3. 局部紧交换群

本节研究局部紧交换群作为凝聚态交换群的行为.

定理 3.1. $A,B$ 为局部紧交换群. 则将其视为凝聚态交换群的内 $\mathrm{Hom}$ 函子等于它们作为拓扑群的同态群赋予紧开拓扑, 即$${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathsf{CondAb}}(A,B)={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ab}(\mathsf{Top})}(A,B).$$

证明. 对局部紧拓扑空间 $X,Y$, 由于 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathsf{Cond}}(X,Y)$ 定义为其在 $S\in \mathsf{CHaus}$ 上取值为 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cond}}(S\times X,Y)$, 由紧开拓扑的性质不难发现 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathsf{Cond}}(X,Y)$ 就是 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ 赋予紧开拓扑.

由对交换群 $A$ 典范的右正合列$$\mathbb{Z}[A\times A]\to \mathbb{Z}[A]\to A\to 0,$$其中第一个映射为 $[(a,b)]\mapsto [a+b]-[a]-[b]$, 第二个为 $[a]\mapsto a$, 即得对凝聚态交换群也有如此右正合列. 所以$$\begin{array}{rl}{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathsf{CondAb}}(A,B)& =\ker ({\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathsf{CondAb}}(\mathbb{Z}[A],B)\to {\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathsf{CondAb}}(\mathbb{Z}[A\times A],B))\\ & =\ker ({\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathsf{Cond}}(A,B)\to {\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathsf{Cond}}(A\times A,B))\\ & =\ker ({\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Top}}(A,B)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Top}}(A\times A,B))={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ab}(\mathsf{Top})}(A,B),\end{array}$$其中拓扑空间和拓扑群的 $\mathrm{Hom}$ 都赋予紧开拓扑.

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还可以计算 $R\underline{\mathrm{Hom}}$. 我们先算些具体情况, 然后用局部紧交换群的结构做化归. 后文其实不会用到一般局部紧交换群的结果, 从而并不用到局部紧交换群结构定理.

定理 3.2. 对集合 $I$ 以 ${\mathbb{T}}^I$ 记 $I$ 个 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的乘积. 则

1.	对离散交换群 $M$, 自然映射 $M^{\oplus I}[-1]=\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{Z}[1],M{)}^{\oplus I}\to \underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{R}/\mathbb{Z},M{)}^{\oplus I}\to \underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,M)$ 是同构.
2.	$R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,\mathbb{R})=0$. 事实上对一般的紧交换群 $A$, $R\underline{\mathrm{Hom}}(A,\mathbb{R})=0$.

证明. 先证 1. 先看 $I$ 有限情形. 此时有限直和拿到 $\underline{\mathrm{Hom}}$ 外面, 不妨设 $|I|=1$, 即要证 $R\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{R}/\mathbb{Z},M)=M[-1]$, 也即 $R\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{R},M)=0$. 为此我们对映射 $\mathbb{R}\to 0$ 用附录中的典范消解. 由其典范性, 这也是作为凝聚态交换群的消解, 于是得链复形同态 ${⨁}_{j=1}^{n_i}\mathbb{Z}[{\mathbb{R}}^{r_{ij}}]\to {⨁}_{j=1}^{n_i}\mathbb{Z}[0^{r_{ij}}]$, 其中 $i$ 是链复形的指标. 对其作用 $R\underline{\mathrm{Hom}}(-,M)$, 再在紧 Hausdorff 空间 $S$ 上取值, 得双复形同态 ${⨁}_{j=1}^{n_i}R\Gamma (S,M)\to {⨁}_{j=1}^{n_i}R\Gamma (S\times {\mathbb{R}}^{r_{ij}},M)$, 左边的全复形是 $R\underline{\mathrm{Hom}}(0,M)=0$, 右边的是 $R\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{R},M)$. 要证其在全复形上是拟同构, 只需证其每一列, 即固定每个 $i$ 时, 是拟同构. 这归结为证明对 $S\in \mathsf{CHaus}$, $r\in \mathbb{N}$, $$R\Gamma (S,M)=R\Gamma (S\times {\mathbb{R}}^r,M).$$等号右边是 ${\lim }_{N}R\Gamma (S\times [-N,N{]}^r,M)$, 故只需证 $R\Gamma (S,M)=R\Gamma (S\times [-N,N{]}^r,M)$. 这便是定理 2.5 和常层上同调同伦不变性的显然推论.

再看 $I$ 无限情形. 此时直接对 ${\mathbb{T}}^I$ 用附录的典范消解, 则同样地 $R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,M)(S)$ 被一些 ${⨁}_{j=1}^{n_i}R\Gamma (S\times ({\mathbb{T}}^I{)}^{r_{ij}},M)$ 消解; 由定理 2.5, 后者是 $I$ 有限情形的滤余极限, 故 $R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,M)(S)$ 也是 $I$ 有限情形的滤余极限, 即得无限情形结论.

再证 2. 由典范消解以及定理 2.9, $R\underline{\mathrm{Hom}}(A,\mathbb{R})$ 由 Banach 空间复形$$0\to \underset{j=1}{\overset{n_0}{⨁}}C(S\times A^{r_{0j}},\mathbb{R})\to \underset{j=1}{\overset{n_1}{⨁}}C(S\times A^{r_{1j}},\mathbb{R})\to \cdots$$计算. 现在考虑该复形的两个自映射 $2$ 与 $[2{]}^{\ast }$, 前一个指逐项乘以 $2$, 后一个指沿着 $2:A\to A$ 拉回. 由附录的推论 11, 它俩典范同伦, 即存在 $h:P^{\bullet }\to P^{\bullet -1}$, 诱导以上复形的映射 $h^{\ast }$, 使得 $2-[2{]}^{\ast }=d{h}^{\ast }+h^{\ast }d$. 那么对闭链 $f$, $2f=[2{]}^{\ast }f+d{h}^{\ast }f$, 即$$f=\frac{1}{2}[2{]}^{\ast }f+d\left(\frac{1}{2}{h}^{\ast }f\right).$$对上式右边第一个 $f$ 再用上式代入, 这样迭代 $n$ 次, 得$$f=\frac{1}{2^n}[2^n{]}^{\ast }f+d\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k}{h}^{\ast }[2^{k-1}{]}^{\ast }f.$$由于 $[2^n{]}^{\ast }$ 为沿着 $2^n:A\to A$ 拉回实值函数 $f$, 不改变上确界范数, 故上式第一项在 $n\to \infty$ 时范数趋于 $0$, 从而取极限得到$$f=d\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}{h}^{\ast }[2^{k-1}{]}^{\ast }f,$$即每个闭链都恰当, 以上复形零调.

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推论 3.3.

1.	对离散交换群 $M$, $R\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{R},M)=0$.
2.	$R\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\mathbb{R}$.

证明. 利用短正合列 $0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{R}\to \mathbb{T}\to 0$ 和定理立得.

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推论 3.4. 对局部紧交换群 $A,B$, $R\underline{\mathrm{Hom}}(A,B)$ 集中在上同调次数 $[0,1]$.

证明. 由局部紧交换群分类定理, 参见 [Ru90], 定理 2.4.1, 局部紧交换群都是离散群、紧群、欧氏空间三者的扩张; 欧氏空间又是格与环面的扩张, 从而局部紧交换群都是离散群与紧群的若干步扩张, 故只需分别对离散群与紧群证明定理.

先看 $A$ 离散情形. 此时可写短正合列 $0\to {\mathbb{Z}}^{\oplus I}\to {\mathbb{Z}}^{\oplus J}\to A\to 0$, 从而 $R\underline{\mathrm{Hom}}(A,B)=[B^J\to B^I]$ 集中在 $[0,1]$.

再看 $A$ 紧情形. 此时由 Pontryagin 对偶不难写出短正合列 $0\to A\to {\mathbb{T}}^I\to {\mathbb{T}}^J\to 0$, 从而 $R\underline{\mathrm{Hom}}(A,B)=\mathrm{cofib}(R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^J,B)\to R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,B))$. 所以只需证 $R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,B)$ 集中在 $[0,1]$. $B$ 离散时这是定理 3.2 的 1. $B$ 紧时同样用环面消解 $B$, 只需证 $R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,{\mathbb{T}}^J)$ 集中在 $0$. 它是 $R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,\mathbb{T}{)}^J$; 再用定理 3.2 有$$R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,\mathbb{T})=\mathrm{cofib}(R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,\mathbb{Z})\to R\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{T}}^I,\mathbb{R}))=\mathrm{cofib}({\mathbb{Z}}^{\oplus I}[-1]\to 0)={\mathbb{Z}}^{\oplus I}$$集中在 $0$.

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下一节我们会用到

命题 3.5. $A$ 是紧交换群, 则它在 $\mathsf{CondAb}$ 中伪凝聚. 换言之, 它有由 $\mathsf{CondAb}$ 中紧投射对象组成的消解. 这推出 $R\underline{\mathrm{Hom}}(A,-)$ 与 $\mathsf{CondAb}$ 中滤余极限交换.

证明. 由于对极不连通空间 $S$, $\mathbb{Z}[S]\in \mathsf{CondAb}$ 紧投射, 这是附录中消解引理和定理 2.5 的证明中紧空间用极不连通空间单纯消解的直接推论. 对任意极不连通空间 $T$, 把 $A$ 的典范消解张量积 $\mathbb{Z}[T]$ 再对紧空间用极不连通空间单纯消解, 同样可以得到 $\mathbb{Z}[T]\otimes A$ 伪凝聚. 于是用紧投射消解计算 $R\underline{\mathrm{Hom}}(A,-)(T)=R\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}[T]\otimes A,-)$ 即得它与滤余极限交换. 这对任意 $T$ 成立, 所以 $R\underline{\mathrm{Hom}}(A,-)$ 与滤余极限交换.

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