4. Riemann 度量, 联络, 曲率

Riemann 度量, 联络, 曲率

定义 4.0.1 (Riemann 度量). 设 $M$ 是光滑流形, $g$ 是 $M$ 上的二阶协变张量, 且对于每一个 $p\in M$, $g_p$ 定义了 $T_{p}M$ 上的一个内积函数, 即

•	对于任意 $v\in T_{p}M$, $g_p(v,v)\ge 0$, 且等号被取到当且仅当 $v=0$,
•	对于任意 $v,w\in T_{p}M$, $g_p(v,w)=g_p(w,v)$,

则称 $g$ 是 $M$ 上的一个 Riemann 度量, 有序对 $(M,g)$ 称为一个 Riemann 流形, 或称 $M$ 关于 $g$ 构成 Riemann 流形.

在给定的光滑坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$ 下, $g$ 的局部坐标表示为$$g=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\otimes \mathrm{d}{x}^j=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j$$其中 $\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j=\frac{1}{2}\left(\mathrm{d}{x}^i\otimes \mathrm{d}{x}^j+\mathrm{d}{x}^j\otimes \mathrm{d}{x}^i\right)$, 而 $g_{ij}=g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\right)$ 则构成一个对称正定的矩阵.

在 Riemann 流形上, 我们可以定义我们熟知的几乎一切几何概念.

定义 4.0.2 (长度, 夹角, 垂直). 设 $M$ 关于 Riemann 度量 $g$ 构成 Riemann 流形. $\gamma :I\to M$ 是 $M$ 上的一条分段光滑曲线, 则称$${\int }_I\sqrt{g({\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{\prime }(t))}\mathrm{d}t$$(4.1)为 $\gamma$ 的长度; 设 $v,w\in T_{p}M$, 则称$$\theta =\arccos \frac{g(v,w)}{\sqrt{g(v,v)g(w,w)}}$$为 $v,w$ 的夹角; 特别地, 如果 $g(v,w)=0$, 或者说夹角恰为 $\frac{\pi }{2}$, 则称 $v,w$ 互相垂直.

注 4.0.3. 除了长度之外, 我们还可以利用 Riemann 度量定义曲面的面积及更高维流形的体积等, 从而可以将多元微积分中的 “第一类曲线积分” 和 “第一类曲面积分” 拓展到 Riemann 流形上.

定义 4.0.4 (指标升降). 设 $(M,g)$ 是光滑流形, $p\in M$, 我们定义 $g_p^{♭}$ 为 $T_{p}M\to T_p^{\ast }M$ 的如下线性算子: $$g_p^{♭}v=g_p(v,\cdot ),$$(4.2)我们称之为一个降指标算子, 其逆映射称为升指标算子, 记作 $g_p^{♯}$.

在一个局部坐标 $(U;x^1,x^2,\cdots ,x^n)$ 中, 若 $g$, $v\in T_{p}M$, $\alpha \in T_p^{\ast }M$ 的局部坐标表示分别为$$g=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\otimes \mathrm{d}{x}^j,v=v^i\frac{\partial }{\partial x^i},\alpha ={\alpha }_j\mathrm{d}{x}^j,$$则 $g^{♭}v$ 在该局部坐标下的表示为$$g^{♭}v=v_j\mathrm{d}{x}^j,\text{其中 }{v}_j=v^i{g}_{ij},$$而 $g^{♯}\alpha$ 在该局部坐标下的表示为$$g^{♯}\alpha ={\alpha }^i\frac{\partial }{\partial x^i},\text{其中 }{\alpha }^i={\alpha }_j{g}^{ij},$$上式中的 $g^{ij}$ 即 $g_{ij}$ 的逆矩阵, 即其满足 $g_{ij}{g}^{jk}={{\delta }_i}^k$.

定义 4.0.5 (联络). 设 $M$ 是光滑流形, 如果一个将两个切向量场映射为一个切向量场的算子$$\begin{array}{rl}\nabla :\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)& \to \mathfrak{X}(M)\\ X,Y& \mapsto {\nabla }_{X}Y\end{array}$$满足

1. 对 $X$ 的 $C^{\infty }$-线性性质: ${\nabla }_{X_1+f{X}_2}Y={\nabla }_{X_1}Y+f{\nabla }_{X_2}Y$,

2. 对 $Y$ 的 $\mathbb{R}$-线性性及 Leibniz 法则: ${\nabla }_X(Y_1+Y_2)={\nabla }_X{Y}_1+{\nabla }_X{Y}_2$, ${\nabla }_X(fY)=(Xf)Y+f{\nabla }_{X}Y$, 则称 $\nabla$ 是 $M$ 上的一个联络.

对于一个联络 $\nabla$ 而言, 如果在一个光滑坐标系 $(U;x^1,x^2,\cdots ,x^n)$ 下, $X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, $Y=Y^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, 那么$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{X}Y& ={\nabla }_{X^i\frac{\partial }{\partial x^i}}{Y}^j\frac{\partial }{\partial x^j}=X^i{\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}{Y}^j\frac{\partial }{\partial x^j}=X^i\left(\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+Y^j{\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}\frac{\partial }{\partial x^j}\right)\end{array},$$而 ${\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}\frac{\partial }{\partial x^j}$ 必然也是 $U$ 上的光滑切向量场. 从而存在 $n$ 个函数 ${\Gamma }_{ij}^1,\cdots ,{\Gamma }_{ij}^n$, 使得$${\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}\frac{\partial }{\partial x^j}={\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k},$$(4.3)这样, 上式就被简化为: $${\nabla }_{X}Y=X^i\left(\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+Y^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right)=X^i\left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i}+Y^j{\Gamma }_{ij}^k\right)\frac{\partial }{\partial x^k}.$$(4.4)我们称 (4.3) 定义的 ${\Gamma }_{ij}^k$ 为联络 $\nabla$ 在坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$ 下的 Christoffel 系数.

定义 4.0.6. 给定联络 $\nabla$, 则如下 $\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to C^{\infty }(M)$ 的映射$$T(X,Y)={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y]$$构成一个 $2$ 阶协变的张量, 称为挠率张量; 若 $\nabla$ 使得 $T(X,Y)\equiv 0$, 则称 $\nabla$ 是无挠的或对称的.

不难验证, 对称性条件 ${\overline{\nabla }}_{X}Y-{\overline{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$ 等价于 ${\Gamma }_{ij}^k={\Gamma }_{ji}^k$ 在任意坐标系下对任意指标 $i,j,k$ 成立.

定义 4.0.7 (曲率张量). 给定联络 $\nabla$, 则如下 $\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$ 的映射$$R(X,Y)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z.$$(4.5)构成一个 $3$ 阶协变, 1 阶反变的张量, 称为曲率张量; 如果 $\nabla$ 使得曲率张量和挠率张量都为 $0$, 则称流形 $M$ 关于联络 $\nabla$ 是平坦的.

Riemann 流形上有一个自然定义的联络, 被称为 Levi-Civita 联络. 本文中, 我们把它记作 $\overline{\nabla }$,

定理 4.0.8 (Riemann 几何基本定理). Riemann 流形 $(M,g)$ 上总是存在一个联络 $\overline{\nabla }$, 使得其满足

•	对称性: ${\overline{\nabla }}_{X}Y-{\overline{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$,
•	对 Riemann 度量的适应性: $Z(g(X,Y))=g({\overline{\nabla }}_{Z}X,Y)+g(X,{\overline{\nabla }}_{Z}Y)$

此联络 $\overline{\nabla }$ 称为 Riemann 流形 $(M,g)$ 的 Levi-Civita 联络.

通过直接计算, 我们可以得到 Levi-Civita 联络在一个光滑局部坐标 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$ 下的 Christoffel 系数为$${\overline{\Gamma }}_{ij}^k=g^{k\ell }\left(\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^{\ell }}\right),$$(4.6)和之前一样, 这里的 $g_{ij}$ 指的是 $g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\right)$, 而 $g^{kl}$ 则是 $g_{ij}$ 的逆矩阵, 即 $g^{k\ell }{g}_{\ell j}={\delta }_j^k$.