8. 平坦联络再回顾

本节我们来更细致地梳理一些关于联络——特别是平坦联络相关的概念. 严格来讲, 本部分仍然属于预备知识范畴, 但是绝大多数微分几何课程不会在 “平坦联络” 这一部分停留太久, 介绍太多; 反倒是我们在信息几何中会十分频繁地使用平坦联络结构. 因此, 我们把它放入正式章节, 以期读者重视.

我们首先回顾一个与联络相关的极其重要的概念: 平行移动.

定义 8.0.1 (沿曲线平行的向量场). 设光滑流形 $M$ 上定义有联络 $\nabla$, $\gamma :[a,b]\to M$ 是 $M$ 上的一条光滑曲线, $Z$ 是 $M$ 上的一个在 $\gamma ([a,b])$ 有定义且光滑的切向量场, 使得$${\nabla }_{\dot{\gamma }(t)}Z\equiv 0a\le t\le b,$$(8.1)成立, 则称 $Z$ 是 (关于联络 $\nabla$ 的) 沿曲线 $\mathbf{C}$ 平行的切向量场.

我们将 (8.1) 在局部坐标下表示出来. 设 $(U;x^1,x^2,\cdots ,x^n)$ 是 $M$ 上的一个坐标系, $\gamma$ (或至少 $\gamma$ 中的一段) 包含于 $U$, $\gamma$ 和 $Z$ 在该坐标系下的表达式分别是$$\dot{\gamma }={\dot{\gamma }}^i\frac{\partial }{\partial x^i},Z=Z^i\frac{\partial }{\partial x^i},$$则利用 (4.4) 我们有$${\nabla }_{\dot{\gamma }(t)}Z={\gamma }^i\left(\frac{\partial Z^k}{\partial x^i}+Z^j{\dot{\Gamma }}_{ij}^k\right)\frac{\partial }{\partial x^k}=({\dot{Z}}^k+Z^j{\dot{\gamma }}^i{\Gamma }_{ij}^k)\frac{\partial }{\partial x^k}.$$(8.2)其中 $\dot{Z}(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Z(\gamma (t))$. 这样一来, (8.1) 便等价于如下常微分方程组:$${\dot{Z}}^k(t)+Z^j(t){\dot{\gamma }}^i(t){\Gamma }_{ij}^k(\gamma (t))=0,k=1,2,\cdots ,n.$$(8.3)注意该方程组对于 $Z^1,Z^2,\cdots ,Z^n$ 是线性的.

定义 8.0.2 (测地线). 若曲线 $\gamma :I\to M$ 的切向量场是关于 $\nabla$ 沿 $\gamma$ 自身平行的, 即$${\nabla }_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }=0,\forall t\in I$$(8.4)则称 $\gamma$ 是 $M$ 上关于 $\nabla$ 的测地线.

利用 (8.3) 我们可以直接得到测地线在任意一个局部坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$ 下的表达式:$${\ddot{\gamma }}^k(t)+{\dot{\gamma }}^j(t){\dot{\gamma }}^i(t){\Gamma }_{ij}^k(\gamma (t))=0,k=1,2,\cdots ,n.$$(8.5)这是一个关于 ${\gamma }^1,{\gamma }^2,\cdots ,{\gamma }^n$ 的二阶非线性常微分方程组.

注 8.0.3. (8.3) 的一阶线性性质与 (8.5) 的二阶非线性性质并不互相矛盾. 因为二者在描述完全不同的问题. 前者是求解一个沿已知曲线平行的向量场, 未知量是 $Z^1,Z^2,\cdots ,Z^n$; 后者则是求解一条未知的曲线, 未知量是 ${\gamma }^1,{\gamma }^2,\cdots ,{\gamma }^n$.

定义 8.0.4 (平行移动). 设 $M$ 是光滑流形, $\gamma :[a,b]\to M$ 是光滑曲线, $v\in T_{\gamma (a)}M$, $Z$ 是沿曲线 $\gamma$ 平行的向量场, 并且 $Z_{\gamma (a)}=v$, 则我们称 $Z_{\gamma (b)}\in T_{\gamma (b)}M$ 为 $v$ 从 $\gamma (a)$ 沿曲线 $\gamma$ 平行移动到 $\gamma (b)$ 点所得的切向量, 记作 ${\Pi }_{C}v$. 有时 (在不引起歧义的前提下) 亦会记作 ${\Pi }_{p(b)}^{p(a)}$ 或 ${\Pi }_b^a$.

命题 8.0.5. 定义 8.0.4 中的 ${\Pi }_{C}v$ 是良定义的, 且相应的 ${\Pi }_C$ 构成 $T_{\gamma (a)}$ 与 $T_{\gamma (b)}$ 的线性同构.

证明. 如果 $\gamma ([a,b])$ 可以被单个局部坐标 $(U;x^i)$ 覆盖, 那么该命题可化归为常微分方程组 (8.3) 的线性性质及解的唯一存在性, 而后者则可由 Picard-Lindelöf 定理及 ${\gamma }^i,Z^i$ 的光滑性保证. 否则, 我们可以将 $[a,b]$ 分成若干小段 $[t_0=a,t_1]$, $[t_1,t_2]$, $\cdots$, $[t_{N-1},t_N=b]$, 使得每一个小段都可以被一个局部坐标覆盖, 然后利用我们已经在局部坐标上得到的结论可知每一个 ${\Pi }_{\gamma (t_i)}^{t_{i+1}}$ 都是线性同构, 从而$${\Pi }_{\gamma }={\Pi }_{\gamma (t_N)}^{\gamma (t_0)}={\Pi }_{\gamma (t_N)}^{\gamma (t_{N-1})}\circ {\Pi }_{\gamma (t_{N-1})}^{\gamma (t_{N-2})}\circ \cdots \circ {\Pi }_{\gamma (t_1)}^{\gamma (t_0)}$$必是线性同构.

$\square$

定理 8.0.6. 设 $\gamma :[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ 是光滑流形 $M$ 上的光滑曲线, $\nabla$ 是 $M$ 上的联络, 则对于任意光滑向量场 $Y$ 而言, 有$$({\nabla }_{\dot{\gamma }(t)}Y){|}_{t=a}=\underset{t\to a}{\lim }\frac{1}{t-a}\{{\Pi }_{\gamma (a)}^{\gamma (t)}{Y}_{\gamma (t)}-Y_{\gamma (a)}\},$$(8.6)其中 ${\Pi }_{\gamma (a)}^{\gamma (t)}$ 是沿 $\gamma$ 的 (关于 $\nabla$ 的) 平行移动算子.

证明. 由于问题是局部的, 我们可以 (通过适当缩小 $\epsilon$) 假设 $\gamma ([a-\epsilon ,a+\epsilon ])$ 整个地包含于 $M$ 的一个局部坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$, 然后在该坐标系下证明相应结论. 假设在该坐标系下 $\gamma$ 和 $Y$ 的局部坐标表示为$$\gamma (t)=({\gamma }^1(t),{\gamma }^2(t),\cdots ,{\gamma }^n(t)),Y=Y^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$此外, 对于 $\gamma$ 附近光滑的任一向量场 $Z$, 设其在 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$ 下的局部坐标表达式为 $Z^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, 并记 $Z(t):=Z(\gamma (t))$, ${\dot{Z}}^i(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{Z}^i(\gamma (t))=\frac{\partial Z^i}{\partial x^j}{\dot{\gamma }}^j(t)$, 则 $Z$ 沿 $\gamma$ 平行的充要条件是$$\frac{Z^k(a+h)-Z^k(a)}{h}+{\Gamma }_{ij}^k(\gamma (a+h)){\dot{\gamma }}^i(a+h)Z^j(a+h)=o(1)$$对每一个 $k$ 及每一个充分小的 $h$ 成立 ¹. 特别地, 若 $Z_{p(a+h)}=Y_{p(a+h)}$, 则$$\begin{array}{rl}{\Pi }_{\gamma (a)}^{\gamma (a+h)}{Y}_{\gamma (a+h)}=& {\Pi }_{\gamma (a)}^{\gamma (a+h)}{Z}_{\gamma (a+h)}=Z_{\gamma (a)}=Z^k(a){\frac{\partial }{\partial x^k}|}_{\gamma (a)}\\ =& \left\{Z^k(a+h)+h{\Gamma }_{ij}^k(\gamma (a+h)){\dot{\gamma }}^i(a+h)Z^j(a+h)+h(h)\right\}{\frac{\partial }{\partial x^k}|}_{\gamma (a)}\\ =& \left\{Y^k(a+h)+h{\Gamma }_{ij}^k(\gamma (a+h)){\dot{\gamma }}^i(a+h)Y^j(a+h)+h(h)\right\}{\frac{\partial }{\partial x^k}|}_{\gamma (a)}\end{array}$$从而$$\begin{array}{rl}& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\left\{{\Pi }_{\gamma (a)}^{\gamma (a+h)}{Y}_{\gamma (a+h)}-Y_{\gamma (a)}\right\}\\ =& \underset{h\to 0}{\lim }\left\{\frac{Y^k(a+h)-Y^k(a)}{h}+{\Gamma }_{ij}^k(\gamma (a+h)){\dot{\gamma }}^i(a+h)Y^j(a+h)+o(1)\right\}{\frac{\partial }{\partial x^k}|}_{\gamma (a)}\\ =& \left\{{\dot{Y}}^k(a)+{\Gamma }_{ij}^k(\gamma (a)){\dot{\gamma }}^i(a)Y^j(a)\right\}{\frac{\partial }{\partial x^k}|}_{\gamma (a)}\\ =& {\nabla }_{\dot{\gamma }(t)}Y{|}_{\gamma (a)},\end{array}$$命题得证.

$\square$

在一个一般的联络 $\nabla$ 的意义下的平行移动往往是和路径有关的. 即如果 $\gamma :[a,b]\to M$ 和 $\tilde{\gamma }:[a,b]\to M$ 是两条具有相同起点和终点的不同的光滑曲线, 那么 ${\Gamma }_{\gamma }$ 和 ${\Gamma }_{\tilde{\gamma }}$ 不一定是 $T_{\gamma (a)}M\to G_{\gamma (b)}M$ 的同一线性同构. 或者说如果 $\gamma :[a,b]\to M$ 是环路, $\gamma (a)=\gamma (b)=p$, 则 ${\Pi }_{\gamma }$ 不一定是 $T_{p}M$ 到自身的恒同映射. 一个经典的例子是说在球面 $S^2$ 上, 把一个赤道上的切向量 “直接沿经线平行移动到北极点” 和 “先沿赤道平行移动到对径点, 再平行移动到北极点” 所得结果是北极点处方向相反的两个切向量.

但是如果 $\nabla$ 是平坦的, 则情况会有所变化: 至少在每一点附近的一个邻域内, 我们可以让平行移动变得与路径无关. 即沿该邻域内的任一曲线的平行移动的结果都仅和曲线的起点和终点有关. 为了说明这一点, 我们考虑这样一种情况, 即 $M$ 上存在一个光滑坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$, 使得在该坐标系下 $\nabla$ 的全体 Christoffel 系数皆为 $0$. 我们称这样的坐标系为相应于 $\nabla$ 的仿射坐标系. 这样一来, 对于该邻域内的任一光滑曲线 $\gamma$ 而言, 沿着该曲线平行的向量场 $Z$ 所满足的常微分方程组 (8.1) 退化为$${\dot{Z}}^k(t)=0k=1,2,\cdots ,n,$$这说明 $Z$ 在该坐标系下的几个分量函数都是关于 $t$ 的常值函数, 这样一来, 若 $Z$ 在 $\gamma (a)$ 处的表达式是 $z^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_{\gamma (a)}$ ($z^1,\cdots ,z^n$ 全是常数), 则对于每一个 $t$, $Z$ 在 $\gamma (t)$ 处的表达式必然是 $z^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_{\gamma (t)}$, 特别地, 在 $\gamma (b)$ 处的表达式是 $z^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_{\gamma (b)}$, 与 $\gamma$ 在 $t\in (a,b)$ 内的行为无关 (只要不脱离该坐标系). 因此, 我们只需要验证仿射坐标系坐标系在流形上任意一点附近存在即可. 而这一点其实恰好与 $\nabla$ 的平坦性等价. 下述命题可以说明这一点.

命题 8.0.7 (仿射坐标系). 设 $\nabla$ 是光滑流形 $M$ 上的联络, 则 $\nabla$ 平坦当且仅当对于任何 $p\in M$, 皆存在 $M$ 上的一个包含 $p$ 的局部坐标系, 使得 $\nabla$ 在该坐标系下的 Christoffel 系数全为 $0$. 这样的坐标系称为 $\nabla$-仿射坐标系.

证明. “$⟸$” 直接代入定义即可验证, 往证 “$⟹$”. 我们来寻找命题所述坐标系存在的条件. 任取 $p$ 附近的一个光滑局部坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$, 假设满足命题所述条件的包含 $p$ 的坐标系 $(V;{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n)$ 记 $\nabla$ 在 $(U;x^i)$, 下的 Christoffel 系数分别是 $\{{\Gamma }_{ij}^k\}$ 和 $\{{\tilde{\Gamma }}_{ab}^c\}$, 则在 $U\cap V$ 上, 利用 Christoffel 系数的变换公式, 有$$0={\Gamma }_{ab}^c=\frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b}\frac{\partial {\xi }^c}{\partial x^k}{\Gamma }_{ij}^k+\frac{{\partial }^2{x}^{\ell }}{\partial {\xi }^a\partial {\xi }^b}\frac{\partial {\xi }^c}{\partial x^{\ell }}$$(8.7)我们只需要证明 (8.7) 作为关于 ${\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n$ 的超限偏微分方程组在 $(x^1(p),\cdots ,x^n(p))$ 附近有解即可. (8.7) 中有许多 $x^1,\cdots ,x^n$ 对 ${\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n$ 的偏导数项. 我们先把它处理成只含 ${\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n$ 对 $x^1,\cdots ,x^n$ 的偏导数项的方程组. 为此, 考虑恒等式$$\frac{\partial x^{\ell }}{\partial {\xi }^b}\frac{\partial {\xi }^b}{\partial x^j}={\delta }_j^{\ell },$$我们对其两侧求 $x^i$ 的偏导数, 得$$\frac{{\partial }^2{x}^{\ell }}{\partial {\xi }^a\partial {\xi }^b}\frac{\partial {\xi }^a}{\partial x^i}\frac{\partial {\xi }^b}{\partial x^j}+\frac{\partial x^{\ell }}{\partial {\xi }^b}\frac{{\partial }^2{\xi }^b}{\partial x^i\partial x^j}=0$$两边同时乘以 $(\frac{\partial {\xi }^a}{\partial x^i})$ 和 $(\frac{\partial {\xi }^b}{\partial x^j})$ 的逆矩阵, 得$$\frac{{\partial }^2{x}^{\ell }}{\partial {\xi }^a\partial {\xi }^b}=-\frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b}\frac{\partial x^{\ell }}{\partial {\xi }^d}\frac{{\partial }^2{\xi }^d}{\partial x^i\partial x^j}$$将其代入 (8.7), 得$$\begin{array}{rl}0=& \frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b}\frac{\partial {\xi }^c}{\partial x^k}{\Gamma }_{ij}^k-\left(\frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b}\frac{\partial x^{\ell }}{\partial {\xi }^d}\frac{{\partial }^2{\xi }^d}{\partial x^i\partial x^j}\right)\frac{\partial {\xi }^c}{\partial x^{\ell }}\\ =& \frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b}\frac{\partial {\xi }^c}{\partial x^k}{\Gamma }_{ij}^k-\frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b}{\delta }_d^c\frac{{\partial }^2{\xi }^d}{\partial x^i\partial x^j}\\ =& \frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b}\left(\frac{\partial {\xi }^c}{\partial x^k}{\Gamma }_{ij}^k-\frac{{\partial }^2{\xi }^c}{\partial x^i\partial x^j}\right)\end{array}$$上式两端再进一步乘以 $(\frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a})$ 和 $(\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b})$ 的逆矩阵, 得$$\frac{\partial {\xi }^c}{\partial x^k}{\Gamma }_{ij}^k=\frac{{\partial }^2{\xi }^c}{\partial x^i\partial x^j}.$$它可以被拆解成一阶超限偏微分方程组$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\xi }^c}{\partial x^k}={\theta }_k^c\\ \frac{\partial {\xi }_j^c}{\partial x^i}={\theta }_k^c{\Gamma }_{ij}^k\end{array}$$(8.8)该偏微分方程组的可积分条件是$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2{\xi }^c}{\partial x^i\partial x^j}=\frac{\partial {\xi }^c}{\partial x^j\partial x^i}\\ \frac{{\partial }^2{\theta }_k^c}{\partial x^i\partial x^j}=\frac{{\partial }^2{\theta }_k^c}{\partial x^j\partial x^i},\end{array}$$(8.9)将方程组代入上述条件, 得$$\frac{{\partial }^2{\xi }^c}{\partial x^i\partial x^j}=\frac{{\partial }^2{\xi }^c}{\partial x^j\partial x^i}\iff \frac{\partial {\theta }_j^c}{\partial x^i}=\frac{\partial {\theta }_i^c}{\partial x_j}\iff {\theta }_k^c{\Gamma }_{ij}^k={\theta }_k^c{\Gamma }_{ji}^k\iff {\theta }_k^c{T}_{ij}^k=0.$$以及$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^2{\theta }_k^c}{\partial x^i\partial x^j}=\frac{{\partial }^2{\theta }_k^c}{\partial x^j\partial x^i}\iff & \frac{\partial ({\theta }_{\ell }^c{\Gamma }_{jk}^{\ell })}{\partial x^i}=\frac{\partial ({\theta }_{\ell }^c{\Gamma }_{ik}^{\ell })}{\partial x^j}\\ \iff & ({\theta }_m^c{\Gamma }_{i\ell }^m){\Gamma }_{jk}^{\ell }+{\theta }_{\ell }^c\frac{\partial {\Gamma }_{jk}^{\ell }}{\partial x^i}=({\theta }_m^c{\Gamma }_{j\ell }^m){\Gamma }_{ik}^{\ell }+{\theta }_{\ell }^c\frac{\partial {\Gamma }_{ik}^{\ell }}{\partial x^j}\\ \iff & {\theta }_m^c\left({\Gamma }_{i\ell }^m{\Gamma }_{jk}^{\ell }+\frac{\partial {\Gamma }_{jk}^m}{\partial x^i}-{\Gamma }_{j\ell }^m{\Gamma }_{ik}^{\ell }+\frac{\partial {\Gamma }_{ik}^m}{\partial x^j}\right)\\ \iff & {\theta }_m^c{R}_{ijk}^m=0\end{array}$$当 $\nabla$ 平坦时, $R\equiv 0$, $T\equiv 0$, 从而上述可积性条件得以满足. 我们可以任意给定 ${\xi }^1(p),{\xi }^2(p),\cdots ,{\xi }^n(p)$ 的初值 ${\xi }_p^1,\cdots ,{\xi }_p^n$, 联立 (8.8) 求得唯一解 ${\xi }^1,{\xi }^2,\cdots ,{\xi }^n$, 如此得到的 $(V,{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n)$, 即得所求 $p$ 点附近局部坐标系. 命题得证.

$\square$

这样一来, 再结合之前的讨论, 我们便知关于平坦联络 $\nabla$ 的平行移动至少在局部上仅与曲线端点有关. 具体而言, 我们有如下结论.

推论 8.0.8. 设 $M$ 是光滑流形, $\nabla$ 是其上一平坦联络, 则对于任意 $p\in M$, 存在一个包含 $p$ 的光滑局部坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$, 使得对于任意包含于 $U$ 的曲线 ${\gamma }_1,{\gamma }_2:[t_0,t_1]\to M$, 只要 ${\gamma }_1(t_0)={\gamma }_2(t_0)$, ${\gamma }_1(t_1)={\gamma }_2(t_1)$, 便有 ${\Pi }_{{\gamma }_1}={\Pi }_{{\gamma }_2}$. 特别地, 如果 $M$ 上存在一个覆盖整个流形的关于 $\nabla$ 的仿射坐标系 $(M;{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n)$, 则对于任意曲线 ${\gamma }_1,{\gamma }_2:[t_0,t_1]\to M$, 只要 ${\gamma }_1(t_0)={\gamma }_2(t_0)$, ${\gamma }_1(t_1)={\gamma }_2(t_1)$, 便有 ${\Pi }_{{\gamma }_1}={\Pi }_{{\gamma }_2}$.

注 8.0.9. 在上述推论中, 如果 ${\gamma }_1$ 是任一闭合曲线 (即 ${\gamma }_1(t_1)={\gamma }_1(t_0)$), ${\gamma }_2$ 是恒同曲线 (即 $\forall t\in [t_0,t_1],{\gamma }_2(t_1)={\gamma }_2(t_0)$), 则很容易验证, ${\Pi }_{{\gamma }_2}$ 是 $T_{\gamma (0)}M$ 到自身的恒同映射, 从而上述推论告诉我们 ${\Pi }_{{\gamma }_1}$ 也是 $T_{\gamma (0)}M$ 到自身的恒同映射, 从而 $\nabla$ 的平坦性意味着局部上沿任一闭合曲线 $\gamma :[t_0,t_1]\to M$ 的平行移动都是 $T_{\gamma (0)}M$ 到自身的恒同映射. 事实上, 后者也可反推出前者.

注 8.0.10. 在上述推论中, 如果 $M$ 的拓扑结构不平凡, 那么 ${\Pi }_{{\gamma }_1}={\Pi }_{{\gamma }_2}$ 不一定对任意同端点的曲线 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ 成立. 比方说著名的 Möbius 环上, 我们可以把一个垂直于中线的切向量沿中线的两个不同半圆弧平行移动到该向量起点的对径点处, 得到的两个切向量的方向是相反的.

接下来我们来探究一个平坦联络下的两个仿射坐标系之间的坐标变换. 这很大程度上能够解释 “仿射坐标系” 这个名字的由来.

命题 8.0.11. 设 $M$ 是一个 $n$ 维光滑流形, $\nabla$ 是其上一平坦联络, $U$ 是 $M$ 上一个同胚于 ${\mathbb{R}}^n$ 开球的开集, 则 $M$ 上两个光滑坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$, $\left(U;y^1,\cdots ,y^n\right)$ 之间的坐标转换函数一定具有$$x^i=A_j^i{y}^j+c^i$$(8.10)的形式, 其中 $A_j^i$, $c^i$ 都是常数, 并且 ${\left(A_j^i\right)}_{ij}$ 构成一个 $n\times n$ 的非奇异矩阵. 也就是说, $x^1,\cdots ,x^n$ 到 $y^1,\cdots ,y^n$ 相差一个非奇异的线性仿射变换.

证明. 按照平坦联络的仿射坐标系的定义, 我们有$$\begin{array}{rl}0& ={\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}\frac{\partial }{\partial x^j}={\nabla }_{\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial y^{\alpha }}}\frac{\partial y^{\beta }}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial y^{\beta }}\\ & =\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^i}\left(\frac{\partial }{\partial y^{\alpha }}\frac{\partial y^{\beta }}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial y^{\beta }}+\frac{\partial y^{\beta }}{\partial x^j}{\nabla }_{\frac{\partial }{\partial y^{\alpha }}}\frac{\partial }{\partial y^{\beta }}\right)\\ & =\frac{\partial y^{\beta }}{\partial x^i\partial x^j}\frac{\partial }{\partial y^{\beta }}+\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^i}\frac{\partial y^{\beta }}{\partial x^j}\underset{=0}{\underbrace{{\nabla }_{\frac{\partial }{\partial y^{\alpha }}}\frac{\partial }{\partial y^{\beta }}}}\end{array}$$所以$$\frac{\partial y^{\beta }}{\partial x^i\partial x^j}\frac{\partial }{\partial y^{\beta }}=0$$(8.11)对任意 $i,j$ 成立, 也即$$\frac{\partial y^{\beta }}{\partial x^i\partial x^j}\equiv 0$$(8.12)对任意 $i,j,\beta$ 成立, 这说明每一个 $y^{\beta }$ 都是 $x^1,\cdots ,x^n$ 的一次函数, 即 (8.10) 成立. 此外, 由于 $A_j^i=\frac{\partial y^i}{\partial x^j}$ 是坐标转换函数的 Jacobi 矩阵, 故非奇异.

$\square$

最后我们来讨论一下平坦流形的子流形的相关话题. 对于一个定义有联络 $\nabla$ 的光滑流形, 我们可以给出如下两个概念.

定义 8.0.12 (自平行子流形, 全测地子流形). 设 $N$ 是光滑流形, $\nabla$ 是 $N$ 上的联络, $M$ 是 $N$ 的光滑嵌入子流形, $\nabla$ 是 $N$ 上的一个联络, $M$ 是 $N$ 的光滑子流形. 若对于任意 $p\in M$ 及 $X,Y\in \mathfrak{X}(M)$, 有 $({\nabla }_{X}Y{)}_p\in T_{p}M$, 则称 $M$ 是 $N$ 的自平行子流形; 若对于任意 $p\in M$ 及 $v\in T_{p}M$, $N$ 上的满足 $\gamma (0)=p,\dot{\gamma }(0)=v$ 的测地线包含于 $M$ 中, 则称 $M$ 是 $N$ 的全测地子流形.

子流形的自平行性与全测地性在我们所涉及的问题中总是等价的. 这一点由如下命题保证:

命题 8.0.13. 设 $N$ 是光滑流形, $\nabla$ 是 $N$ 上的联络, $M$ 是 $N$ 的光滑嵌入子流形, 则

1.	若 $M$ 是自平行的, 则 $M$ 也是全测地的;
2.	若 $M$ 是全测地的, 且 $\nabla$ 是无挠的, 则 $M$ 也是自平行的.

证明. (i). 任取 $p\in M$ 及包含 $p$ 的光滑局部坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^m,x^{m+1},\cdots ,x^n)$, 使得 $M$ 在该坐标系下是零截面, 即 $U\cap M=\{q\in U:x^{m+1}(q)=\cdots =x^n(q)=0\}$, 则由 $M$ 的自平行性可知 ${\Gamma }_{ij}^k$ 对每一个 $i\le m$, $j\le m$ 及 $k\ge m+1$ 成立. 对于 $N$ 上任意一条满足 $\gamma (0)\in M,\dot{\gamma }(0)\in TM$ 的曲线 $\gamma$, 在该坐标系下, 有$${\gamma }^k(0)={\dot{\gamma }}^k(0)=0m+1\le k\le n$$(8.13)而测地方程为$${\ddot{\gamma }}^k(t)+{\Gamma }_{ij}^k(\gamma (t)){\dot{\gamma }}^i(t){\gamma }^j(j)=0,$$(8.14)我们只需要证明对于任意 (足够小的) $t$ 有$${\Gamma }_{ij}^k=0,m+1\le k\le n.$$(8.15)事实上, 如果我们将 (8.14) 中的指标限定在 $1,2,\cdots ,m$, 即考虑方程$${\ddot{\gamma }}^k(t)+{\Gamma }_{ij}^k(\gamma (t)){\dot{\gamma }}^i(t){\gamma }^j(j)=0,1\le k\le m,$$它对任意初值$${\gamma }^i(0)={\gamma }_0^i,{\dot{\gamma }}^i(0)=v_0^i,1\le i\le m$$(8.16)有唯一解 $({\gamma }^1(t),{\gamma }^2(t),\cdots ,{\gamma }^m(t))$, 并且 $({\gamma }^1(t),{\gamma }^2(t),\cdots ,{\gamma }^m(t),\underset{n-m\text{个}0}{\underbrace{0,\cdots ,0}})$ 满足 (8.16), (8.13), (8.14), (8.15). 而 (8.16), (8.13), (8.14) 恰构成一般测地方程的定解问题, 它本就存在且唯一解, 由此可知这唯一的解一定是满足 (8.15) 的. 由 ${\gamma }_0^i,v_0^i$ 的任意性, 知命题成立.

(ii). 仍任取 $p\in M$ 及包含 $p$ 的光滑局部坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^m,x^{m+1},\cdots ,x^n)$, 使得 $M$ 在该坐标系下是零截面, 即 $U\cap M=\{q\in U:x^{m+1}(q)=\cdots =x^n(q)=0\}$, 则由 $M$ 的全测地性可知对于任意使得 $\gamma (0)=M$, $\dot{\gamma }(0)\in TM$ 的 $N$ 的测地线, 均有 ${\gamma }^{m+1}(t)=\cdots ={\gamma }^n(t)=0$ 对足够小的 $t$ 成立. 在测地线方程$$\ddot{\gamma }(t)+{\Gamma }_{ij}^k(\gamma (t)){\dot{\gamma }}^i(t){\gamma }^j(t)=0$$中取 $t=0$, 由于 ${\gamma }^k(t)\equiv 0$, ($m+1\le k\le n$), 且 ${\gamma }^j(0)={\dot{\gamma }}^j(0)=0$, ($i\le j\le m$), 我们有$${\Gamma }_{ij}^k(\gamma (0)){\dot{\gamma }}^i(0){\dot{\gamma }}^j(0)=0(m+1\le k\le n)$$(8.17)由 $\gamma (0)$ 及 $\dot{\gamma }(0)$ 的任意性知 ${}^{\text{注}}$²$${\Gamma }_{ij}^k+{\Gamma }_{ji}^k=0,1\le i,j\le m,m+1\le k\le n.$$又因为 $N$ 是无挠的, 故 ${\Gamma }_{ij}^k={\Gamma }_{ji}^k$, 从而只可能 ${\Gamma }_{ij}^k\equiv 0$ ($1\le i,j\le m,m+1\le k\le n$). 由坐标 $(U;x^i)$ 的任意性知 $M$ 是自平行的.

$\square$

由上述命题可知, 对于挠率为零的联络而言, 自平行子流形与测地子流形是等价的. 特别地, 对于

•	平坦联络,
•	Riemann 流形的 Levi-Civita 联络

而言, 这两个概念是等价的.

例 8.0.14. 一个光滑流形 $M$ 在联络 $\nabla$ 意义下的测地线本身也是一个 $\nabla$ 意义自平行子流形.

对于一个一般的联络 $\nabla$, 全测地子流形和自平行子流形的种类可能非常难以研究, 有时可能自平行子流形只有测地线和开子流形两种. 但如果 $\nabla$ 是平坦的, 则关于 $\nabla$ 的自平行子流形有着非常统一的构造方式.

命题 8.0.15. 设 $N$ 是 $n$ 维光滑流形, $\nabla$ 是 $N$ 上的一个平坦联络, 则 $N$ 的一个 $m$ 维光滑嵌入子流形 $M$ 是 $\nabla$ 下的自平行子流形当且仅当对于任意 $p\in M$, 存在 $N$ 的一个包含 $p$ 的仿射坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$, $M$ 的一个包含 $p$ 的光滑局部坐标系 $\left(U\cap M;{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^n\right)$, 一个 $n\times m$ 的满秩常值矩阵 $A$ 和 $n$ 维常值向量 $b$ 使得在 $U\cap M$ 上有$$x=A\xi +b,$$(8.18)其中 $x={\left(x^1,x^2,\cdots ,x^n\right)}^{\top }$, $\xi ={\left({\xi }^1,{\xi }^2,\cdots ,{\xi }^m\right)}^{\top }$.

证明. “$⟹$”: 由于 $M$ 是自平行的, 故 $\nabla$ 限制在 $M$ 上也形成联络, 记作 $\tilde{\nabla }$ (注意这里如果 $M$ 不是自平行的, 那么 $\nabla$ 在 $M$ 上的限制不构成联络, 即 $\tilde{\nabla }$ 不存在), 而 $\nabla$ 又是平坦的, 故$$\tilde{R}(X,Y)Z={\tilde{\nabla }}_X{\tilde{\nabla }}_{Y}Z-{\tilde{\nabla }}_Y{\tilde{\nabla }}_{X}Z-{\tilde{\nabla }}_{[X,Y]}Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z=R(X,Y)Z=0$$$$\tilde{T}(X,Y)={\tilde{\nabla }}_{X}Y-{\tilde{\nabla }}_{Y}X={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X=T(X,Y)=0$$对于 $M$ 上的切向量场成立, 也就是说 $\tilde{\nabla }$ 也是平坦联络. 在 $M$ 上的任意一点 $p$ 附近, 我们取一个 $M$ 上关于 $\tilde{\nabla }$ 的仿射坐标系 $(V;{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^m)$ 和一个 $N$ 上关于 $\tilde{\nabla }$ 的仿射坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$. 我们可以适当缩小 $U$ 和 $V$ 使得 $V$ 恰好等于 $M\cap U$. 按照自平行子流形与平坦性的定义, 我们有$$0={\tilde{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial {\xi }^a}}\frac{\partial }{\partial {\xi }^b}={\nabla }_{\frac{\partial }{\partial {\xi }^a}}\frac{\partial }{\partial {\xi }^b}=\left(\frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b}{\Gamma }_{ij}^k+\frac{{\partial }^2{x}^k}{\partial {\xi }^a\partial {\xi }^b}\right)\frac{\partial }{\partial x^k},$$而由于 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$, 是仿射坐标系, 故 ${\Gamma }_{ij}^k=0$, 从而上式意味着$$\frac{{\partial }^2{x}^k}{\partial {\xi }^a\partial {\xi }^b}=0,1\le a,b\le m,1\le k\le n,$$(8.19)这意味着在任何 $x^k$ 均是 ${\xi }^1,\cdots ,{\xi }^m$ 的一次函数 $x^k=a_k^k{\xi }^i+b^k$, 即 (8.18) 成立.

“$⟸$”: 若 (8.19) 成立, 则 (8.18) 成立, 从而$$0={\nabla }_{\frac{\partial }{\partial {\xi }^a}}\frac{\partial }{\partial {\xi }^b}=\left(\frac{\partial x^i}{\partial {\xi }^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi }^b}{\Gamma }_{ij}^k+\frac{{\partial }^2{x}^k}{\partial {\xi }^a\partial {\xi }^b}\right)\frac{\partial }{\partial x^k}=\left(0{\Gamma }_{ij}^k+0\right)\frac{\partial }{\partial x^k}=0$$而零向量当然是包含于 $TM$ 的, 故 $M$ 是自平行的, 此外, 上式也说明 $(V;{\xi }^1,\cdots ,{\xi }^m)$ 是关于 $\tilde{\nabla }$ 的仿射坐标系.

$\square$

最后我们强调一个可以说是显而易见的事实, 那就是不同的联络 $\nabla$ 定义的平行移动, 测地线, 自平行移动等概念都是不一样的. 我们之所以强调这一点, 是因为在传统的微分几何中, 我们很少去考虑 Levi-Civita 联络以外的联络, 但在本文介绍的信息几何中, 我们会考虑成对出现的对偶联络 $\nabla ,{\nabla }^{\ast }$, 因此在讨论平行移动, 测地线等概念时, 读者应注意我们是基于哪个联络讨论的. 我们通常会使用 “$\nabla$-平行移动”, “关于 $\nabla$ 的平行移动”, “在 $\nabla$ 意义下的平行移动”, “${\nabla }^{\ast }$-测地线” 这样的表述方式来明确这一点.

1.	^ 这类似于求解常微分方程的 “隐式 Euler 法”, 其中的 $o(1)$ 指的是 $h\to 0$ 时趋于 $0$ 的小量.
2.	^ 此处用到了双线性函数的性质: 若 $A(v,v)=A_{ij}{v}^i{v}^j=0$ 对任意向量 $v$ 成立, 则 $A$ 是反对称的, 即 $A(v,w)\equiv A(w,v)$ 或 $A_{ij}=A_{ji}$