\left|K\right|)=H_p(K)$ 即可.

考虑 $f\in C(\left|K\right|,\left|L\right|)$, 它未必是单纯映射. 我们希望找到单纯映射 $g:K\to L$ 使得 $\tilde{g}:\left|K\right|\to \left|L\right|$ 满足 $f=\tilde{g}$, 即寻找一个单纯映射用来 “代替” $f$.

定义 2.1.1 (单纯逼近). 设 $f:C(\left|K\right|,\left|L\right|)$, 称单纯映射 $g$ 是 $f$ 的单纯逼近, 若对任意 $x\in \left|K\right|$ 都有$$\exists !\sigma \in K(x\in \mathrm{Int}\sigma )\wedge \exists \tau \in L(f(x)\in \mathrm{Int}\tau \wedge g(x)\in \tau ).$$即 $f(x)$ 与 $g(x)$ 落在 $L$ 的同一个单形 $\tau$ 中.

命题 2.1.2. 设 $g$ 是 $f\in C(\left|K\right|,\left|L\right|)$ 的单纯逼近, 仍记它诱导的连续映射为 $g$, 则 $f\simeq g$. 更具体地, 若 $f$ 可以被单纯映射诱导, 则 $f=g$.

证明. 由单纯映射的定义可知存在 $\tau \in L$ 使得 $f(x),g(x)\in \tau$, 而单形 $\tau$ 是一个凸集. 于是总存在同伦$$H(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x).$$任取 $v\in K^{(0)}$, 因 $f$ 被单纯映射诱导, 于是 $f(v)\in L^{(0)}$. 而 $g$ 是 $f$ 的单纯逼近, 于是$$\forall v\in K^{(0)}(f(v)=w=g(v)\in L^{(0)}),$$这即 $f{|}_{K^{(0)}}=g{|}_{K^{(0)}}:K^{(0)}\to L^{(0)}$. 进而 $f=g$, 因从顶点出发可以一直诱导在高维骨架上的相等.

$\square$

然而并不是所有的连续映射都存在单纯逼近, 考虑下面的例子: 设 $K$ 的几何实现为 ${\mathbb{S}}^1$, 而 $L$ 的几何实现是一个平环 $\left\{z\in \mathbb{C}:1⩽\left|z\right|⩽2\right\}$.

这因任何 $K\to L$ 的单纯映射必定落在 $L$ 的一个 $2$–单形中. 下面的问题就是: 在什么条件下存在单纯逼近?

定义 2.1.3 (Star, Link). 设 $K$ 是一个复形, $v\in K^{(0)}$, 定义$$\mathrm{St}(v,K)=\bigcup _{\sigma \in K,v\in \sigma }\mathrm{Int}\sigma ,$$称作 $v$ 在 $K$ 中的 star. 并记$$\mathrm{Link}(v,K):=\overline{\mathrm{St}(v,K)}\setminus \mathrm{St}(v,K)=\bigcup _{v\ast \tau \in K}\tau ,$$称作 $v$ 在 $K$ 中的 link.

命题 2.1.4. $\mathrm{St}(v,K)$ 是 $\left|K\right|$ 中的开集.

证明. 这因$$\left|K\right|\setminus \mathrm{St}(v,K)=\bigcup _{\sigma \in K,v\notin \sigma }\sigma =L$$是 $\left|K\right|$ 中的闭子集, 其中 $L=\left\{\sigma \in K:v\notin \sigma \right\}$ 是 $K$ 的子复形.

$\square$

但 $\mathrm{Int}\sigma$ 在一般的情况下未必是 $\left|K\right|$ 中的开集.

图 1. 一个 $\mathrm{Int}\sigma$ 不是 $\left|K\right|$ 中开集的例子

而 link 就要更复杂一些, 下图给出了一个简单的 $2$ 维复形中 link 的图示:

图 2. 一个 $2$ 维复形中顶点的闭 star, star 和 link

命题 2.1.5. 设 $\left\{v_0,\dots ,v_p\right\}\subset K^{(0)}$, 则 $\left\{v_0,\dots ,v_p\right\}$ 落在某一单形中当且仅当 $\bigcap _{i=0}^p\mathrm{St}(v_i,K)\ne \varnothing$.

证明. 必要性. 取 $\sigma =(v_0,\dots ,v_p)\in K^{(0)}$, 则 $\forall i\in \left\{0,\dots ,p\right\}$, 有$$\mathrm{Int}\sigma \subset \mathrm{St}(v_i,K)⟹\mathrm{Int}\sigma \subset \bigcap _{i=0}^n\mathrm{St}(v_i,K),$$而 $\mathrm{Int}\sigma \ne \varnothing$.

充分性. 取 $x\in \bigcap _{i=0}^p\mathrm{St}(v_i,K)\subset \left|K\right|=\bigcup _{\sigma \in K}\mathrm{Int}\sigma$. 则存在 $\sigma \in K$ 使得 $x\in \mathrm{Int}\sigma$. 由 star 的定义, $v_i$ 是 $\sigma$ 的顶点, 即 $v_0,\dots ,v_p$ 是 $\sigma$ 中的顶点.

$\square$

定义 2.1.6 (Star 条件). 设映射 $f\in C(\left|K\right|,\left|L\right|)$, 称 $f$ 满足 star 条件, 若$$\forall v\in K^{(0)}\exists w\in L^{(0)}(f(\mathrm{St}(v,K))\subset \mathrm{St}(w,L)).$$

命题 2.1.7 (用 star 条件刻画单纯逼近). $f\in C(\left|K\right|,\left|L\right|)$ 存在单纯逼近当且仅当它满足 star 条件. 特别地, 若 $g$ 是 $f$ 的单纯逼近, 则对任意 $v\in K^{(0)}$, 有$$f(\mathrm{St}(v,K))\subset \mathrm{St}(g(v),L).$$

证明. 必要性. 设 $g:K\to L$ 是 $f$ 的单纯逼近, 只需证明$$\forall v\in K^{(0)}(f(\mathrm{St}(v,K))\subset \mathrm{St}(g(v),L)).$$

任取 $x\in \mathrm{St}(v,K)$, 根据 star 的定义可知存在 $\sigma \in K$ 使得 $x\in \mathrm{Int}\sigma$ 且 $v\in \sigma$. 又因为 $g$ 是 $f$ 的单纯逼近, 故存在 $\tau \in L$ 使得 $f(x)\in \mathrm{Int}\tau$ 且 $g(x)\in \tau$. 因 $g$ 是单纯映射, $g(\sigma )={\tau }_1\in L$, 且 $g(v)\in g(\sigma )$. 断言 $g(x)\in \mathrm{Int}{\tau }_1$. 注意到对 $\sigma =(v_0,\dots ,v_p)$, $$x=\sum _{i=0}^p{t}_i{v}_i⟹g(x)=\sum _{i=0}^p{t}_{i}g(v_i)\in \mathrm{Int}{\tau }_1,$$(即使 $g(v_i)$ 中有相等项也没有关系), 于是断言成立. 因 $g(x)\in \tau$, 故 ${\tau }_1\subset \tau$. 而 $g(v)$ 是 ${\tau }_1$ 的顶点, 故它也是 $\tau$ 的顶点.

此时, $f(x)\in \mathrm{Int}\tau \subset \mathrm{St}(g(v),L)$, 也即 $f(\mathrm{St}(v,K))\subset \mathrm{St}(g(v),L)$.

充分性. 假设 $f$ 满足 star 条件, 由这一条件可以定义映射 $g$ $$g:K^{(0)}\to L^{(0)},v\mapsto g(v)=w$$使得 $f(\mathrm{St}(v,K))\subset \mathrm{St}(g(v),L)$. 下面将 $g$ 扩张成一个单纯映射.

任取 $\sigma =(v_0,\dots ,v_p)\in K$, 只需证明 $\left\{g(v_0),\dots ,g(v_p)\right\}$ 落在 $L$ 的同一单形中. 由 2.1.5 知 $\bigcap _{i=0}^p\mathrm{St}(v_i,K)\ne \varnothing$. 故$$\varnothing \ne f\left(\bigcap _{i=0}^p\mathrm{St}(v_i,K)\right)\subset \bigcap _{i=0}^{p}f(\mathrm{St}(v_i,K))\subset \bigcap _{i=0}^p\mathrm{St}(g(v_i),L).$$再由 2.1.5 可知 $\left\{g(v_0),\dots ,g(v_p)\right\}$ 落在 $L$ 的某一单形中, 不妨记作 $\tau =:g(\sigma )$, 故 $g$ 是单纯映射.

再证 $g$ 是 $f$ 的单纯逼近, 首先$$\forall x\in \left|K\right|=\bigcup _{\sigma \in K}\mathrm{Int}\sigma \exists !\sigma =(v_0,\dots ,v_p)\in K\forall i(x\in \mathrm{Int}\sigma \subset \mathrm{St}(v_i,K)).$$由题设和 star 的定义, 因 $f(x)\in \mathrm{St}(g(v_i),L)$, 有$$\exists \tau \in L(f(x)\in \mathrm{Int}\tau ),$$此时可知 $g(v_i)\in \tau$. 对 $x=\sum _{i=0}^p{t}_i{v}_i$, 都有 $g(x)=\sum _{i=0}^p{t}_{i}g(v_i)\in \tau$. 故 $g$ 是 $f$ 的一个单纯逼近.

$\square$

单纯逼近不能解决所有问题, 例如之前的例子

中 $f$ 不存在单纯逼近. 此时就需要另外一种工具: 重分.

定义 2.1.8 (重分). 称 $K^{\prime }$ 是 $K$ 的一个重分, 若

1.	$\forall \tau \in K^{\prime }\exists \sigma \in K(\tau \subset \sigma )$, 即重分只能分出更小的单形.
2.	$\forall \sigma \in K\exists {\tau }_1,\dots ,{\tau }_r\in K^{\prime }(\sigma =\bigcup _{i=1}^r{\tau }_i)$, 即重分都是有限分割.

注意到在 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ 中 $\left|K^{\prime }\right|=\left|K\right|$, 于是重分实际上只是将 star 变小了.

定理 2.1.9 (单纯逼近定理). 对任意的 $f\in C(\left|K\right|,\left|L\right|)$, 存在 $K$ 的重分 $K^{\prime }$ 使得 $f\in C(\left|K^{\prime }\right|,\left|L\right|)$ 存在单纯逼近 $g:K^{\prime }\to L$.

这是本节的中心定理, 我们只处理 $K$ 是有限复形的情形. 但即使如此, 我们也需要先进行以下的准备工作, 再回来处理这一定理的证明.

引理 2.1.10. 任取 $w\in K^{(0)}$, 存在 $v\in K$ 使得 $\mathrm{St}(w,K)\subset \mathrm{St}(v,K)$.

命题 2.1.11. $\mathrm{id}:\left|K^{\prime }\right|\to \left|K\right|$ 存在单纯逼近 $g:K^{\prime }\to K$.

定义 2.1.12 (标准重心重分). 对 $\sigma =(v_0,\dots ,v_p)$, 其重心定义为$$\hat{\sigma }=\frac{v_0+\cdots +v_p}{p+1}.$$归纳地定义: $p=0$ 时, 在 $K^{(0)}$ 上 $L^{(0)}=K^{(0)}$; $p=1$ 时, 在 $K^{(1)}$ 上$$L^{(1)}=\left\{\hat{\sigma }\ast L_{\sigma }:\sigma \in K^{(1)},\dim \sigma =1,\left|L_{\sigma }\right|=\left|\mathrm{Bd}\sigma \right|\right\},$$归纳地, 当 $p=k+1$ 时, 在 $K^{(k+1)}$ 上$$L^{(k+1)}:=\left\{\hat{\sigma }\ast L_{\sigma }:\sigma \in K^{(k+1)},\dim \sigma =k+1,L_{\sigma }\subset L^{(k)}(\left|L_{\sigma }\right|=\left|\mathrm{Bd}\sigma \right|)\right\},$$并称 $\mathrm{sd}K=\bigcup _{p⩾0}{L}^{(p)}$ 为 $K$ 的标准重心重分. 类似地记 ${\mathrm{sd}}^2=\mathrm{sd}(\mathrm{sd}K)$.

图 3. 一个 $2$ 维单形构成的复形及其标准重心重分

也可以这样定义标准重心重分:

称 $K$ 中的一列 ${\sigma }_1\subset {\sigma }_2\subset \cdots \subset {\sigma }_r$ 是一个 flag, 它确定单形 $({\hat{\sigma }}_1,\dots ,{\hat{\sigma }}_r)$ (注意到它也可以唯一地确定 flag), 定义$$\mathrm{sd}K:=\left\{({\hat{\sigma }}_1,\dots ,{\hat{\sigma }}_r):{\sigma }_1\subset \cdots \subset {\sigma }_r\right\}=\left\{{\sigma }_1\subset \cdots \subset {\sigma }_r\right\}.$$

定义 2.1.13 (网径). 当 $K$ 是有限复形时, 定义 $K$ 的网径为$$\mathrm{mesh}K:=\underset{\sigma \in K}{\max }\mathrm{diam}\sigma =\underset{\sigma \in K}{\max }\underset{x,y\in \sigma }{\max }\Vert x-y\Vert .$$那么 star 自然就有这样的性质: 对任意 $v\in K^{(0)}$ 有 $\mathrm{St}(v,K)\subset B(v,\mathrm{mesh}K)$.

直观上, 标准重心重分减小了网径, 即 $\mathrm{mesh}\mathrm{sd}K<\mathrm{mesh}K$, 下面的引理给出了这一结论的一个估计:

引理 2.1.14. 设 $K$ 是有限复形, 则$$\mathrm{mesh}(\mathrm{sd}K)⩽\frac{n}{n+1}\mathrm{mesh}K,$$进而 $m\to \infty$ 时 $\mathrm{mesh}({\mathrm{sd}}^{m}K)\to 0$.

证明. 对 $\sigma =(v_0,\dots ,v_p)\in K$, 有 $\mathrm{diam}\sigma =\underset{i,j}{\max }\Vert v_i-v_j\Vert$. 这因 $\forall x,y\in \sigma$, 记 $y=\sum _{i=0}^p{t}_i{v}_i$ 后$$\Vert x-y\Vert ⩽\Vert x-\sum _{i=0}^p{t}_i{v}_i\Vert =\Vert \sum _{i=0}^p{t}_i(x-v_i)\Vert ⩽\underset{i}{\max }\Vert x-v_i\Vert ,$$类似地 $\Vert v_i-x\Vert ⩽\underset{j}{\max }\Vert v_i-v_j\Vert$.

任取 $\tau ,\sigma \in \mathrm{sd}K$, $\tau \subset \sigma$. 则 $\tau \subset \sigma \in K$. 设 $\sigma =(v_0,\dots ,v_p)$, 则存在 $i_0\in \left\{0,\dots ,p\right\}$ 使得$$\Vert \hat{\sigma }-\hat{\tau }\Vert ⩽\Vert \hat{\sigma }-v_{i_0}\Vert =\Vert \frac{1}{p+1}\sum _{i=0}^p{v}_i-v_{i_0}\Vert =\Vert \sum _{i=0}^p\frac{v_i-v_{i_0}}{p+1}\Vert ⩽\frac{p}{p+1}\mathrm{mesh}K.$$而 $p⩽n$ 时总有 $p/(p+1)⩽n/(n+1)$. 得证.

$\square$

现在我们回到单纯逼近定理 2.1.9 的证明:

定理 2.1.9 的证明. 若 $K$ 是有限复形, 则 $\left|K\right|$ 一定是紧度量空间. 由 Lebesgue 覆盖引理可知对任何开覆盖 $\mathcal{A}$, 都存在 Lebesgue 数 $\delta >0$ 使得$$\forall x\in \left|K\right|\exists C\in \mathcal{A}(B(x,\delta )\subset C).$$对 $f:\left|K\right|\to \left|L\right|$, 考虑 $\left|L\right|$ 的开覆盖 $\left\{\mathrm{St}(w,L):w\in L^{(0)}\right\}$, 存在 $K$ 的开覆盖$$\mathcal{A}=\left\{f^{-1}(\mathrm{St}(w,L)):w\in L^{(0)}\right\},$$由 Lebesgue 覆盖引理, 存在 $\delta >0$ 使得$$\forall x\in \left|K\right|\exists w\in L^{(0)}(B(x,\delta )\subset f^{-1}(\mathrm{St}(w,L))).$$由 2.1.14 可知存在正整数 $m$ 使得 $\mu =\mathrm{mesh}({\mathrm{sd}}^{m}K)<\delta$. 任取 $v\in ({\mathrm{sd}}^{m}K{)}^{(0)}$, 存在 $w\in L^{(0)}$ 使得$$\mathrm{St}(v,{\mathrm{sd}}^{m}K)\subset B(v,\mu )\subset B(v,\delta )\subset f^{-1}(\mathrm{St}(w,L)).$$也即 $f(\mathrm{St}(v,{\mathrm{sd}}^{m}K))\subset \mathrm{St}(w,L)$. 这即 star 条件, 于是 $f$ 存在单纯逼近 $\phi :{\mathrm{sd}}^{m}K\to L$.

$\square$

2.2链同伦

在上一小节我们知道了对复形进行适当次数的标准重心重分, 就可以得到连续映射的单纯逼近. 还有两个问题需要考虑: 其一是不同的单纯逼近是否诱导相同的同态; 其二是对不同的重分 $K^{\prime },K^{\prime \prime }$ , 它们的同调群 $H_p(K^{\prime })$ 和 $H_p(K^{\prime \prime })$ 之间是否存在同态.

本小节主要来讨论第一个问题:

定义 2.2.1 (链同伦). 设 $\psi ,{\psi }^{\prime }:C_p(K)\to C_p(L)$ 是链映射, 称 $\psi$ 与 ${\psi }^{\prime }$ 链同伦, 若$$\exists D:C_p(K)\to C_{p+1}(L)(\partial D+D\partial =\psi -{\psi }^{\prime }),$$记作 $\psi \simeq {\psi }^{\prime }$.

或者使用交换图的语言, 即图交换.

定理 2.2.2. 设 $\phi ,{\phi }^{\prime }:K\to L$ 都是 $f:\left|K\right|\to \left|L\right|$ 的单纯逼近, 则 ${\phi }_{♯}\simeq {\phi }_{♯}^{\prime }$.

证明. 任取 $v\in K^{\prime (0)}$, $\phi ,{\phi }^{\prime }$ 是 $f$ 的单纯逼近, 故应当满足 star 条件$$f(\mathrm{St}(v,K^{\prime }))\subset \mathrm{St}(\phi (v),L)\cap \mathrm{St}({\phi }^{\prime }(v),L).$$对任意 $x\in K$, 存在单形 $\sigma =(v_0,\dots ,v_p)\in K^{\prime }$ 使得 $x\in \mathrm{Int}\sigma$. 则存在 $\tau \in L$ 使得$$f(x)\in \mathrm{Int}\tau ,\phi (x),{\phi }^{\prime }(x)\in \tau .$$对任意 $i\in \left\{0,\dots ,p\right\}$, 都有$$f(x)\in \mathrm{Int}\tau \subset f(\mathrm{St}(v_i),K)\subset \mathrm{St}(\phi (v_i),L)\cap \mathrm{St}({\phi }^{\prime }(v_i),L),$$故 $\left\{\phi (v_0),\dots ,\phi (v_p),{\phi }^{\prime }(v_0),\dots ,{\phi }^{\prime }(v_p)\right\}$ 落在 $L$ 的同一个单形中. 不妨记以这些顶点为顶点集生成的单形及其面构成的子复形为 $L(\sigma )$. 则$$\dim L(\sigma )⩽2p+1,$$且满足 $L(\sigma )$ 非空, $L(\sigma )$ 零调 (这因 $L(\sigma )$ 是单形生成的子复形), 而且对 $s\subset \sigma$, 有 $L(s)\subset L(\sigma )$ (这只需注意到 $L(s{)}^{(0)}\subset L(\sigma {)}^{(0)}$). ${\phi }_{♯}(\sigma )$ 和 ${\phi }_{♯}^{\prime }(\sigma )$ 被 $L(\sigma )$ 承载.

(下面这一段证明的 pattern 非常重要, 这是一类基本技巧, 请务必掌握.) 归纳地证明结论: 当 $p=0$ 时, 对 $v\in K^{(0)}$, 因 ${\phi }_{♯}(v)=\phi (v)$, ${\phi }_{♯}^{\prime }(v)={\phi }^{\prime }(v)$, 于是自然有$${\phi }_{♯}(v),{\phi }_{♯}^{\prime }(v)\in C_0(L(v)).$$因 $L(v)$ 道路连通, 故 ${\phi }_{♯}(v)$ 与 ${\phi }_{♯}^{\prime }(v)$ 在同一同调类中, 考虑到 $L(v)$ 零调, 于是$$\exists d\in C_1(L(v))(\partial d={\phi }_{♯}(v)-{\phi }_{♯}^{\prime }(v)),$$取 $D(v)=d$ 即可. 此时$$\partial D_0(v)+D_{-1}\partial v=\partial D(v)={\phi }_{♯}(v)-{\phi }_{♯}^{\prime }(v)$$满足条件.

接下来设对任意 $⩽p-1$ 的情形都成立, 那么对 $p$ 的情形, 取 $\sigma \in K^{\prime }$, $\dim \sigma =p$, 我们希望$$\partial D\sigma ={\phi }_{♯}(\sigma )-{\phi }_{♯}^{\prime }(\sigma )-D\partial \sigma$$成立, 右侧的每一项都是已经定义过的, 记右侧为 $c$, 计算$$\begin{array}{rl}\partial c& =\partial {\phi }_{♯}(\sigma )-\partial {\phi }_{♯}^{\prime }(\sigma )-\partial D(\partial \sigma )\\ & =\partial {\phi }_{♯}(\sigma )-\partial {\phi }_{♯}^{\prime }(\sigma )-({\phi }_{♯}(\partial \sigma )-{\phi }_{♯}^{\prime }(\partial \sigma )-D{\partial }^2\sigma )\\ & =0,\end{array}$$这因 ${\phi }_{♯}$ 和 ${\phi }_{♯}^{\prime }$ 可以与 $\partial$ 交换. 这说明 $\left\{c\right\}\in H_p(L(\sigma ))$, 进一步 $c$ 被 $L(\sigma )$ 承载 (因每一项都被 $L(\sigma )$ 承载). 故 $\left\{c\right\}\in H_p(L(\sigma ))=0$, 也即 $c\in Z_p(L(\sigma ))=B_p(L(\sigma ))$, 于是$$\exists d\in C_{p+1}(L(\sigma ))(\partial d=c),$$取 $D(\sigma )=d$ 即可.

由此, 我们归纳地构造了 $D$ 满足链同伦的条件, 从而 ${\phi }_{♯}\simeq {\phi }_{♯}^{\prime }$.

$\square$

推论 2.2.3. 设 $\phi ,{\phi }^{\prime }:K\to L$ 都是 $f:\left|K\right|\to \left|L\right|$ 的单纯逼近, 则 ${\phi }_{\ast }={\phi }_{\ast }^{\prime }$.

证明. 因对任意 $z_p+B_p(K^{\prime })\in H_p(K^{\prime })$, 都有$$\begin{array}{rl}{\phi }_{\ast }(z_p+B_p(K^{\prime }))& ={\phi }_{\ast }(z_p)+B_p(L)\\ & =\partial D(z_p)+D(\partial z_p)+{\phi }_{\ast }^{\prime }(z_p)+B_p(L)\\ & ={\phi }_{\ast }^{\prime }(z_p)+\partial D(z_p)+B_p(L)\\ & ={\phi }_{\ast }^{\prime }(z_p)+B_p(L)\end{array}$$成立. 其中第二行的等号因 $\partial z_p=0$, 第三行的等号因 $D(z_p)\in B_{p+1}(L)$ 导出 $\partial D(z_p)\in B_p(L)$.

$\square$

2.3代数重分定理

本小节主要来讨论第二个问题: 即单纯逼近导出的同态是否依赖于对复形 $K$ 的重分. 设 $K^{\prime }$ 是 $K$ 的重分, $\mathrm{id}:\left|K^{\prime }\right|\to \left|K\right|$ 有单纯逼近 $g:K^{\prime }\to K$. 那么 $g$ 诱导的 $g_{\ast }$ 是否是同构?如果 $g_{\ast }$ 是同构, 那么 $H_p(K)$ 到 $H_p(L)$ 的同态就可以给出.

为此考虑这样的一类映射:

定义 2.3.1 (零调承载子). 称 $\Phi :K\to L,\sigma \mapsto \Phi (\sigma )\ne \varnothing$ 是一个零调承载子, 若对任意 $\sigma \in K$, 都有 $\Phi (\sigma )$ 零调, 且$$s\subset \sigma ⟹\Phi (s)\subset \Phi (\sigma ).$$

设 $f:C_p(K)\to C_p(L)$ 是一个链映射, 称 $f$ 被 $\Phi$ 承载, 若对任意 $\sigma \in K$, $\dim \sigma =p$ 都有 $f(\sigma )$ 被 $\Phi (\sigma )$ 承载.

命题 2.3.2 (零调承载子定理). 设 $\Phi :K\to L$ 是零调承载子:

1.	若 $\phi ,\psi :\mathcal{C}(K)\to \mathcal{C}(L)$ 被 $\Phi$ 承载, 则存在 $D$ 确定 $\phi \simeq \psi$;
2.	存在被 $\Phi$ 承载的保持增广的链映射 $\phi :\mathcal{C}(K)\to \mathcal{C}(L)$.

证明. (1) 无非就是 2.2.2 中使用相同的 pattern 证明, 只需要注意到 $\Phi (\sigma )$ 也满足相应的条件 (非空, 零调, 保持包含).

(2) 归纳地, 当 $p=0$ 时, 取 $v\in K^{(0)}$, $\epsilon (v)=1$. 取 $w$ 是 $\Phi (v)$ 的顶点, 并取 ${\phi }_0(v)=w$. 则$$1=\epsilon (v)={\epsilon }^{\prime }(\phi (v))={\epsilon }^{\prime }(w)=1,$$成立.

当 $p=1$ 时, 取 $\sigma =[v_0,v_1]$, $\dim \sigma =1$. 再取 $c={\phi }_0(\partial \sigma )$, 那么$${\epsilon }^{\prime }c={\epsilon }^{\prime }{\phi }_0(\partial \sigma )=\epsilon (\partial \sigma )=0,$$即 $c$ 是增广链中的闭链. 故 $\left\{c\right\}\in {\tilde{H}}_0(\Phi (\sigma ))=0$, 从而$$c\in \ker {\epsilon }^{\prime }=\mathrm{im}\partial ⟹\exists d\in C_1(\Phi (\sigma ))\subset C_1(L)(\partial d=c).$$定义 ${\phi }_1(\sigma )=d$ 即可. 由$$\partial {\phi }_1(\sigma )=\partial d={\phi }_0(\partial \sigma )$$可知图中 $C_1(K),C_0(K),C_1(L),C_0(L)$ 所在的方块交换.

设 $⩽p-1$ 的情形都成立, 即对 $\sigma \in K$, $\dim \sigma ⩽p-1$ 都存在相应的 $\phi$ 被 $\Phi$ 承载. 取 $\sigma \in K$, $\dim \sigma =p$, 那么考虑$$\partial \phi (\partial \sigma )=\phi {\partial }^2\sigma =0,$$则$$\phi (\partial \sigma )\in Z_p(\Phi (\sigma ))=B_p(\Phi (\sigma ))⟹\exists d\in C_{p+1}(\Phi (\sigma ))\subset C_{p+1}(L)(\partial d=\phi (\partial \sigma )).$$定义 $\phi (\sigma )=d$ 即可.

至此, 我们归纳地构造了 $\phi$.

$\square$

现在提出本小节的中心定理:

定理 2.3.3 (代数重分定理). 设 $K^{\prime }$ 是 $K$ 的一个重分, 则

1.	存在唯一的链映射 $\lambda :C_p(K)\to C_p(K^{\prime })$ 使得 $\lambda (\sigma )$ 可被 $K_{\sigma }^{\prime }$ 承载, 称 $\lambda$ 是重分算子.
2.	$\lambda$ 与 $g_{♯}$ 互为链同伦逆, 由此 $g_{\ast }$ 和 ${\lambda }_{\ast }$ 均为同构.

证明. 考虑$$\Lambda :K\to K^{\prime },\sigma \mapsto \Lambda (\sigma )=K_{\sigma }^{\prime },$$假设 $K_{\sigma }^{\prime }$ 是零调的. 此时 $\Lambda$ 是零调承载子, 由 2.3.2 可知存在唯一的 $\lambda$ 使得 $\lambda (\sigma )\in \mathcal{C}(\Lambda (\sigma ))$ 对任意 $\sigma \in K$ 成立. 再考虑$$\Theta :K^{\prime }\to K,\tau \mapsto \Theta (\tau )=K_{{\sigma }_{\tau }},$$其中 ${\sigma }_{\tau }\in K$ 是包含 $\tau$ 的最低维子复形. 故 $K_{{\sigma }_{\tau }}$ 也是锥, 而锥是零调的. 此时 $\Theta$ 也是零调承载子, 由 2.3.2 可知存在唯一的 $\theta$ 使得 $\theta (\tau )\in \mathcal{C}(\Theta (\tau ))$ 对任意 $\tau \in K^{\prime }$ 成立.

同样地, 可以得到 ${\mathrm{id}}_{\mathcal{C}(K)}$ 被 $\Psi$ 承载, ${\mathrm{id}}_{\mathcal{C}(K^{\prime })}$ 被 $\Phi$ 承载.

Claim 1. $\theta \circ \lambda :\mathcal{C}(K)\to \mathcal{C}(K)$ 被 $\Psi$ 承载, $\lambda \circ \theta :\mathcal{C}(K^{\prime })\to \mathcal{C}(K^{\prime })$ 被 $\Phi$ 承载.

下面证明 Claim 1. 我们只说明 $\theta \circ \lambda$ 被 $\Psi$ 承载, 另一侧类似可证. 任取 $\sigma \in K$, 由 $\lambda (\sigma )$ 被 $\Lambda (\sigma )$ 承载可知 $\lambda (\sigma )$ 可以被 $\Lambda (\sigma )=K_{\sigma }^{\prime }$ 中单形 $\tau <\sigma$ 线性表示. 又由 $\theta (\tau )$ 被 $\Theta (\tau )$ 承载可知 $\Theta (\tau )=K_{{\sigma }_{\tau }}=K_{\sigma }=\Psi (\sigma )$. 由此 $\theta \circ \lambda (\sigma )$ 可被 $\Psi (\sigma )=K_{\sigma }$ 承载.

Claim 2. $\Theta$ 承载 $g_{♯}$.

下面证明 Claim 2. 任取 $\tau \in K^{\prime }$, $w\in \tau$ 是其一个顶点. 由单纯逼近的 star 条件可知$$\mathrm{Int}\tau \subset \mathrm{id}(\mathrm{St}(w,K))\subset \mathrm{St}(g(w),K),$$设 $\sigma$ 是顶点集含有 $g(w)$ 的单形, 则 $\tau \subset \sigma$. 而 ${\sigma }_{\tau }\subset \sigma$, 故 $g_{♯}$ 被 $\Theta$ 承载.

由上述讨论, 仍有 $g_{♯}\circ \lambda ={\mathrm{id}}_{\mathcal{C}(K)}$, $\lambda \circ g_{♯}={\mathrm{id}}_{\mathcal{C}(K^{\prime })}$, 即 $\lambda$ 与 $g_{♯}$ 互为同伦逆.

接下来说明 $\lambda$ 的唯一性. 设 ${\lambda }^{\prime }$ 也被 $\Lambda$ 承载, 那么由 2.3.2 可知 ${\lambda }^{\prime }\simeq \lambda$. 即对任意 $\sigma \in K$, $\dim \sigma =p$, 都有$$\partial D(\sigma )+D(\partial \sigma )=\lambda (\sigma )-{\lambda }^{\prime }(\sigma ).$$这里 $D:C_p(K)\to C_{p+1}(K^{\prime })$, 而 $D(\sigma )$ 被 $\Lambda (\sigma )=K_{\sigma }^{\prime }$ 承载, $K_{\sigma }^{\prime }$ 又是一个 $p$ 维复形, 从而只能 $D(\sigma )=0$. 也即$$\forall \sigma \in K(\lambda (\sigma )-{\lambda }^{\prime }(\sigma ))⟹\lambda ={\lambda }^{\prime }.$$

最后, 我们来说明最开始假设 $K_{\sigma }^{\prime }$ 零调的假设是合理的. 首先考虑特殊情况, 若 $K^{\prime }=\mathrm{sd}K$, 那么$$\forall \sigma \in K(K_{\sigma }^{\prime }=\mathrm{sd}{K}_{\sigma }=\hat{\sigma }\ast L_{\sigma }),$$这里 $\left|L_{\sigma }\right|=\left|\mathrm{Bd}{K}_{\sigma }\right|$, 此时定理成立, $H_p(K)\cong H_p(\mathrm{sd}K)$. 若 $K^{\prime }={\mathrm{sd}}^{m}K$, 此时$$H_p(K)\cong H_p(\mathrm{sd}K)\cong H_p({\mathrm{sd}}^{2}K)\cong \cdots \cong H_p({\mathrm{sd}}^{m}K).$$对任何的 $\sigma \in K$, 注意到 $0\cong {\tilde{H}}_p(\mathrm{sd}{K}_{\sigma })\cong {\tilde{H}}_p({\mathrm{sd}}^m{K}_{\sigma })$. 故 ${\mathrm{sd}}^m{K}_{\sigma }$ 零调, 这说明 $K^{\prime }$ 零调.

再考虑任意的重分 $K^{\prime }$, 考虑下图: 其中右侧映射是左侧 (轴对称对应的) 单纯逼近. 那么由前面的讨论可知 $(kh{)}_{\ast }=k_{\ast }{h}_{\ast }$ 是同构, 这说明 $h_{\ast }$ 是满同态; 类似地也有 $(hl{)}_{\ast }=h_{\ast }{l}_{\ast }$ 是同构, 这说明 $h_{\ast }$ 是单同态. 故 $h_{\ast }$ 是同构, 从而 $k_{\ast }$ 也是同构. 于是得到$${\tilde{H}}_p(K_{\sigma }^{\prime })\cong {\tilde{H}}_p(K_{\sigma })=0.$$于是 $K_{\sigma }^{\prime }$ 的确是零调的, 那么命题得证.

$\square$

于是 $f_{\ast }$ 可以如下图定义:此时一个自然的问题是 $f_{\ast }$ 是否与 $K$ 的重分无关. 若另有 $K$ 的重分 $K^{\prime \prime }$ 和 ${\phi }^{\prime }:K^{\prime \prime }\to L$, 是否有$${\phi }_{\ast }{g}_{\ast }^{-1}={\phi }_{\ast }^{\prime }(g_{\ast }^{\prime }{)}^{-1}$$成立?

若 $K^{\prime \prime }$ 是 $K^{\prime }$ 的重分, 考虑到 $\mathrm{id}:\left|K^{\prime \prime }\right|\to \left|K^{\prime }\right|$ 存在单纯逼近 $k:K^{\prime \prime }\to K^{\prime }$, 有交换, 这即$$(gk{)}_{♯}\simeq g_{♯}^{\prime },(\phi k{)}_{♯}\simeq {\phi }_{♯}^{\prime },$$于是 $(gk{)}_{\ast }=g_{\ast }^{\prime }$, $(\phi k{)}_{\ast }={\phi }_{\ast }^{\prime }$. 代入得到$${\phi }_{\ast }^{\prime }(g_{\ast }^{\prime }{)}^{-1}={\phi }_{\ast }{k}_{\ast }(g_{\ast }{k}_{\ast }{)}^{-1}={\phi }_{\ast }{g}_{\ast }^{-1}.$$

若 $K^{\prime \prime }$ 不是 $K^{\prime }$ 的重分, 考虑到重分的有限性 (即重分是在 $K$ 的每个单形中增加有限多个点), 那么总存在 $K^{\prime \prime \prime }$ 同时是 $K^{\prime }$ 和 $K^{\prime \prime }$ 的重分, 此时交换, 这即$$(gk{)}_{\ast }=(g^{\prime }{k}^{\prime }{)}_{\ast },(\phi k{)}_{\ast }=({\phi }^{\prime }{k}^{\prime }{)}_{\ast },$$于是$${\phi }_{\ast }^{\prime }(g_{\ast }^{\prime }{)}^{-1}=({\phi }^{\prime }{k}^{\prime }{)}_{\ast }(g^{\prime }{k}^{\prime }{)}_{\ast }^{-1}=(\phi k{)}_{\ast }(gk{)}_{\ast }^{-1}={\phi }_{\ast }{g}_{\ast }^{-1}.$$

2.4同调群的同伦不变性

至此, 我们终于完成了以下函子的刻画:

定理 2.4.1. 以下给出了一个从 $\mathsf{Top}$ 到 $\mathsf{Grp}$ 的函子.

证明. 为此只需验证 $\mathrm{id}:\left|K\right|\to \left|K\right|$ 被作用变成 ${\mathrm{id}}_{\ast }:H_p(K)\to H_p(K)$, 和对 $f:\left|K\right|\to \left|L\right|$, $h:\left|L\right|\to \left|M\right|$, 有 $(hf{)}_{\ast }=h_{\ast }{f}_{\ast }$.

其中第一条是显然的, 这里只证明第二条. 考虑以下的交换图: 则 $h_{\ast }={\phi }_{\ast }{g}_{\ast }^{-1}$, $f_{\ast }=(g{\phi }^{\prime }{)}_{\ast }(g_{\ast }^{\prime }{)}^{-1}$, 计算得到$$\begin{array}{rl}{h}_{\ast }{f}_{\ast }& ={\phi }_{\ast }{g}_{\ast }^{-1}{g}_{\ast }{\phi }_{\ast }^{\prime }(g_{\ast }^{\prime }{)}^{-1}\\ (hf{)}_{\ast }& =(\phi {\phi }^{\prime }{)}_{\ast }(g_{\ast }^{\prime }{)}^{-1}={\phi }_{\ast }{\phi }_{\ast }^{\prime }(g_{\ast }^{\prime }{)}^{-1}\end{array}$$也即 $(hf{)}_{\ast }=h_{\ast }{f}_{\ast }$.

$\square$

推论 2.4.2. 同调群是同胚不变量.

证明. 对 $\left|K\right|\cong \left|L\right|$, 考虑 $f:C(\left|K\right|,\left|L\right|)$, $h\in C(\left|L\right|,\left|K\right|)$ 使得 $fh={\mathrm{id}}_{|L|}$, $hf={\mathrm{id}}_{|K|}$. 由 2.4.1 可知$$f_{\ast }{h}_{\ast }=(fh{)}_{\ast }=({\mathrm{id}}_{|L|}{)}_{\ast }=\mathrm{id},h_{\ast }{f}_{\ast }=(hf{)}_{\ast }=({\mathrm{id}}_{|K|}{)}_{\ast }=\mathrm{id},$$也即 $f_{\ast }$ 和 $h_{\ast }$ 是同构, 得到 $H_p(K)\cong H_p(L)$.

$\square$

我们知道:所以如果可以验证同调群是同伦不变量, 那么从逻辑上讲, 自然就不必说明它是同胚不变量. 幸运的是, 确实如此. 在这里只证明 $K$ 是有限复形的情形:

定理 2.4.3. 设 $f,g\in C(\left|K\right|,\left|L\right|)$, $K$ 是有限复形. 若 $f\simeq g$, 则 $f_{\ast }=g_{\ast }$.

证明. 因 $K$ 是有限复形, $H$ 是连接 $f$ 与 $g$ 的同伦, 故 $\left|K\right|\times I$ 是紧度量空间. 考虑 $\left|K\right|\times I$ 的开覆盖$$\mathcal{C}=\left\{H^{-1}(\mathrm{St}(w,L)):w\in L^{(0)}\right\},$$由 Lebesgue 覆盖引理可知$$\exists \delta >0\forall x\in \left|K\right|\times I\exists w\in L^{(0)}(B(x,\delta )\subset H^{-1}(\mathrm{St}(w,L))).$$而存在 $m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$ 和 $k>0$ 使得 $v\in ({\mathrm{sd}}^{m}K{)}^{(0)}$, 且$$\mathrm{St}(v,{\mathrm{sd}}^{m}K)\times \left[\frac{r-1}{k},\frac{r}{k}\right]\subset B(x,\delta ).$$也即存在 $w\in L^{(0)}$ 使得$$\mathrm{St}(v,{\mathrm{sd}}^{m}K)\times \left[\frac{r-1}{k},\frac{r}{k}\right]\subset H^{-1}(\mathrm{St}(w,L)).$$这导出$$h_{(r-1)/k}(\mathrm{St}(v,{\mathrm{sd}}^{m}K))\subset \mathrm{St}(w,L),h_{r/k}(\mathrm{St}(v,{\mathrm{sd}}^{m}K))\subset \mathrm{St}(w,L).$$意味着 $h_{(r-1)/k}$ 和 $h_{r/k}$ 可以取到相同的单纯逼近 ${\phi }_r:{\mathrm{sd}}^{m}K\to L$. 而 $\mathrm{id}:{\mathrm{sd}}^{m}K\to K$ 也有相应的单纯逼近, 于是$$\forall 1⩽r⩽k(h_{(r-1)/k}{)}_{\ast }=(h_{r/k}{)}_{\ast },$$那么$$f_{\ast }=(h_0{)}_{\ast }=(h_{1/k}{)}_{\ast }=\cdots =(h_{(k-1)/k}{)}_{\ast }=(h_1{)}_{\ast }=g_{\ast }.$$$\square$

推论 2.4.4 (同调群是同伦不变量). 若 $\left|K\right|\simeq \left|L\right|$, 则 $H_p(\left|K\right|)\cong H_p(\left|L\right|)$.

证明. 这即存在 $f\in C(\left|K\right|,\left|L\right|)$, $g\in C(\left|L\right|,\left|K\right|)$ 使得$$fg\simeq {\mathrm{id}}_{|L|},gf\simeq {\mathrm{id}}_{|K|},$$由此 $f_{\ast }$ 与 $g_{\ast }$ 互逆. 即 $H_p(\left|K\right|)\cong H_p(\left|L\right|)$.

$\square$

2.5应用: 映射度, Brouwer 不动点定理

考虑到 ${\mathbb{S}}^0$ 退化, 不妨总假设 $n>0$. Brouwer 不动点主要讨论球面上的映射:

定义 2.5.1 (映射度). 设 $f\in C({\mathbb{S}}^n,{\mathbb{S}}^n)$, 它诱导$$f_{\ast }:H_n({\mathbb{S}}^n)\to H_n({\mathbb{S}}^n),\alpha \mapsto f_{\ast }(\alpha )=d\alpha ,d\in \mathbb{Z}.$$其中 $\alpha$ 是 ${\mathbb{S}}^n$ 的生成元. $d$ 称作 $f$ 的映射度, 记作 $\mathrm{deg}f$.

当 $n=1$ 时, 映射度 $\mathrm{deg}f$ 有明显的几何意义. $\mathrm{deg}f$ 即 $f$ 覆盖球面的层数. ${\pi }_1({\mathbb{S}}^1)=[{\mathbb{S}}^1,{\mathbb{S}}^1]\to \mathbb{Z}$, $f\mapsto \mathrm{deg}f$ 给出了 ${\mathbb{S}}^1$ 的基本群.

命题 2.5.2. 映射度具有以下基本性质: 以下设 $f,g:{\mathbb{S}}^n\to {\mathbb{S}}^n$,

1.	若 $f\simeq g$, 则 $\mathrm{deg}f=\mathrm{deg}g$;
2.	$\mathrm{deg}(gf)=\mathrm{deg}f\cdot \mathrm{deg}g$;
3.	$\mathrm{deg}\mathrm{id}=1$. 若 $c$ 是常值映射, 则 $\mathrm{deg}c=0$.

证明. (2) 因$$\mathrm{deg}(gf)\alpha =(gf{)}_{\ast }\alpha =g_{\ast }(\mathrm{deg}f\alpha )=\mathrm{deg}f\cdot g_{\ast }\alpha =\mathrm{deg}f\cdot \mathrm{deg}g\alpha .$$而 (1), (3) 是显然的.

$\square$

引理 2.5.3. 设 $F\in C({\mathbb{D}}^{n+1},{\mathbb{S}}^n)$, 则 $\mathrm{deg}(F{|}_{\partial {\mathbb{D}}^{n+1}})=0$.

证明. 这因且 $F{|}_{\partial {\mathbb{D}}^{n+1}}=F\circ \iota$. 由 $H_n({\mathbb{D}}^{n+1})=0$ 可知 $(F{|}_{\partial {\mathbb{D}}^{n+1}}{)}_{\ast }=0$.

$\square$

引理 2.5.4. 不存在这样的 $r\in C({\mathbb{D}}^{n+1},{\mathbb{S}}^n)$ 使得 $r{|}_{\partial {\mathbb{D}}^{n+1}}={\mathrm{id}}_{{\mathbb{S}}^n}$.

证明. 由 2.5.3 可知若存在这样的 $r$, 有 $\mathrm{deg}(r{|}_{\partial {\mathbb{D}}^{n+1}})=0$. 再由 2.5.2 可知 $\mathrm{deg}({\mathrm{id}}_{{\mathbb{S}}^n})=1$, 矛盾.

$\square$

定理 2.5.5 (Brouwer 不动点定理). 任何的 $f\in C({\mathbb{D}}^n,{\mathbb{D}}^n)$ 存在不动点.

证明. 用反证法, 任取 $x\in {\mathbb{D}}^n$, 都有 $f(x)\ne x$. 取$$h:{\mathbb{D}}^n\to {\mathbb{S}}^{n+1},x\mapsto \frac{x-f(x)}{\Vert x-f(x)\Vert }.$$由 2.5.3 可知 $\mathrm{deg}(h{|}_{\partial {\mathbb{D}}^n})=0$, 作同伦$$H:{\mathbb{S}}^{n-1}\times I\to {\mathbb{S}}^{n-1},(x,t)\mapsto \frac{x-tf(x)}{\Vert x-tf(x)\Vert }.$$这一同伦的定义是合理的, 因 $x\ne f(x)$ 可知 $t=1$ 时 $x-f(x)\ne 0$, 而 $0⩽t<1$ 时若有 $x=tf(x)$, 则$$1=\Vert x\Vert =\Vert tf(x)\Vert =t\Vert f(x)\Vert ⩽t<1,$$矛盾. 此时$$H(x,0)={\mathrm{id}}_{{\mathbb{S}}^{n-1}}(x),H(x,1)=h{|}_{\partial {\mathbb{D}}^n}(x),$$即 ${\mathrm{id}}_{{\mathbb{S}}^{n-1}}\simeq h{|}_{\partial {\mathbb{D}}^n}$, 而它们的映射度不相等, 矛盾.

$\square$

Brouwer 不动点定理在 $n=1$ 时即为介值定理, 在 $n=2$ 时使用分析的方法已经比较繁琐, 但还是可以借助基本群来解决. 以上给出了 $n⩾1$ 时使用同调论的解决方法.

接下来考虑从球面到球面的映射, $f\in C({\mathbb{S}}^n,{\mathbb{S}}^n)$ 可以不存在任何不动点, 最常见的取法就是取对径映射 $r:x\mapsto -x$.

命题 2.5.6. $\mathrm{deg}r=(-1{)}^{n+1}$.

证明. 考虑 $r_i:{\mathbb{S}}^n\to {\mathbb{S}}^n$, 它只将第 $i$ 个分量反转, 即$$(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots ,-x_i,\dots ,x_{n+1}).$$则 $r=r_{n+1}{r}_n\cdots r_1$. 于是 $\mathrm{deg}r=\prod _{i=1}^{n+1}\mathrm{deg}{r}_i$. 由有 $r_{n+1}=h_{i,n+1}{r}_i{h}_{i,n+1}^{-1}$, 从而$$\mathrm{deg}{r}_{n+1}=\mathrm{deg}{h}_{i,n+1}\mathrm{deg}{r}_i\mathrm{deg}{h}_{i,n+1}^{-1}=\mathrm{deg}{r}_i.$$故 $\mathrm{deg}r=(\mathrm{deg}{r}_{n+1}{)}^{n+1}$.

考虑 ${\mathbb{S}}^n$ 的如下三角剖分:

它由 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 上典范正交基的顶点 $\left\{\pm e_1,\pm e_2,\dots ,\pm e_{n+1}\right\}$ 确定. 记 $e_{-i}=-e_i$, 得到复形 $K$ $$\left|K\right|=\left\{(x_1,\dots ,x_{n+1})\in {\mathbb{R}}^{n+1}:\sum _{i=1}^{n+1}\left|x_i\right|=1\right\}.$$考虑中心辐射 $\phi :\left|K\right|\to {\mathbb{S}}^n$, 有那么对 $K$ 中的 $n$ 维单形, 给定如下的定向: (约定 $i_j=\pm j$) $$\pm [e_{i_1},e_{i_2},\dots ,e_{i_{n+1}}]\{\begin{array}{l}\text{取 }+⟺\left\{i_k\right\}\text{中有偶数个负数}\\ \text{取 }-⟺\left\{i_k\right\}\text{中有奇数个负数}\end{array}$$令 $z_n=\sum _{\sigma \in {\mathbb{S}}_{+}^n(K)}\sigma$ 可知 $\partial z_n=0$. 这里 ${\mathbb{S}}_{+}^n(K)$ 是 $K$ 中正定向 $n$ 维单形全体. 此时 $z_n\in Z_n(K)=H_n({\mathbb{S}}^n)$, 那么$$({\tilde{r}}_{n+1}{)}_{♯}:C_n(K)\to C_n(K),\pm [e_1,\dots ,e_{n+1}]\mapsto \mp [e_1,\dots ,e_{n+1}].$$故 $({\tilde{r}}_{n+1}{)}_{♯}(z_n)=-z_n$, 由此 $\mathrm{deg}{\tilde{r}}_{n+1}=-1$ 得到 $\mathrm{deg}{r}_{n+1}=-1$.

$\square$

命题 2.5.7. 设 $h\in C({\mathbb{S}}^n,{\mathbb{S}}^n)$, 若 $\mathrm{deg}h\ne (-1{)}^{n+1}$, 则 $h$ 必有不动点.

证明. 用反证法, 设 $\forall x\in {\mathbb{S}}^n(h(x)\ne x)$. 取$$H:{\mathbb{S}}^n\times I\to {\mathbb{S}}^n,(x,t)\mapsto \frac{(1-t)h(x)+t(-x)}{\Vert (1-t)h(x)+t(-x)\Vert }.$$类似地, 若有 $(1-t)h(x)-tx=0$, 则$$\Vert (1-t)h(x)\Vert =t\Vert x\Vert ⟹1-t=t⟹t=\frac{1}{2}.$$而将 $t=1/2$ 代入之后有 $1/2(h(x)-x)\ne 0$, 于是 $H$ 是合理定义的. 此时由$$H(x,0)=h(x),H(x,1)=r(x)$$可知 $h\simeq r$, 而 $\mathrm{deg}h\ne \mathrm{deg}r=(-1{)}^{n+1}$, 矛盾.

$\square$

推论 2.5.8. 取 $f\in C({\mathbb{S}}^n,{\mathbb{S}}^n)$, $\mathrm{deg}f\ne 1$, 则存在 $x_0\in {\mathbb{S}}^n$ 使得 $f(x_0)=-x_0$.

证明. 考虑 $rf:{\mathbb{S}}^n\to {\mathbb{S}}^n$, 有 $\mathrm{deg}(rf)\ne (-1{)}^{n+1}$. 由 2.5.7 可知 $rf$ 存在不动点 $x_0$, 那么$$rf(x_0)=x_0⟹-f(x_0)=x_0,$$于是命题得证.

$\square$

下面把这一问题应用于所谓的 “毛球问题”:

定义 2.5.9 (向量场). 称 $v:X\to {\mathbb{R}}^n$ 是一个 $X$ 上的向量场 (当 $n=1$ 时称为数量场). 特别地, $v:{\mathbb{S}}^n\to {\mathbb{R}}^{n+1}$ 称作一个切向量场, 若对任意 $x\in {\mathbb{S}}^n$ 都有 $⟨x,v(x)⟩=0$.

推论 2.5.10 (Brouwer–Poincaré). ${\mathbb{S}}^n$ 上存在非零切向量场 (向量场非零指它在任何一点都非零.) 当且仅当 $n$ 为奇数.

证明. 充分性. 因 $n=2k-1$, 直接取$$v:{\mathbb{S}}^n\to {\mathbb{S}}^n,(x_1,x_2,\dots ,x_{2k-1},x_{2k})\mapsto (-x_2,x_1,\dots ,-x_{2k},x_{2k-1})$$是一个非零切向量场即可.

必要性. 若 ${\mathbb{S}}^n$ 存在非零切向量场 $v$, 考虑它诱导的映射$$h:{\mathbb{S}}^n\to {\mathbb{S}}^n,x\mapsto \frac{v(x)}{\Vert v(x)\Vert },$$因 $v$ 是切向量场, 故 $h$ 也是切向量场, 于是$$\forall x\in {\mathbb{S}}^n(h(x)\ne x\wedge h(x)=-x).$$由 2.5.7 可知 $\mathrm{deg}h=(-1{)}^{n+1}$, 又由 2.5.8 可知 $\mathrm{deg}h=1$, 于是 $n$ 是奇数.

$\square$

2.6应用: Euler 示性数, Lefschetz 不动点定理

设 $K$ 是有限复形, 但 $H_p(K)=\ker {\partial }_p/\mathrm{im}{\partial }_{p+1}$ 未必是自由的, 但一定是有限生成 Abel 群. 而有限生成 Abel 群 $G$ 总有分解$$G\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}\oplus (\mathbb{Z}/t_1\mathbb{Z})\oplus (\mathbb{Z}/t_2\mathbb{Z})\oplus \cdots \oplus (\mathbb{Z}/t_k\mathbb{Z})=F(G)\oplus T(G),$$其中 $F(G)$ 是 $G$ 的自由部分, 它有秩 $r$, $T(G)$ 是 $G$ 的挠部分, 满足 $t_1\mid t_2\mid \cdots \mid t_k$, 则 $H_i(K)$ 中自由部分的秩 ${\beta }_1(K):=\mathrm{rank}F(H_i(K))$ 称作复形 $K$ 的第 $i$ 个 Betti 数.

我们把 Brouwer 定理再次推广, 不仅仅考虑球面之间的映射, 而考虑一般的复形 $K$, 它的几何实现到自身的映射 $f\in C(\left|K\right|,\left|K\right|)$ 的不动点. 为此, 我们先回顾一点点初等线性代数的内容:

定义 2.6.1 (线性变换的迹). 设 $\phi :V\to V$ 是线性变换, $\left\{e_1,\dots ,e_n\right\}$ 是 $V$ 的基, $\phi$ 在 $\left\{e_i\right\}$ 下的矩阵为 $A$. 因迹对基变换是不变的, 于是可以定义$$\mathrm{tr}\phi :=\mathrm{tr}A$$是线性变换 $\phi$ 的迹.

引理 2.6.2. 设 $W$ 是 $V$ 的 $\phi$–不变子空间, 即 $\phi (W)\subset W$, 则 $\phi$ 可以诱导$${\phi }_{\ast }:V/W\to V/W,x+W\mapsto \phi (x)+W,$$此时有$$\mathrm{tr}\phi =\mathrm{tr}(\phi {|}_W)+\mathrm{tr}{\phi }_{\ast }.$$

证明. 设 $W$ 有一组基 $\left\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_r\right\}$, $V$ 的基 $\left\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_r,{\xi }_{r+1},\dots ,{\xi }_n\right\}$ 由 $W$ 的基扩张而来, 则 $V/W$ 以 $\left\{{\xi }_{r+1}+W,\dots ,{\xi }_n+W\right\}$ 为一组基. 设 $\phi$, $\phi {|}_W$ 和 ${\phi }_{\ast }$ 在对应基下的矩阵分别为 $A,A_W,A_{\ast }$, 则$$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_W& \ast \\ & A_{\ast }\end{array}\right],$$这导出 $\mathrm{tr}\phi =\mathrm{tr}(\phi {|}_W)+\mathrm{tr}{\phi }_{\ast }$.

$\square$

设 $G$ 是有限生成的自由 Abel 群, $\phi :G\to G$ 是线性映射. 也可以定义 $\mathrm{tr}\phi$: 考虑 $G$ 的 $\phi$–不变子群 $H$, 那么 $\phi$ 可以诱导商群上的线性映射$${\phi }_{\ast }:G/H\to G/H,$$当 $G/H$ 也是自由群时, 仍然有 $\mathrm{tr}\phi =\mathrm{tr}(\phi {|}_H)+\mathrm{tr}{\phi }_{\ast }$.

为了记号方便, 我们约定将链群、闭链群、边缘链群中的复形记号省略掉, 并且记$$H_p=Z_p/B_p=T_p\oplus F_p,$$这里 $T_p$ 是 $H_p$ 的挠部分, $F_p$ 是 $H_p$ 的自由部分. 那么 $Z_p$ 可以分解成两部分, 一部分被 $B_p$ 模掉之后产生挠部分, 把这一部分记作$$W_p:=\left\{c_p\in C_p:\exists \ell \in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}(\ell c_p\in B_p)\right\}.$$另一部分被 $B_p$ 模掉产生自由部分.

定理 2.6.3 (Hopf 迹定理). 设 $\phi :\mathcal{C}(K)\to \mathcal{C}(K)$ 是链映射, $K$ 是有限复形, 那么$$\sum _p(-1{)}^p\mathrm{tr}\phi {|}_{C_p}=\sum _p(-1{)}^p\mathrm{tr}({\phi }_{\ast },H_p/T_p),$$这里 ${\phi }_{\ast }$ 是合理定义的. (因形如 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 的同态必为零同态, 于是一定 $\phi (T_p)⩽T_p$.)

证明. 根据前面约定的记号, 容易得到$$B_p⩽W_p⩽Z_p⩽C_p.$$

首先考虑 $Z_p⩽C_p$. 由 $C_p\stackrel{{\partial }_p}{\twoheadrightarrow }{B}_{p-1}⩽C_{p-1}$ 且 $Z_p=\ker {\partial }_p$, 由第一同构定理得到$$C_p/Z_p\cong B_{p-1}.$$因 $B_{p-1}$ 自由, 故 $C_p/Z_p$ 自由. 由 2.6.2 可知$$\mathrm{tr}(\phi {|}_{C_p})=\mathrm{tr}(\phi {|}_{Z_p})+\mathrm{tr}({\phi }_{\ast },C_p/Z_p)=\mathrm{tr}(\phi {|}_{Z_p})+\mathrm{tr}({\phi }_{\ast },B_{p-1}).$$

再考虑 $W_p⩽Z_p$. 由则对任何 $z_p\in W_p$, 有 $j(z_p)=\left\{z_p\right\}+T_p$. 由 $W_p$ 的定义可知存在 $\ell \in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}$ 使得 $\ell z_p\in B_p$. 那么$$\ell \left\{z_p\right\}+T_p=\left\{\ell z_p\right\}+T_p=0+T_p,$$即 $W_p⩽\ker j$. 反之, 任取 $z_p\in \ker j$, 由$$j(z_p)=\left\{z_p\right\}+T_p=0⟹\exists \ell \in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}(\ell \left\{z_p\right\}=0)⟹z_p\in W_p$$知 $\ker j\subset W_p$. 于是 $W_p=\ker j$, 由第一同构定理可知$$Z_p/W_p\cong H_p/T_p=F_p.$$由 $F_p$ 自由可知 $Z_p/W_p$ 也自由, 由 2.6.2 可知$$\mathrm{tr}(\phi {|}_{Z_p})=\mathrm{tr}(\phi {|}_{W_p})+\mathrm{tr}({\phi }_{\ast },Z_p/W_p)=\mathrm{tr}(\phi {|}_{W_p})+\mathrm{tr}({\phi }_{\ast },F_p).$$

最后, 考虑 $B_p⩽W_p$. 我们断言 $\mathrm{rank}{B}_p=\mathrm{rank}{W}_p$ 且 $\mathrm{tr}(\phi {|}_{B_p})=\mathrm{tr}(\phi {|}_{W_p})$. 用反证法, 否则 $m=\mathrm{rank}{B}_p<\mathrm{rank}{W}_p=r$.

设 $\left\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\right\}$ 是 $W_p$ 的一组基, 不妨设 $n_i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$, $\left\{n_1{\alpha }_1,\dots ,n_m{\alpha }_m\right\}$ 是 $B_p$ 的一组基. 那么由 $r>m$ 可知存在 $n_{m+1}\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$ 使得 $n_{m+1}{\alpha }_{m+1}\in B_p$ (这由 $W_p$ 的定义可得), 矛盾, 于是 $r=m$.

设 $\phi {|}_{W_p}$ 在 $\left\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\right\}$ 下的矩阵为 $A=[a_{ij}]$, $\phi {|}_{B_p}$ 在 $\left\{n_1{\alpha }_1,\dots ,n_r{\alpha }_r\right\}$ 下的矩阵为 $B=[b_{ij}]$. 则$$\phi {|}_{W_p}({\alpha }_j)=\sum _{i=1}^r{a}_{ij}{\alpha }_i⟹\phi {|}_{W_p}(n_j{\alpha }_j)=\sum _{i=1}^r{a}_{ij}{n}_j{\alpha }_i.$$且$$\phi {|}_{B_p}(n_j{\alpha }_j)=\sum _{i=1}^r{b}_{ij}{n}_i{\alpha }_i.$$而 $B_p⩽W_p$, 于是 $\sum _{i=1}^r{a}_{ij}{n}_j{\alpha }_i=\sum _{i=1}^r{b}_{ij}{n}_i{\alpha }_i$, 这说明对任意 $i,j$ 成立$$a_{ij}{n}_j=b_{ij}{n}_i.$$特别地, 当 $i=j$ 时就有 $a_{ii}=b_{ii}$. 那么$$\mathrm{tr}(\phi {|}_{W_p})=\mathrm{tr}A=\sum _{i=1}^r{a}_{ii}=\sum _{i=1}^r{b}_{ii}=\mathrm{tr}B=\mathrm{tr}(\phi {|}_{B_p}).$$

于是: $$\begin{array}{rl}\mathrm{tr}(\phi {|}_{C_p})& =\mathrm{tr}(\phi {|}_{Z_p})+\mathrm{tr}(\phi {|}_{B_{p-1}})\\ & =\mathrm{tr}(\phi {|}_{W_p})+\mathrm{tr}({\phi }_{\ast },F_p)+\mathrm{tr}(\phi {|}_{B_{p-1}})\\ & =\mathrm{tr}(\phi {|}_{B_p})+\mathrm{tr}(\phi {|}_{B_{p-1}})+\mathrm{tr}({\phi }_{\ast },F_p).\end{array}$$因 $K$ 是有限复形, 于是下面的交错和是有限和, 得到$$\begin{array}{rl}\sum _{p⩾0}(-1{)}^p\mathrm{tr}(\phi {|}_{C_p})& =\sum _{p⩾0}(-1{)}^p\mathrm{tr}(\phi {|}_{B_p})-(-1{)}^{p-1}\mathrm{tr}(\phi {|}_{B_{p-1}})+(-1{)}^p\mathrm{tr}({\phi }_{\ast },F_p)\\ & =\sum _{p⩾0}(-1{)}^p\mathrm{tr}({\phi }_{\ast },F_p).\end{array}$$于是定理成立.

$\square$

我们再进一步讨论一下这些子群: 由 $Z_p/W_p\cong H_p/T_p$, 若记 $Z_p=W_p\oplus A$, 那么由 $W_p/B_p\cong T_p$,$$\frac{Z_p}{B_p}\cong \frac{W_p\oplus A}{B_p}\cong \frac{W_p}{B_p}\oplus A\cong T_p\oplus A,$$这说明 $A\cong F_p$.

定义 2.6.4 (Lefschetz 数). 设 $K$ 是有限复形, $h:\left|K\right|\to \left|K\right|$ 是连续映射, 称$$\Lambda (h):=\sum _p(-1{)}^p\mathrm{tr}(h_{\ast },H_p/T_p)$$是 $h$ 的 Lefschetz 数.

由定义可知若 $h\simeq h^{\prime }$, 则 $\Lambda (h)=\Lambda (h^{\prime })$, 这因 $h_{\ast }=h_{\ast }^{\prime }$; 同时 $\Lambda (h)$ 与 $\left|K\right|$ 的三角剖分无关, 因为之前已经说明过同调群不会随着重分改变.

特别地, 若允许同调群中的系数在数域中取值, 那么 $C_p$ 和 $H_p$ 都是向量空间, 其维数即为复形 $K$ 的 $p$ 阶 Betti 数, 也即 ${\dim }_{\mathbb{F}}{H}_p={\beta }_p(K)$.

考虑 $\mathrm{id}:\left|K\right|\to \left|K\right|$ 的 Lefschetz 数:$$\Lambda (\mathrm{id})=\sum _{p⩾0}(-1{)}^p\mathrm{tr}({\mathrm{id}}_{\ast },H_p/T_p)=\sum _{p⩾0}(-1{)}^p{\beta }_p(K).$$设 $K$ 的 $p$ 维单形个数为 $f_p$, 取 $f(K)=(f_0,\dots ,f_n)$, 那么$$\mathrm{rank}{C}_p(K)=f_p={\beta }_p(K).$$称$$\chi (K)=\sum _{p⩾0}(-1{)}^p\mathrm{rank}{C}_p(K)$$是 $K$ 的 Euler 示性数.

定理 2.6.5 (Euler–Poincaré). Euler 示性数是拓扑不变量, 它与 $\left|K\right|$ 的三角剖分无关, 且$$\chi (\left|K\right|)=\sum _{p⩾0}(-1{)}^p{\beta }_p(K).$$

一些典型的曲面 Euler 示性数可以计算出来:$$\chi ({\mathbb{T}}^2)=0,\chi (S)=0,\chi ({\mathbb{RP}}^2)=1,\chi ({\mathbb{S}}^n)=\{\begin{array}{ll}2,& n=2k\\ 0,& n=2k+1\end{array}.$$

定理 2.6.6 (Lefschetz 不动点定理). 设 $K$ 是有限复形, $h\in C(\left|K\right|,\left|K\right|)$, 若 $\Lambda (h)\ne 0$, 则 $h$ 必有不动点.

证明. 用反证法, 设 $\forall x\in \left|K\right|(h(x)\ne x)$, 考虑连续函数$$f:\left|K\right|\to \mathbb{R},x\mapsto \Vert x-h(x)\Vert ,$$因 $\left|K\right|$ 是紧度量空间, 它取到最小值 $\epsilon$. 不妨设 $\mathrm{mesh}K<\epsilon /2$ (否则取足够多次数的标准重心重分).

记 $h:\left|K\right|\to \left|K\right|$ 得单纯逼近为 $\phi :{\mathrm{sd}}^{m}K\to K$, 则对任意 $x\in K$, $h(x)$ 和 $\phi (x)$ 都落在 $K$ 的同一个单形中, 有$$\Vert h(x)-\phi (x)\Vert ⩽\mathrm{mesh}K<\frac{\epsilon }{2},$$故$$\Vert x-\phi (x)\Vert ⩾\Vert x-h(x)\Vert -\Vert h(x)-\phi (x)\Vert >\frac{\epsilon }{2}.$$

由代数重分定理: 则 $h_{\ast }=({\phi }_{♯}\lambda {)}_{\ast }={\xi }_{\ast }$. 故$$\Lambda (h)=\sum _{p⩾0}(-1{)}^p\mathrm{tr}(h_{\ast }:H_p/T_p)=\sum _{p⩾0}(-1{)}^p\mathrm{tr}({\xi }_{\ast },C_p).$$我们断言 $\mathrm{tr}({\xi }_{\ast },C_p)=0$. 这蕴含着 ${\xi }_p$ 在 $S_p^{+}(K)$ ( $K$ 的定向 $p$ 维单形全体, 这是 $C_p(K)$ 的一组基) 下的矩阵 $A$ 满足 $\mathrm{tr}A=0$. 这意味着 ${\xi }_p(\sigma )$ 中不能含有 $\sigma$. 因 $\lambda (\sigma )$ 被 ${\mathrm{sd}}^m{K}_{\sigma }$ 承载, 若$${\xi }_p(\sigma )={\phi }_{♯}\lambda (\sigma )=a\sigma +\cdots ,a\ne 0,$$在 $\lambda (\sigma )$ 的展开式中应当存在 $p$ 维单形 $\tau \in {\mathrm{sd}}^m{K}_{\sigma }$ 使得$${\phi }_{♯}(\tau )=a^{\prime }\sigma +\cdots ,a^{\prime }\ne 0.$$因对任意 $x\in \tau$ 都有 $\phi (x)\in \sigma$, 又 $\tau \subset \sigma$, 故 $x\in \sigma$, 从而$$\frac{\epsilon }{2}<\Vert x-\phi (x)\Vert ⩽\mathrm{mesh}K<\frac{\epsilon }{2},$$矛盾.

$\square$

推论 2.6.7. ${\mathbb{S}}^n$ 上的对径映射满足 $\mathrm{deg}r=(-1{)}^{n+1}$.

证明. 由 2.6.6 知 $\Lambda (r)=1+(-1{)}^n\mathrm{deg}r=0$.

$\square$

推论 2.6.8. 设 $K$ 是零调的, 则任意 $f\in C(\left|K\right|,\left|K\right|)$ 都存在不动点.

证明. 设 $f_{\ast }:H_0(K)\to H_0(K)$, 它有单纯逼近 $\phi :K^{\prime }\to K$, 那么图交换.

对 $v\in K^{(0)}$, $K_v^{\prime }=\left\{v\right\}$, 有 $\lambda (v)=\ell v$. 由$$1=\epsilon (v)={\epsilon }^{\prime }\lambda (v)=\ell {\epsilon }^{\prime }(v)=\ell$$可知 $\lambda (v)=v$, 于是$${\phi }_{♯}(\lambda (v))={\phi }_{♯}(v)=\phi (v)$$与 $v$ 在同一同调类中, 这即 $f_{\ast }(\left\{v\right\})=\left\{{\phi }_{\ast }(\lambda (v))\right\}=\left\{v\right\}$, 即 $f_{\ast }={\mathrm{id}}_{\ast }$. 故 $\Lambda (f)=\Lambda (\mathrm{id})=1\ne 0$. 由 2.6.6 得证.

$\square$

推论 2.6.9. 设 $\chi (\left|K\right|)\ne 0$, 则对任意同伦于 ${\mathrm{id}}_{|K|}$ 的连续映射 $f\in C(\left|K\right|,\left|K\right|)$, $f$ 存在不动点.

证明. 因 $\Lambda (f)=\Lambda (\mathrm{id})=\chi (\left|K\right|)\ne 0$.

$\square$