5. 概率空间

概率空间

定义 5.0.1 (可测空间). 一个可测空间是形如 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 的二元组, 其中 $\Omega$ 是一个非空集合, $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的一个 $\sigma$ 域, 即其是 $\Omega$ 的子集族, 使得如下三款成立:

•	$\Omega \in \mathcal{F}$,
•	若 $A\in \mathcal{F}$, 则 $\Omega \backslash A\in \mathcal{F}$,
•	若 $\{A_i{\}}_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathcal{F}$, 则 ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{F}$,

我们称 $\mathcal{F}$ 中的元素是这个空间中的可测集.

定义 5.0.2 (概率空间). 一个概率空间指的是形如 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 的三元组, 其中 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 是一个可测空间, $P$ 是 $\mathcal{F}\to \mathbb{R}$ 的函数, 使得如下三款成立

•	对于任意 $A\in \mathcal{F}$, 有 $0\le P(A)\le 1$
•	$P(\Omega )=1$,
•	如果 $\{A_i{\}}_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathcal{F}$, 并且不同的 $A_i$, $A_j$ 互不相交, 则 $P({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$.

例 5.0.3. 记 $\Omega =\{1,2,\cdots ,n\}$, $\mathcal{F}=2^{\Omega }$ 是 $\Omega$ 上的全体子集, $n$ 个实数 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ 满足

•	$p_i\ge 0$, $i=1,2,\cdots ,n$,
•	${\sum }_{i=1}^n{p}_i=1$,

并定义$$P(A)=\sum _{i\in A}{p}_i,A\in \mathcal{F}$$这样一来, $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 就构成了一个概率空间.

例 5.0.4. 记 $\Omega ={\mathbb{R}}^n$, $\mathcal{F}={\mathcal{B}}_{{\mathbb{R}}^n}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Borel 集族 ¹, $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是一个非负实值函数, 使得 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\mathrm{d}x=1$, 则对于每一个 $A\in \mathcal{F}$, 定义$$P(A)={\int }_{A}p(x)\mathrm{d}x,$$则 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 构成了一个概率空间.