10. 对偶平坦流形

本节我们着眼于定义有一对平坦对偶联络的 Riemann 流形. 我们称它们为 “对偶平坦流形”.

定义 10.0.1 (对偶平坦流形). 设 $(M,g)$ 是 Riemann 流形, $\nabla ,{\nabla }^{\ast }$ 是 $M$ 上定义的两个关于 $g$ 对偶的平坦联络, 则称 $(M,g,\nabla ,{\nabla }^{\ast })$ 是一个对偶平坦流形, $\nabla ,{\nabla }^{\ast }$ 称为该对偶平坦流形上的对偶平坦联络.

我们利用定理 9.0.6 知 $\nabla$ 的曲率为 $0$ 与 ${\nabla }^{\ast }$ 曲率为 $0$ 是等价的, 因此验证双平坦性只需验证 “$\nabla ,{\nabla }^{\ast }$ 的挠率皆为 $0$, 且 $\nabla ,{\nabla }^{\ast }$ 中有一个的曲率为 $0$”, 并且利用命题 9.0.7, 我们还可以得到 “$\nabla ,{\nabla }^{\ast }$ 的挠率皆为 $0$” 的其它等价表述.

例 10.0.2. 设 $(M,g)$ 是平坦的 Riemann 流形, $\nabla$ 是其 Levi-Civita 联络, 则 $(M,g,\nabla ,\nabla )$ 构成双平坦流形.

由上例可知, 平坦的 Riemann 流形上有一个自然构造的对偶平坦结构, 从而可以看作是对偶平坦流形的一个特例. 当然, 这是一个最平凡, 最简单的特例. 我们在下一章将要介绍的 $n$ 维统计流形便不属于此类 (如果读者属于 “talk is less, show me the example” 的类型, 那么可以尝试先读 §??$\sim$§?? 的内容, 它与本节内容相对独立)

一对对偶平坦联络会各自产生一个仿射坐标系的概念, 并且一般来讲, 这两个仿射坐标系的概念是不一样的. 而有趣的是, 由对偶平坦联络的对偶性, 我们其实可以自然地定义一种为这两种仿射坐标系 “配对” 的方式, 产生 “对偶仿射坐标系” 的概念.

定义 10.0.3 (对偶仿射坐标系). 设 $(M,g,\nabla ,{\nabla }^{\ast })$ 是对偶平坦流形, $(U;x^1,\cdots ,x^n)$ 是 $M$ 上的关于 $\nabla$ 的仿射坐标系, $(V;y^1,\cdots ,y^n)$ 是 $M$ 上的关于 ${\nabla }^{\ast }$ 的仿射坐标系, 并且在 $U\cap V$ 上有$$g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial y^i}\right)={\delta }_{ij},$$(10.1)则称 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$, $(V;y^1,\cdots ,y^n)$ 是一对 $M$ 上的对偶仿射坐标系.

命题 10.0.4 (对偶仿射坐标系的存在性). 对于对偶平坦流形 $(M,g,\nabla ,{\nabla }^{\ast })$ 上的任意一点 $p$, 存在一个对包含 $p$ 的对偶仿射坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$ 和 ${\nabla }^{\ast }$-仿射坐标系 $(U;y^1,\cdots ,n^n)$.

证明. 我们在点 $p$ 附近任选 $\nabla$-仿射坐标系 $(U;{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n)$ 和 ${\nabla }^{\ast }$-仿射坐标系 $(V;{\eta }^1,\cdots ,{\eta }^n)$, 不妨设 $U=V=U\cap V$. 我们取 $G$ 为一如下定义的 $n\times n$ 矩阵: 其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为$$G_{ij}={g\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},\frac{\partial }{\partial {\eta }^j}\right)|}_p.$$则由于 $g$ 是正定的, 可知 $G$ 是非奇异的. 我们在点 $p$ 附近重新选取坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$, $(U;y^1,\cdots ,y^n)$, 使得$$x^i={\xi }^i,y^i=\sum _{j=1}^n{G}_{ij}{\eta }^j,$$则 $(U;y^1,\cdots ,y^n)$ 与 $(U;{\eta }^1,\cdots ,{\eta }^n)$ 相差一个线性仿射变换, 由此容易验证 $(U;y^1,\cdots ,y^n)$ 也是一个 ${\nabla }^{\ast }$-仿射坐标系. 此外, 我们还有如下关系$$\frac{\partial }{\partial {\xi }^i}=\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial {\eta }^j}=\sum _{k=1}^n{G}_{kj}\frac{\partial }{\partial y^k},$$由此可知$$G_{ij}={\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},\frac{\partial }{\partial {\eta }^j}\right)|}_p=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial y^k}\right)|}_p{G}_{kj}$$对于任意 $i,j=1,2,\cdots ,n$ 成立, 由此可知$${g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial y^k}\right)|}_p={\delta }_{ik}$$(10.2)对于任意 $i,k=1,2,\cdots ,n$ 成立. 此外, 我们把 $g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial y^k}\right)$ 看作是 $U$ 上的一个函数, 对于任意 $U$ 上定义的向量场 $X$, 我们有$$Xg\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial y^k}\right)=g\left({\nabla }_X\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial y^k}\right)+g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},{\nabla }_X^{\ast }\frac{\partial }{\partial y^k}\right)=0,$$其中第 2 个等号利用了 $\left\{x^i\right\}$, $\left\{y^i\right\}$ 的平坦性, 从而 ${\nabla }_X\frac{\partial }{\partial x^i}\equiv {\nabla }_X^{\ast }\frac{\partial }{\partial y^k}\equiv 0$ 成立. 这样一来, $g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial y^k}\right)$ 在整个 $U$ 上是常数. 再利用 (10.2) 可知$$g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial y^k}\right)={\delta }_{ik}$$在整个 $U$ 上 (不只是 $p$ 点处) 成立, 因此 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$, $(U;y^1,\cdots ,y^n)$ 是一对对偶仿射坐标系. 命题得证.

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我们今后调整一下对偶坐标系的记法, 用相反的上下标来个表示一对对偶仿射坐标系的坐标分量. 也就是说, 如果 ${\xi }^1,{\xi }^2,\cdots ,{\xi }^n$ 是一个 $\nabla$-仿射坐标系的 $n$ 个坐标分量, 那么它的一个对偶仿射坐标系的 $n$ 个坐标分量就应表示为 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$. 相应的切向量标架 $\frac{\partial }{\partial {\eta }_1}$, $\frac{\partial }{\partial {\eta }_2}$, $\cdots$, $\frac{\partial }{\partial {\eta }_n}$ 中的角标则被视为上标, 这样一来, (10.1) 就应写为$$g\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},\frac{\partial }{\partial {\eta }_j}\right)={\delta }_i^j,$$(10.3)此外, 我们还会相应地记$$g_{ij}=g\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},\frac{\partial }{\partial {\xi }^j}\right),g^{ij}=g\left(\frac{\partial }{\partial {\eta }_i},\frac{\partial }{\partial {\eta }_j}\right),$$接下来的命题告诉我们如何构造一个与给定 $\nabla$-仿射坐标系对偶的 ${\nabla }^{\ast }$-仿射坐标系.

命题 10.0.5. 设 $(M,g,\nabla ,{\nabla }^{\ast })$ 是对偶平坦流形, $(U;{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n)$, $(U;{\eta }^1,\cdots ,{\eta }^n)$ 是其上对偶仿射坐标系, 并且 $\xi (U)$ 和 $\eta (U)$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 同胚, 记 $g_{ij}=g(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},\frac{\partial }{\partial {\xi }^j})$, $g^{ij}=g(\frac{\partial }{\partial {\eta }_i},\frac{\partial }{\partial {\eta }_j})$, 则

(i).	$g_{ij}=\frac{\partial {\eta }_j}{\partial {\xi }^i}=\frac{\partial {\eta }_i}{\partial {\xi }^j}$, $g^{ij}=\frac{\partial {\xi }^j}{\partial {\eta }_i}=\frac{\partial {\xi }^i}{\partial {\eta }_j}$, $g_{ij}{g}^{jk}={\delta }_i^k$,
(ii).	$U$ 上存在光滑函数 $\phi ,\xi$, 使得$${\eta }_i=\frac{\partial \psi }{\partial {\xi }^i},{\xi }^i=\frac{\partial \phi }{\partial {\eta }_i},\psi +\phi +{\xi }^i{\eta }_i=0,$$(10.4)
(iii).	(ii) 中的 $\psi ,\phi$ 使得$$g_{ij}=\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\xi }^i\partial {\xi }^j},g^{ij}=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\eta }_i\partial {\eta }_j}$$(10.5)成立.

证明. (i). 只需注意$$g_{ij}=g\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},\frac{\partial }{\partial {\xi }^j}\right)=g\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},\frac{\partial {\eta }_k}{\partial {\xi }^j}\frac{\partial }{\partial {\eta }_k}\right)=\frac{\partial {\eta }_k}{\partial {\xi }^j}g\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},\frac{\partial }{\partial {\eta }_k}\right)=\frac{\partial {\eta }_k}{\partial {\xi }^j}{\delta }_i^k=\frac{\partial {\eta }_i}{\partial {\xi }^j},$$$$g^{ij}=g\left(\frac{\partial }{\partial {\eta }^i},\frac{\partial }{\partial {\eta }^j}\right)=g\left(\frac{\partial }{\partial {\eta }^i},\frac{\partial {\xi }^k}{\partial {\eta }^j}\frac{\partial }{\partial {\xi }^k}\right)=\frac{\partial {\xi }^k}{\partial {\eta }^j}g\left(\frac{\partial }{\partial {\eta }^i},\frac{\partial }{\partial {\xi }^k}\right)=\frac{\partial {\xi }^k}{\partial {\eta }^j}{\delta }_k^i=\frac{\partial {\xi }^i}{\partial {\eta }^j},$$随后利用 $g$ 的对称性可得$$\frac{\partial {\eta }_j}{\partial {\xi }^i}=g_{ji}=g_{ij},\frac{\partial {\xi }^j}{\partial {\eta }^i}=g^{ji}=g^{ij},$$最后$$g_{ij}{g}^{jk}=\frac{\partial {\eta }_i}{\partial {\xi }^j}\frac{\partial {\xi }^j}{\partial {\eta }_k}={\delta }_i^k.$$(ii). 由 (i) 知 $\frac{\partial {\eta }_j}{\partial {\xi }^i}=\frac{\partial {\eta }_i}{\partial {\xi }^j}$, 因而局部上存在一个函数 $\psi$ 使得$${\eta }_i=\frac{\partial \psi }{\partial {\xi }^i}$$对每一个 $i$ 成立. 而 $U$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 同胚, 因此 $\psi$ 在 $U$ 上有全局定义. 同理, $U$ 上也存在一个函数 $\phi$, 使得$${\xi }^i=\frac{\partial \phi }{\partial {\eta }_i}$$对于每一个 $i$ 成立. 此时有$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\left(\psi +\phi -{\xi }^i{\eta }_i\right)& =\mathrm{d}\psi +\mathrm{d}\phi -{\eta }_i\mathrm{d}{\xi }^i-{\xi }^i\mathrm{d}{\eta }_i\\ & =\frac{\partial \psi }{\partial {\xi }^i}\mathrm{d}{\xi }^i+\frac{\partial \phi }{\partial {\eta }_i}\mathrm{d}{\eta }_i-{\eta }_i\mathrm{d}{\xi }^i-{\xi }^i\mathrm{d}{\eta }_i\\ & =\left(\frac{\partial \psi }{\partial {\xi }^i}-{\eta }_i\right)\mathrm{d}{\xi }^i+\left(\frac{\partial \phi }{\partial {\eta }_i}-{\xi }^i\right)\mathrm{d}{\eta }_i\\ & =0\end{array}$$再由 $U$ 的连通性知 $\psi +\phi -{\xi }^i{\eta }_i$ 是常值函数. $\psi$ 加上一个常值函数不影响 ${\eta }_i=\frac{\partial \psi }{\partial {\xi }^i}$ 的成立. 故我们可以通过在 $\psi$ 上加上一个常数值使得 $\psi +\phi -{\xi }^i{\eta }_i$ 恒为 $0$. 这就说明了 $\psi ,\phi$ 的存在性.

(iii). 利用 (i), (ii) 所得结论直接计算可知$$g_{ij}=\frac{\partial {\eta }_j}{\partial {\xi }^i}=\frac{\partial }{\partial {\xi }^i}\left(\frac{\partial \psi }{\partial {\xi }^j}\right)=\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\xi }^i\partial {\xi }^j},g^{ij}=\frac{\partial {\xi }^j}{\partial {\eta }_i}=\frac{\partial }{\partial {\eta }_i}\left(\frac{\partial \psi }{\partial {\eta }_j}\right)=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\eta }_i\partial {\eta }_j},$$而 $\psi ,\phi$ 的凸性由 $g_{ij}$ 和 $g^{ij}$ 的正定性可知.

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接下来, 我们进一步缩小讨论范围, 假设所讨论光滑流形是整体同胚于 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个开球, 没有任何非平凡的拓扑结构, 这一点对于本文涉及的流形都是成立的. 此时, 命题 8.0.7 中描述的仿射坐标系构造方式是可以用来覆盖整个流形的全局仿射坐标系的. 因此存在一个覆盖整个流形的 $\nabla$-仿射坐标系 $\left(M;{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n\right)$ 和一个覆盖整个流形的 ${\nabla }^{\ast }$-仿射坐标系 $(M;{\eta }_i,\cdots ,{\eta }_n)$ 并且利用命题 10.0.4 的结论, 我们可以假设 $\left(M;{\xi }^i\right)$ 与 $(M;{\eta }_i)$ 是对偶仿射坐标系. 这样一来, 一个同胚于 ${\mathbb{R}}^n$ 开球的对偶平坦流形上一定存在一对覆盖整个流形的对偶仿射坐标系 $\left(M;{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n\right)$, $(M;{\eta }_i,\cdots ,{\eta }_n)$, 并且命题 10.0.5 中描述的势函数 $\psi$ 和 $\phi$ 在整个 $M$ 上是有定义的. 在必要时, 我们会要求 $M$ 具有 " 对偶凸性 ", 即 $\xi (M)$ 和 $\eta (M)$ 都是 ${\mathbb{R}}^n$ 的凸集. 这一点可以保证连接任意两点的 $\nabla$-测地线与 ${\nabla }^{\ast }$-测地线都是存在的.

接下来我们给出一个在拓扑平凡的对偶平坦流形上定义的一个重要几何概念: $\nabla$-散度.

定义 10.0.6. 设 $\left(M,g,\nabla ,{\nabla }^{\ast }\right)$ 是拓扑平凡的对偶平坦流形, $\left\{{\xi }^i\right\}$, $\{{\eta }_i\}$ 是其上一对对偶仿射坐标系. $\psi ,\phi$ 是相应的势函数, 对任意 $M$ 上的两点 $p,q$, 我们定义二者之间的 $\nabla$-散度为$$D(p\Vert q):=\psi (p)+\phi (q)-{\xi }^i(p){\eta }_i(q)$$(10.6)

注 10.0.7. 由于我们通常把 $\psi$ 写成 $\left\{{\xi }^i\right\}$ 坐标系下的函数, 把 $\phi$ 写成 $\{{\eta }_i\}$ 坐标系下的函数, 故上式也通常记作$$D(p\Vert q):=\psi (\xi (p))+\phi (\eta (q))-{\xi }^i(p){\eta }_i(q),$$其中$$\xi (p)=\left({\xi }^1(p),{\xi }^2(p),\cdots ,{\xi }^n(p)\right),$$$$\eta (q)=({\eta }_1(q),{\eta }_2(q),\cdots ,{\eta }_n(q)).$$

上述定义是在局部坐标系下给出的. 按照几何学的基本原则, 我们还需证明这个定义对偶坐标系 $\left\{{\xi }^i\right\}$, $\{{\eta }_i\}$ 的选取方式无关. 这一点由下述命题保证.

命题 10.0.8. 设 $\{{\xi }^i\}$, $\{{\eta }_i\}$ 与 $\{{\tilde{\xi }}^i\}$, $\{{\tilde{\eta }}_i\}$ 是拓扑平凡的对偶平坦流形 $(M,g,\nabla ,{\nabla }^{\ast })$ 上的两组全局有定义的对偶仿射坐标系, $\psi ,\phi$ 和 $\tilde{\psi },\tilde{\phi }$ 分别是相应于两组坐标系的势函数, 则对于任意 $p,q\in M$, 有$$\psi (p)+\phi (q)-{\xi }^i(p){\eta }_i(q)=\tilde{\psi }(p)+\tilde{\phi }(q)-{\tilde{\xi }}^i(p){\tilde{\eta }}_i(q)$$(10.7)

证明. 利用定理 8.0.11 可知 $\left\{{\xi }^i\right\}$ 到 $\{{\tilde{\xi }}^{\lambda }\}$, $\{{\eta }_i\}$ 到 $\{{\tilde{\eta }}_{\lambda }\}$ 的坐标变换一定是仿射变换, 即存在常值矩阵 $A=\left(A_i^{\lambda }\right)$, $B=\left(B_{\lambda }^i\right)$ 和常值向量 $a=a^{\lambda }$, $b=b_{\lambda }$, 使得$${\tilde{\xi }}^{\lambda }=A_i^{\lambda }{\xi }^i+a^{\lambda },{\tilde{\eta }}_{\lambda }=B_{\lambda }^i{\eta }_i+b_{\lambda },$$(10.8)此外, 由对偶性知$${\delta }_i^j=g\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},\frac{\partial }{\partial {\eta }_j}\right)=A_i^{\lambda }{B}_{\mu }^{j}g\left(\frac{\partial }{\partial {\tilde{\xi }}^{\lambda }},\frac{\partial }{\partial {\tilde{\eta }}_{\mu }}\right)=A_i^{\lambda }{B}_{\mu }^j{\delta }_{\lambda }^{\mu }=A_i^{\lambda }{B}_{\lambda }^j,$$即 $A$ 和 $B$ 互为逆矩阵, 于是我们有$$\frac{\partial }{\partial {\tilde{\xi }}^{\lambda }}=\frac{\partial {\xi }^i}{\partial {\tilde{\xi }}^{\lambda }}\frac{\partial }{\partial {\xi }^i}={\left(A^{-1}\right)}_{\lambda }^i\frac{\partial }{\partial {\xi }^i}=B_{\lambda }^i\frac{\partial }{\partial {\xi }^i},$$$$\frac{\partial }{\partial {\tilde{\eta }}_{\lambda }}=\frac{\partial {\eta }_i}{\partial {\tilde{\eta }}_{\lambda }}\frac{\partial }{\partial {\eta }_i}={\left(B^{-1}\right)}_i^{\lambda }\frac{\partial }{\partial {\eta }_i}=A_i^{\lambda }\frac{\partial }{\partial {\eta }_i},$$利用势函数的定义, 可知$${\tilde{\eta }}_{\lambda }=\frac{\partial \tilde{\psi }}{\partial {\tilde{\xi }}^{\lambda }}=B_{\lambda }^j\frac{\partial \tilde{\psi }}{\partial {\xi }^j},$$而同样利用势函数的定义, 并结合 (10.8), 我们有$${\tilde{\eta }}_{\lambda }=B_{\lambda }^j{\eta }_j+b_{\lambda }=B_{\lambda }^j\frac{\partial \psi }{\partial {\xi }^j}+b_{\lambda },$$比较上述两式, 可知$$\frac{\partial \tilde{\psi }}{\partial {\xi }^j}=\frac{\partial \tilde{\psi }}{\partial {\xi }^j}+{\left(B^{-1}\right)}_j^{\lambda }{b}_{\lambda }=\frac{\partial \psi }{\partial {\xi }^j}+A_j^{\lambda }{b}_{\lambda },$$对上式进行积分, 可知$$\tilde{\psi }=\psi +A_j^{\lambda }{b}_{\lambda }{\xi }^j+c,$$(10.9)其中 $c$ 是常数, 再利用 (10.4) 可得$$\begin{array}{rl}\tilde{\phi }& ={\tilde{\xi }}^{\lambda }{\tilde{\eta }}_{\lambda }-\tilde{\psi }\\ & =\left(A_i^{\lambda }{\xi }^i+a^{\lambda }\right)\left(B_{\lambda }^j{\eta }_j+b_{\lambda }\right)-\psi +A_j^{\lambda }{b}_{\lambda }{\xi }^j+c\\ & =\left({\xi }^i{\eta }_i-\psi \right)+a^{\lambda }{B}_{\lambda }^j{\eta }_j+a^{\lambda }{b}_{\lambda }-c\\ & =\phi +a^{\lambda }{B}_{\lambda }^j{\eta }_j+a^{\lambda }{b}_{\lambda }-c\end{array}$$(10.10)综合 (10.8)(10.9)(10.10) 可得$$\begin{array}{rl}& \tilde{\psi }(p)-\tilde{\phi }(q)-{\tilde{\xi }}^{\lambda }(p)\tilde{\eta }(q)\\ =& \left\{\psi (p)+A_j^{\lambda }{b}_j{\theta }^j(p)+c\right\}+\left\{\phi (q)+a^{\lambda }{B}_{\lambda }^j{\eta }_j(q)-c\right\}\\ & -\left(A_i^{\lambda }{\xi }^i+a^{\lambda }\right)\left(B_{\lambda }^j{\eta }_j+b_{\lambda }\right)\\ =& \psi (p)+\phi (q)-{\theta }^i(p){\eta }_i(q),\end{array}$$即不同对偶坐标系下 $\nabla$-散度的定义是一致的, 故 $\nabla$-散度的定义与坐标选取方式无关.

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(to be continued ...)