* 联络补充

本节用于为先前完全不了解联络的朋友从头开始介绍联络的概念. 已经了解相关知识的朋友可以跳过本节.

1引入

在 ${\mathbb{R}}^n$ 上, 一个向量场 $X$ 对各分量的偏导数$$\frac{\partial X}{\partial x^i}={\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial X^1}{\partial x^i}& \frac{\partial X^2}{\partial x^i}& \cdots & \frac{\partial X^n}{\partial x^i}\end{array}\right)}^{\top }\in {\mathbb{R}}^n$$是有自然的定义的, 从而任意方向导数算子 $v=v^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ 作用在一个切向量场上的结果也是有自然的定义的: 它等于$$(v\cdot \nabla )X=v^i\frac{\partial X}{\partial x^i}.$$(1)这在矢量分析中是标准内容, 接触过电磁学或流体力学的朋友应该对此不陌生. 我们把上式记作 ${\nabla }_{v}X$. 对于 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个固定的点 $p$, ${\nabla }_{v}X{|}_p$ 代表了 $X$ 在 $p$ 点处沿切向量 $v$ 的变化率, 既有大小又有方向, 可以看作是 $T_p{\mathbb{R}}^n$ 中的向量.

我们知道, 在一个微分流形 $M$ 上, 一个切向量 $v\in T_{p}M$ 也是被定义成了一个 $C_p^{\infty }(M)\to \mathbb{R}$ 的方向导数算子. 那么我自然可以问这样一个问题: $v$ 是否也可以看作是切向量场的方向导数? 或者我们更贪心一点, $v$ 是否也定义了一个任意阶协变, 任意阶反变的张量的方向导数?

答案是 “否”. 在一个一般的流形上, 标量场 (光滑函数) 的方向导数并不能自然地拓展到矢量场上. 我们可以从两方面来说明这一点.

一方面, 在流形上任意取一个坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$, 假设 $p\in U$, $v\in T_{p}M$ 在 $x^1,\cdots ,x^n$ 下的表达式是 $v=v^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, $M$ 上有一个光滑切向量场 $X$, 其在该坐标系下的表达式是 $X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, 如果我们想像 (1) 中那样定义 $X$ 对 $v$ 的方向导数, 即$${\nabla }_{v}X=v\left(X^i\right)\frac{\partial }{\partial x^i}=v^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial x^i},$$(2)但 (2) 并不是一个坐标不变的表达式: 另取一个坐标系 $\left(\tilde{U};{\tilde{x}}^1,\cdots ,{\tilde{x}}^n\right)$, 设 $v$, $X$ 在该坐标的表达式分别为 $v={\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}$, $X={\tilde{X}}^{\alpha }\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}$, 则$$\begin{array}{rl}& v^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial x^i}\\ =& \left({\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial x^j}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\right)\left(\frac{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}\left({\tilde{X}}^{\gamma }\frac{\partial x^i}{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}\right)\right)\frac{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}\\ =& {\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial x^j}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}{\partial x^j}\frac{\partial {\tilde{X}}^{\gamma }}{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}\frac{\partial x^i}{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}+{\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial x^j}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}{\partial x^j}{\tilde{X}}^{\gamma }\frac{{\partial }^2{x}^i}{\partial {\tilde{x}}^{\beta }\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}\\ =& {\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial {\tilde{X}}^{\gamma }}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}+{\tilde{v}}^{\alpha }{\tilde{X}}^{\gamma }\frac{{\partial }^2{x}^i}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}\end{array}$$(3)特别地, $v^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial x^i}\not\equiv {\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial {\tilde{X}}^{\gamma }}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}$, 这说明 (2) 这种直接沿用欧氏空间中的向量场的方向导数的定义方式 (1) 的做法是不可行的.

另一方面, 如果把流形看作是欧氏空间的子流形, 然后在被嵌入的欧氏空间中使用 (1) 来定义向量场的方向导数, 那么我们会发现, 子流形的切向量场的方向导数可能不再包含于子流形内. 比如说在单位圆周 $S^2=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=1\right\}$ 上的切向量场 $\frac{\partial }{\partial \theta }=-y\frac{\partial }{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial y}$, 如果对 ${\mathbb{R}}^2$ 使用 (2), 则对于任意 $p\in S^2$, 我们有$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{{\frac{\partial }{\partial \theta }|}_p}\frac{\partial }{\partial \theta }& ={-\left(-y\frac{\partial y}{\partial x}+x\frac{\partial y}{\partial y}\right)\frac{\partial }{\partial x}+\left(-y\frac{\partial x}{\partial x}+x\frac{\partial x}{\partial y}\right)\frac{\partial }{\partial y}|}_p\\ & ={-x\frac{\partial }{\partial x}-y\frac{\partial }{\partial y}|}_p,\end{array}$$它不是 $S^2$ 上的切向量.

但这只是说明了向量场的方向导数不能由标量场 (光滑函数) 的方向导数自然诱导出来, 并不是说向量场的方向导数无法定义. 事实上, 上述讨论的两个问题已经提示了我们如何定义向量场的方向导数.

2联络的定义

(3) 中的推导说明 $v^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial x^i}$ 这个表达式不是坐标不变的, 在一个坐标变换 $\left\{x^i\right\}\to \left\{{\tilde{x}}^i\right\}$ 下, $v^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial x^i}$ 与 ${\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial {\tilde{X}}^{\gamma }}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}$ 之间会不可避免地相差 ${\tilde{v}}^{\alpha }{\tilde{X}}^{\gamma }\frac{{\partial }^2{x}^i}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}$ 这样一个类似于 (2,1)-型张量的项. 既然这不可避免, 我们何不直接把这样一个项补充到 ${\nabla }_{v}X$ 的定义式中来呢? 这就是说, 我们取 $\nabla$ 为一个使得 ${\nabla }_{v}X$ 在坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$ 下可以写成$${\nabla }_{v}X=v^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+v^i{X}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k},$$(4)这种形式的 $T_{p}M\times {\mathfrak{X}}_p(M)\to T_{p}M$ 的映射. 其中 ${\Gamma }_{ij}^k$ 对于每一个 $i,j,k$ 是 $U\to \mathbb{R}$ 的光滑函数, 这样一来, 在另一个坐标系 $\left(\tilde{U};{\tilde{x}}^1,\cdots ,{\tilde{x}}^n\right)$ 中, 利用 (3), 我们有$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{v}X& =v^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+v^i{X}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\\ & =\left({\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial {\tilde{X}}^{\gamma }}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}+{\tilde{v}}^{\alpha }{\tilde{X}}^{\gamma }\frac{{\partial }^2{x}^i}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}\right)+{\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial x^i}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}{\tilde{X}}^{\gamma }\frac{\partial x^j}{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}{\partial x^k}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}\\ & =\left({\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial {\tilde{X}}^{\gamma }}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}+{\tilde{v}}^{\alpha }{\tilde{X}}^{\gamma }\frac{{\partial }^2{x}^i}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\delta }}\right)+{\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial x^i}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}{\tilde{X}}^{\gamma }\frac{\partial x^j}{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}{\partial x^k}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}\\ & ={\tilde{v}}^{\alpha }\frac{\partial {\tilde{X}}^{\gamma }}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}+{\tilde{v}}^{\alpha }{\tilde{X}}^{\beta }{\tilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}\end{array}$$(5)其中$${\tilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }=\frac{\partial x^i}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial x^j}{\partial {\tilde{x}}^{\beta }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}{\partial x^k}{\Gamma }_{ij}^k+\frac{{\partial }^2{x}^i}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }\partial {\tilde{x}}^{\beta }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}{\partial x^i}.$$(6)特别地, 注意到 (5) 中的第一行与最后一行具有相同的形式, 也就是具了坐标不变性.

也许读者会认为我们接下来就可以确定各坐标系下 ${\Gamma }_{ij}^k$ 的表达式了. 但事实上, 我们是无法在一个一般的流形上仅通过 (6) 这一个条件给出 ${\Gamma }_{ij}^k$ 的表达式的, 或者说具有上述形式的算子 $\nabla$ 并不是唯一的, 这一点我们很快就会看到.

接下来我们给出 " 联络 " 的定义, 简单来讲, 一个 " 联络 " 就是一个形如 (4) 这种形式的 " 方向导数算子 ".

定义 2.1 (联络, 局部坐标下的定义). 设 $M$ 是一个光滑流形, 如果一个运算$$\nabla :TM\times \mathfrak{X}(M)\to TM,v,X\mapsto {\nabla }_{v}X$$(7)使得对于任意 $p\in M$, 当 $v\in T_{p}M$ 时, 有 ${\nabla }_{v}X\in T_{p}M$, 并且对于任意包含 $p$ 的局部坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$, 存在一组 $U$ 上的光滑函数 ${\Gamma }_{ij}^k$ 使得 (4) 对于任意 $v=v^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p\in T_{p}M$ 及 $X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}\in {\mathfrak{X}}_p(M)$ 成立, 则称 $\nabla$ 是 $M$ 上的一个仿射联络, 简称联络. ${\Gamma }_{ij}^k$ 称为 $\nabla$ 在坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$ 下的 Christoffel 系数.

注意到 (7) 这种形式的映射可以自然地看作 $\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$ 的映射, 这是因为对于任意 $p\in M$, 我们可以定义$$({\nabla }_{X}Y{)}_p:={\nabla }_{X_p}Y\in T_{p}M.$$(8)这样一来, 我们可以把上述定义写成如下等价形式:

定义 2.2 (联络, 局部坐标下的定义). 设 $M$ 是一个光滑流形, 如果一个运算$$\nabla :\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M),X,Y\mapsto {\nabla }_{X}Y$$(9)使得对于任意 $M$ 上的局部坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$, 存在一组 $U$ 上的光滑函数 ${\Gamma }_{ij}^k$ 使得$${\nabla }_{X}Y=X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i{Y}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k},$$(10)对于 $M$ 上的任意两个光滑切向量场 $X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ 及 $Y=Y^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ 成立, 则称 $\nabla$ 是 $M$ 上的一个仿射联络, 简称联络.

不难看出, 上述两个定义在 (8) 的意义下是等价的, 并且在后一种定义下, (5) 中的结果可以写作$$X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i{Y}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}={\tilde{X}}^{\alpha }\frac{\partial {\tilde{Y}}^{\gamma }}{\partial {\tilde{x}}^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }}+{\tilde{X}}^{\alpha }{\tilde{Y}}^{\beta }{\tilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\gamma }},$$其中 ${\Gamma }_{ij}^k$ 和 ${\tilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }$ 的转换关系仍然由 (6) 确定.

数学家们也给出了联络的一个坐标无关的等价定义

定理 2.3 (联络, 坐标无关的等价定义). 设 $M$ 是一个光滑流形, 则一个形如 (9) 的运算 $\nabla$ 是联络当且仅当 $\nabla$ 满足如下性质

(1). 对于任意 $X,Y,Z\in \mathfrak{X}(M)$, $f\in C^{\infty }(M)$, 有 ${\nabla }_{fX+Y}Z=f{\nabla }_{X}Z+{\nabla }_{Y}Z$

(2). 对于任意 $X,Y,Z\in \mathfrak{X}(M)$, $c\in \mathbb{R}$, 有 ${\nabla }_X(Y+cZ)={\nabla }_{X}Y+c{\nabla }_{X}Z$

(3). 对于任意 $X,Y\in \mathfrak{X}(M)$, $f\in C^{\infty }(M)$, 有 ${\nabla }_X(fY)=f{\nabla }_{X}Y+(Xf)Y$

证明: "$⟹$" 可以在局部坐标下直接验证: 在流形上任意取一个坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$, 设 $X,Y,Z$ 的局部表达式分别为 $X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, $Y=Y^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, $Z=Z^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, 则$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{fX+Y}Z& =\left(f{X}^i+Y^i\right)\frac{\partial Z^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+\left(f{X}^i+Y^i\right)Z^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\\ & =f\left(X^i\frac{\partial Z^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i{Z}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right)+\left(Y^i\frac{\partial Z^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+Y^i{Z}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right)\\ & =f{\nabla }_{X}Z+{\nabla }_{Y}Z,\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\nabla }_X(Y+cZ)& =X^i\frac{\partial \left(Y^j+c{Z}^j\right)}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i\left(Y^j+c{Z}^j\right){\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\\ & =X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i{Y}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}+c\left(X^i\frac{\partial Z^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i{Z}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right)\\ & ={\nabla }_{X}Y+c{\nabla }_{X}Z,\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\nabla }_X(fY)& =X^i\frac{\partial \left(f{Y}^j\right)}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i\left(f{Y}^j\right){\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\\ & =f{X}^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i{Y}^j\frac{\partial f}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+f{X}^i{Y}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\\ & =f\left(X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i{Y}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right)+\left(X^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)Y^j\frac{\partial }{\partial x^j}\\ & =f{\nabla }_{X}Y+(Xf)Y,\end{array}$$"$⟸$": 在流形上任意取一个坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$, 设 $X,Y,Z$ 的局部表达式分别为 $X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, $Y=Y^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, 则$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{X}Y& ={\nabla }_{X^i\frac{\partial }{\partial x^i}}\left(Y^j\frac{\partial }{\partial x^j}\right)=X^i{\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}\left(Y^j\frac{\partial }{\partial x^j}\right)\\ & =X^i\left(\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+Y^j{\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}\frac{\partial }{\partial x^j}\right)\\ & =X^i\left(\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+Y^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right),\end{array}$$其中 ${\Gamma }_{ij}^k$ 由$${\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}\frac{\partial }{\partial x^j}={\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}$$确定.

$\square$

例 2.4. (${\mathbb{R}}^n$ 上的标准联络) 记 ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准坐标系为 $x^1,x^2,\cdots ,x^n$, 对于任意两个光滑切向量场 $X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ 及 $Y=Y^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, 定义$${\nabla }_{X}Y:=X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j},$$(11)则 $\nabla$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的联络, 其在标准坐标系下的 Christoffel 系数全是 $0$.

联络的定义给出之后, 一个自然的问题就是: 对于一个流形而言, 它是否存在? 是否唯一? 这个问题的答案是简单的: 一定存在, 且一定不唯一.

存在性的证明在标准的微分流形教科书中都是用 " 单位分解定理 " 证明的, 从而保证了具有 Hausdorff 可分性和第二可数性的光滑流形上都有联络. 我们在此不作展开. 不过我们还是可以从另一个角度来解释为什么联络一定存在: 事实上, Whitney 嵌入定理保证了 Hausdorff 可分且第二可数的流形可以光滑嵌入到有欧氏空间中, 而欧氏空间的光滑子流形上有一个自然定义的联络 (这一点我们后面会讲到), 因此光滑流形上一定有联络.

非唯一性其实并不难想到: 我们对 (4) 中的 ${\Gamma }_{ij}^k$ 没有做出任何限制, 这极有可能为 $\nabla$ 的取值提供很大的自由度. 事实上, 我们有一个比单纯的非唯一性强得多的结论, 它完美地刻画了 " 一个流形上的全体联络所构成的集合 " 的结构.

定理 2.5. 设 $M$ 是光滑流形, $\nabla$ 是其上一个联络, 则

1.	对于 $M$ 上的任意一个联络 $\tilde{\nabla }$, 存在一个 (1, 2) 型张量 $\tau :\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$, 使得$${\nabla }_{X}Y-{\tilde{\nabla }}_{X}Y=\tau (X,Y)$$(12)对于任意 $X,Y\in \mathfrak{X}(M)$ 成立.
2.	对于任意一个 (1, 2) 型张量 $\tau :\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$, $$\begin{array}{rl}\nabla +\tau :\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)& \to \mathfrak{X}(M)\\ X,Y& \mapsto {\nabla }_{X}Y+\tau (X,Y)\end{array}$$(13)

证明: (1). 我们只需要验证 $X,Y\mapsto {\nabla }_{X}Y-{\tilde{\nabla }}_{X}Y$ 这个映射对 $X,Y$ 具有函数线性性质. 对 $X$ 的函数线性性质及对 $Y$ 的 $\mathbb{R}$-线性性质是平凡的, 我们来验证对 $Y$ 的函数线性性质: 事实上, 对于任意函数 $f$, 我们有$$\begin{array}{rl}{\nabla }_X(fY)-{\tilde{\nabla }}_X(fY)=& (Xf+f{\nabla }_{X}Y)-(Xf+f{\tilde{\nabla }}_{X}Y)\\ =& f({\nabla }_{X}Y-{\tilde{\nabla }}_{X}Y)\end{array}$$这样一来, 便可知 $X,Y\mapsto {\nabla }_{X}Y-{\tilde{\nabla }}_{X}Y$ 定义了一个 $M$ 上的 (1, 2) 型张量, 故 (12) 成立.

(2). 我们只需验证 $\nabla +\tau$ 满足对第一个分量的函数线性性质, 对第二个分量的 $\mathbb{R}$-线性性质及 Leibniz 法则. 我们只验证 Leibniz 法则, 其余皆是平凡的. $$\begin{array}{rl}(\nabla +\tau )(X,fY)=& {\nabla }_X(fY)+\tau (X,fY)\\ =& (Xf+f{\nabla }_{X}Y)+f\tau (X,Y)\\ =& Xf+f({\nabla }_{X}Y+\tau (X,Y))\\ =& Xf+f(\nabla +\tau )(X,Y)\end{array}$$这样一来, 便可知 $\nabla +\tau$ 定义了一个 $M$ 上的一个联络.

$\square$

上述定理很清晰地刻画了一个流形上的全体联络所构成的集合: 任意取定一个联络 $\nabla$ 后, 我们可以将全体联络组成的集合按照$$\tau \iff \nabla +\tau$$的方式一一对应到 $M$ 上的全体 (1, 2) 型光滑张场所构成的集合 ${\mathfrak{X}}^{\otimes (1,2)}(M)$ 上. 这相当于一个以 ${\mathfrak{X}}^{\otimes (1,2)}(M)$ 为模型线性空间的仿射空间. 这就是 " 仿射联络 " 中 " 仿射 " 一词的由来.

3Riemann 流形的 Levi-Civita 联络

我们在第一节末尾提到过, 如果在 ${\mathbb{R}}^n$ 的嵌入子流形 $M$ 上使用 ${\mathbb{R}}^n$ 上的方向导数的定义 (2), 则有可能得到不包含于子流形中的方向导数向量. 如果我们希望用这种方式来定义流形上的方向导数, 则我们必须想办法消除掉方向导数中 " 脱离子流形的分量 ".

对于一般的流形, 我们并不容易定义什么叫 " 消除掉脱离子流形的分量 ", 但如果我们考虑的流形 $M$ 是 Riemann 流形, 并且其在 ${\mathbb{R}}^n$ (配备标准欧氏度量) 中的嵌入是等距嵌入, 则 " 消除掉脱离子流形的分量 " 可以自然地理解为以将它定义为将 $v\in T_p{\mathbb{R}}^n$ 向 $T_{p}M$ 正交投影, 其中 $p\in M$. 这样一来, 对于一个欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的任意 Riemann 子流形 $M$, 我们可以定义$${\nabla }_{v}X={\mathrm{Proj}}_{T_{p}M}({\overline{\nabla }}_{v}X),p\in M,v\in T_{p}M,Y\in \mathfrak{X}(M),$$(14)其中 ${\overline{\nabla }}_{v}X$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中 $X$ 沿 $v$ 的方向导数$${\overline{\nabla }}_{v}X=(v\cdot \nabla )X=\sum _{i=1}^n{v}^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j},$$(15)上式中第一个等号后的 "$\nabla$" 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 上的梯度算子, $x^1,\cdots ,x^n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准坐标系. 事实上, (14) 中定义的 $\nabla$ 总是 $M$ 上的一个联络, 并且有趣的是, 该联络的定义与 $M$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的等距嵌入方式无关, 是可以内蕴定义的.

定理 3.1. 设 $(M,g)$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的 Riemann 子流形, 则 (14) 中定义的 $\nabla$ 是 $M$ 上的一个联络, 并且该联络可以由 $g$ 唯一确定, 与 $M$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的等距嵌入方式无关.

证明: 我们来证明 ${\nabla }_{v}X$ 在任局部坐标系下具有形如 (4) 的表达式. 记 $m=\dim M$, $x^1,\cdots ,x^n$ 为 $\mathbb{R}$ 上的标准坐标系, 任取 $p\in M$, 一个包含 $p$ 的光滑局部坐标系 $\left(U;q^1,\cdots ,q^m\right)$, 一个 $T_{p}M$ 中的切向量 $v=v^i\frac{\partial }{\partial q^i}{|}_p$, 一个 $U$ 上的光滑切向量场 $X=X^i\frac{\partial }{\partial q^i}$, 则 $v,X$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的表达式分别为$$v={v^i\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i}\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}|}_p,X=X^i\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i}\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }},$$我们记 ${\mathbb{R}}^n$ 上的两个向量 $v,w$ 的标准内积为 $⟨v,w⟩$, 其在 $M$ 上诱导的 Riemann 度量为 $g$, 从而对于局部坐标系 $\left(U;q^1,\cdots ,q^m\right)$ 上的任意两个基向量 $\frac{\partial }{\partial q^i},\frac{\partial }{\partial q^j}$, 我们有$$g_{ij}=g\left(\frac{\partial }{\partial q^i},\frac{\partial }{\partial q^j}\right)=⟨\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i}\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }},\frac{\partial x^{\beta }}{\partial q^j}\frac{\partial }{\partial x^{\beta }}⟩=\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i}\frac{\partial x^{\beta }}{\partial q^j}{\delta }_{\alpha \beta }=\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^j}.$$(16)任取 $M$ 上满足 $\gamma (0)=p$, $\dot{\gamma }(0)=v$ 的曲线 $\gamma$, 则在 ${\mathbb{R}}^n$ 上, 有$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{v}X& ={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(\gamma (t))|}_{t=0}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(X^j\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^j}\right)\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}|}_p\\ & ={v^i\frac{\partial }{\partial q^i}\left(X^j\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^j}\right)\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}|}_p\\ & ={v^i\frac{\partial X^j}{\partial q^i}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^j}\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}+v^i{X}^j\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i\partial q^j}\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}|}_p\end{array}$$(注意上式依 Einstein 求和约定需补充的求和号是 ${\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{\alpha =1}^n$), 于是对于每一个基向量 $\frac{\partial }{\partial q^k}{|}_p$, 利用恒等式 (16), 我们有$$\begin{array}{rl}g\left({\overline{\nabla }}_{v}X,\frac{\partial }{\partial q^k}\right)& =⟨v^i\frac{\partial X^j}{\partial q^i}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^j}\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}+v^i{X}^j\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i\partial q^j}\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }},\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^k}\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}⟩\\ & =v^i\left(\frac{\partial X^j}{\partial q^i}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^j}+X^j\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i\partial q^j}\right)\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^k}\\ & =v^i\left(\frac{\partial X^j}{\partial q^i}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^j}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^k}+X^j\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i\partial q^j}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^k}\right)\\ & =v^i\left(\frac{\partial X^j}{\partial q^i}{g}_{jk}+X^j{\Gamma }_{ijk}\right),\end{array}$$其中$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_{ijk}& =\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i\partial q^j}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^k}\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^j}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^k}\right)+\frac{\partial }{\partial q^j}\left(\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^k}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i}\right)-\frac{\partial }{\partial q^k}\left(\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^i}\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial q^j}\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial q^i}+\frac{\partial g_{ki}}{\partial q^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k}\right),\end{array}$$于是$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_{v}X={\mathrm{Proj}}_{T_{p}M}({\overline{\nabla }}_{v}X)\\ =& g^{k\ell }g\left({\overline{\nabla }}_{v}X,\frac{\partial }{\partial q^k}\right)\frac{\partial }{\partial q^{\ell }}=g^{k\ell }{v}^i\left(\frac{\partial X^j}{\partial q^i}{g}_{jk}+X^j{\Gamma }_{ijk}\right)\frac{\partial }{\partial q^{\ell }}\\ =& v^i\left(\frac{\partial X^{\ell }}{\partial q^i}+X^j{\Gamma }_{ij}^{\ell }\right)\frac{\partial }{\partial q^{\ell }}\end{array}$$(17)其中$${\Gamma }_{ij}^{\ell }=\frac{1}{2}{g}^{k\ell }\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial q^i}+\frac{\partial g_{ki}}{\partial q^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k}\right).$$(18)由 (17), (18) 知 ${\nabla }_{v}X$ 在任局部坐标系下具有形如 (4) 的表达式, 因此它定义了 $M$ 上的一个联络. 此外, (17), (18) 中的最后结果仅涉及度量 $g$ 在光滑局部坐标系 $\left(U;q^1,\cdots ,q^m\right)$ 下的表达式, 没有显式地涉及 ${\mathbb{R}}^n$ 上的坐标函数 $x^1,x^2,\cdots ,x^n$, 由此可知该联络的定义与 $M$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的等距嵌入方式无关.

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任何光滑 Riemann 流形 $(M,g)$ 均可等距嵌入到欧氏空间中, 这是由 John F. Nash (提出了 " 纳什均衡 " 获诺贝尔奖的那个 Nash) 在 1966 年证明的. 而当 $(M,g)$ 被等距嵌入到欧氏空间中之后, 我们就可以利用上述定理得到: $M$ 上存在一个由 $g$ 唯一确定的联络 $\nabla$, 它在 $M$ 的局部坐标 $\left(U;q^1,\cdots ,q^m\right)$ 下的 Christoffel 系数由 (18) 确定. 这就是 Levi-Civita 联络的定义.

定义 3.2. 设 $(M,g)$ 是 Riemann 流形, 我们定义其 Levi-Civita 联络 为在 $M$ 的任意光滑局部坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$ 下的 Christoffel 系数为$${\Gamma }_{ij}^{\ell }=\frac{1}{2}{g}^{k\ell }\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\right)$$(19)的联络, 其中 $g_{ij}=g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\right)$, $g^{k\ell }$ 是 $g_{k\ell }$ 的逆矩阵.

并且我们还可以给出 Levi-Civita 联络的一个直观理解: 设 $\nabla$ 是 Riemann 流形 $(M,g)$ 的 Levi-Civita 联络, 则对于 $p\in M$, $v\in T_{p}M$, $X\in {\mathfrak{X}}_p(M)$, ${\nabla }_{v}Y$ 是 $Y$ 沿 $v$ 的方向导数在 $T_{p}M$ 上的分量 (或者说是在 $T_{p}M$ 的投影).

一般的微分几何教科书中会用如下方式来描述 Levi-Civita 联络:

定理 3.3. (Riemann 几何基本定理) 一个 Riemann 流形 $(M,g)$ 上存在唯一一个满足如下条件的联络 $\nabla$

(1). 无挠性: $\forall X,Y\in \mathfrak{X}(M)$, ${\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X=[X,Y]$,

(2). 对 $g$ 的适应性: $\forall X,Y,Z\in \mathfrak{X}(M)$, $X(g(Y,Z))=g({\nabla }_{X}Y,Z)+g(Y,{\nabla }_{X}Z)$,

它就是 $(M,g)$ 上的 Levi-Civita 联络.

证明: 在 $M$ 的任意光滑局部坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$ 下, 记 $X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, $Y=Y^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, $Z=Z^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, $g_{ij}=g\left(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\right)$, ${\Gamma }_{ij}^{\ell }$ 为 $\nabla$ 的 Christoffel 系数, 若 $\nabla$ 是 Levi-Civita 联络, 则 (19) 成立, 于是$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X& =\left(X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+X^i{Y}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right)-\left(Y^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}+Y^i{X}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right)\\ & =\left(X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}-Y^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}\right)+X^i{Y}^j\left({\Gamma }_{ij}^k-{\Gamma }_{ji}^k\right)\frac{\partial }{\partial x^k}\\ & =[X,Y]+X^i{Y}^j\left({\Gamma }_{ij}^k-{\Gamma }_{ji}^k\right)\frac{\partial }{\partial x^k}.\end{array}$$由 (19) 很容易看出 ${\Gamma }_{ij}^k-{\Gamma }_{ji}^k=0$, 于是 ${\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X=[X,Y]$, 成立, 即 Levi-Civita 联络满足无挠性, 而$$\begin{array}{rl}& g({\nabla }_{X}Y,Z)+g(Y,{\nabla }_{X}Z)\\ =& g_{k\ell }\left(X^i\frac{\partial Y^k}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^k}+X^i{Y}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right)Z^{\ell }+g_{k\ell }\left(X^i\frac{\partial Z^k}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^k}+X^i{Z}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\right)Y^{\ell }\\ =& g_{k\ell }{X}^i\left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i}{Z}^{\ell }+\frac{\partial Z^k}{\partial x^i}{Y}^{\ell }\right)\frac{\partial }{\partial x^k}+\left(X^i{Y}^j{Z}^{\ell }{\Gamma }_{ij}^k{g}_{k\ell }+X^i{Z}^j{Y}^{\ell }{\Gamma }_{ij}^k{g}_{k\ell }\right)\frac{\partial }{\partial x^k}\\ =& g_{k\ell }{X}^i\frac{\partial \left(Y^k{Z}^{\ell }\right)}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^k}+X^i{Y}^j{Z}^k\left({\Gamma }_{ij}^{\ell }{g}_{k\ell }-{\Gamma }_{ik}^{\ell }{g}_{j\ell }\right)\frac{\partial }{\partial x^k}\\ =& g_{k\ell }{X}^i\frac{\partial \left(Y^k{Z}^{\ell }\right)}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^k}+X^i{Y}^j{Z}^k\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^k}\\ =& X^i\frac{\partial \left(g_{k\ell }{Y}^k{Z}^{\ell }\right)}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^k}=X(g(Y,Z)),\end{array}$$故 Levi-Civita 联络满足对度量 $g$ 的适应性. 反过来, 如果 $\nabla$ 满足上述两条性质, 则利用对度量 $g$ 的适应性, 我们有$$\begin{array}{rl}g({\nabla }_{X}Y,Z)+g(Y,{\nabla }_{X}Z)& =Xg(Y,Z)\\ g({\nabla }_{Y}Z,X)+g(Z,{\nabla }_{Y}X)& =Yg(Z,X)\\ g({\nabla }_{Z}X,Y)+g(X,{\nabla }_{Z}Y)& =Zg(X,Y)\end{array}$$将前两式相加并减去第三式, 并利用无挠性, 我们有$$\begin{array}{rl}& Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)\\ =& g({\nabla }_{X}Y,Z)+g(Y,{\nabla }_{X}Z)+g({\nabla }_{Y}Z,X)+g(Z,{\nabla }_{Y}X)-g({\nabla }_{Z}X,Y)-g(X,{\nabla }_{Z}Y)\\ =& 2g({\nabla }_{X}Y,Z)+g(Y,[X,Z])+g(Z,[Y,X])+g(X,[Y,Z])\end{array}$$从而有$$\begin{array}{rl}& 2g({\nabla }_{X}Y,Z)\\ =& Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y])+g(X,[Z,Y]).\end{array}$$(20)在 $M$ 的任意光滑局部坐标系 $\left(U;x^1,\cdots ,x^n\right)$ 下, 将 $X=\frac{\partial }{\partial x^i}$, $Y=\frac{\partial }{\partial x^j}$, $Z=\frac{\partial }{\partial x^k}$ 代入上式, 得$$2g_{k\ell }{\Gamma }_{ij}^{\ell }=\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k},$$两边同时乘以 $g_{k\ell }$ 的逆矩阵即得 (19), 从而 $\nabla$ 是 Levi-Civita 联络.

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