附录: 消解引理

本附录给出正文所声称的消解引理的证明. 这似应归功于 Clausen, 因为它基本上就是 [CMM18] 的命题 4.10 与 4.11.

定理 1. 设函子 $Q^n:\mathsf{Ab}\to \mathsf{Ab}$, $A\mapsto \mathbb{Z}[A^n]$. 存在自然数 $n_i(i\ge 0)$, $r_{ij}(i\ge 0,1\le j\le n_i)$, 使得对 Abel 群 $A$, 存在函子性的投射消解 $P^{\bullet }\to A$, 连同函子性的同构 $P^{-i}\cong {⨁}_{j=1}^{n_i}{Q}^{r_{ij}}(A)$.

注 2. 在上面的定理陈述中, 如果我们忽略集合论问题, 则「函子性」的意思是: 在 Abel 范畴 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Ab},\mathsf{Ab})$ 中, ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Ab}}$ 有一个紧投射消解, 使得它的每一项都是形如 $Q^n$ 的对象的有限直和.

待范畴论的相关页面完善后, 下面的定义与定理应当被替换为到相关页面的引用. 为证明的完整起见, 现在先写在这里.

定义 3. 设 $\mathcal{A}$ 是 Grothendieck Abel 范畴, $X\in \mathsf{D}(\mathcal{A})$ 为复形.

1.	设 $m$ 是整数. 我们称 $X$ 为 $m$-伪凝聚的, 是指它满足以下条件: 1. $X$ 上有界, 即当 $i$ 充分大时 $H^i(X)=0$. 2. 当 $i<m$ 时, ${\mathrm{Ext}}^i(X,\cdot ):\mathcal{A}\to \mathsf{Ab}$ 与滤余极限交换. 3. ${\mathrm{Ext}}^m(X,\cdot ):\mathcal{A}\to \mathsf{Ab}$ 与滤并集交换.
2.	我们称 $X$ 为伪凝聚的, 是指它满足以下条件: 1. $X$ 上有界, 即当 $i$ 充分大时 $H^i(X)=0$. 2. 对一切整数 $i$, ${\mathrm{Ext}}^i(X,\cdot ):\mathcal{A}\to \mathsf{Ab}$ 与滤余极限交换. 这当且仅当它对每个 $m$ 都是 $m$-伪凝聚的.
3.	设 $m$ 是整数, $S$ 是 $\mathcal{A}$ 的一族紧投射对象. 我们称 $X$ 为 $m,S$-伪凝聚的, 是指它满足以下条件: 存在 (上) 有界余链复形 $P^{\bullet }$, 及映射 $\varphi :P^{\bullet }\to X$, 使得每个 $P^i$ 为 $S$ 中对象的有限直和, 且 $H^i(\varphi )$ 当 $i>-m$ 时为同构, 当 $i=-m$ 时为满射.
4.	设 $S$ 是 $\mathcal{A}$ 的一族紧投射对象. 我们称 $X$ 为 $S$-伪凝聚的, 是指它满足以下条件: 存在上有界余链复形 $P^{\bullet }$ 拟同构于 $X$, 使得每个 $P^i$ 为 $S$ 中对象的有限直和. 这当且仅当它对每个 $m$ 都是 $m,S$-伪凝聚的.

定义 4. 设 $\mathcal{A}$ 是 Grothendieck Abel 范畴, $A\in \mathcal{A}$. 若 $A$ 是 $0$-伪凝聚的, 则称 $A$ 为有限生成的.

引理 5. 设 $\mathcal{A}$ 是 Grothendieck Abel 范畴, $A\in \mathcal{A}$. 考虑以下条件:

1.	$A$ 有限生成.
2.	$A$ 是紧对象的商.
3.	若有满射 ${⨁}_{i\in I}{B}_i\to A$, 则存在有限子集 $J\subset I$ 使得 ${⨁}_{i\in J}{B}_i\to A$ 是满射.
4.	设 $B=\mathrm{colim}{B}_i$ 为滤余极限. 则 $\mathrm{colim}\mathrm{Hom}(A,B_i)\to \mathrm{Hom}(A,B)$ 是单射.

则有 $(1)\iff (2)\iff (3)\Rightarrow (4)$.

证明. 1. 我们先证 $(2)\Rightarrow (1)$. 设 $C\to A$ 是满射, $C$ 紧. 任取滤并集 $B=\bigcup B_i$. 由于 $B_i\to B$ 是单射, $\mathrm{Hom}(A,B_i)\to \mathrm{Hom}(A,B)$ 是单射. 从而 $\mathrm{colim}\mathrm{Hom}(A,B_i)\to \mathrm{Hom}(A,B)$ 是单射. 为证它是满射, 任取映射 $A\to B$. 由于 $C$ 紧, $C\to A\to B$ 穿过某个 $B_i$ 分解. 由于 $B_i\to B$ 单, 知 $C\to B_i$ 可下降为 $A\to B_i$, 给出 $A\to B$ 穿过 $B_i$ 的分解. 从而得证.

2. 我们证 $(1)\Rightarrow (3)$. 将 $A$ 写为滤并集 $A=\mathrm{im}({⨁}_{i\in I}{B}_i\to A)={\bigcup }_{J\subset I有限}\mathrm{im}({⨁}_{i\in J}{B}_i\to A)$, 知 ${\mathrm{id}}_A$ 穿过某个 $\mathrm{im}({⨁}_{i\in J}{B}_i\to A)$, 从而有 $(3)$.

3. 为证 $(3)\Rightarrow (2)$, 只需将 $A$ 写为一族紧对象的直和的商. 则 $A$ 为其中有限个的直和的商. 注意紧对象的有限直和仍是紧的, 从而结论得证.

4. 下证 $(2)\Rightarrow (4)$. 设 $C\to A$ 是满射, $C$ 紧. 则只需注意, $\mathrm{colim}\mathrm{Hom}(A,B_i)$ 与 $\mathrm{Hom}(A,B)$ 均为 $\mathrm{colim}\mathrm{Hom}(C,B_i)=\mathrm{Hom}(C,B)$ 的子集.

$\square$

两种伪凝聚的概念当有足够紧投射对象时是等价的.

引理 6. 设 $\mathcal{A}$ 是 Grothendieck Abel 范畴, $X\in \mathsf{D}(\mathcal{A})$ 为上有界复形. 设 $S$ 是一族紧投射对象, $m$ 是整数. 考虑如下结论:

1.	$X$ 是 $m,S$-伪凝聚的.
2.	$X$ 是 $m$-伪凝聚的.
3.	对一切 $i\le m$, ${\mathrm{Ext}}^i(X,\cdot ):\mathcal{A}\to \mathsf{Ab}$ 与滤并集交换.

则有 $(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)$. 若 $S$ 生成 $\mathcal{A}$, 或更一般地, 若存在一个各项为 $S$ 中对象的直和的上有界余链复形 $P^{\bullet }$, 及映射 $\varphi :P^{\bullet }\to X$, 使得每个 $P^i$ 为 $S$ 中对象的直和, 且 $H^i(\varphi )$ 当 $i>-m$ 时为同构, 当 $i=-m$ 时为满射. 则 $(3)\Rightarrow (1)$.

证明. 1. 先设 $(1)$ 成立. 取上有界余链复形 $P^{\bullet }$, 及映射 $\varphi :P^{\bullet }\to X$, 使得每个 $P^i$ 为 $S$ 中对象的有限直和, 且 $H^i(\varphi )$ 当 $i>-m$ 时为同构, 当 $i=-m$ 时为满射. 令 $Y$ 为 $P^{\bullet }\to X$ 的映射锥, 则 $H^i(Y)=0$ 对 $i\ge -m$ 成立.

对 $A\in \mathcal{A}$, 我们有正合列$${\mathrm{Ext}}^{i-1}(P^{\bullet },A)\to {\mathrm{Ext}}^i(Y,A)\to {\mathrm{Ext}}^i(X,A)\to {\mathrm{Ext}}^i(P^{\bullet },A)\to {\mathrm{Ext}}^{i+1}(Y,A).$$注意到对一切 $i$ 都有 ${\mathrm{Ext}}^i(P^{\bullet },\cdot )$ 与滤余极限交换, 而 ${\mathrm{Ext}}^i(Y,A)=0$ 对 $i\le m$ 成立. 于是当 $i<m$ 时, ${\mathrm{Ext}}^i(X,\cdot )={\mathrm{Ext}}^i(P^{\bullet },\cdot )$ 与滤余极限交换.

最后, 设 $A=\bigcup A_i$ 为滤并集. 注意 ${\mathrm{Ext}}^{m+1}(Y,\cdot )=\mathrm{Hom}(H^{-m-1}(Y),\cdot )$, 于是我们有 $\mathrm{colim}{\mathrm{Ext}}^{m+1}(Y,A_i)\to {\mathrm{Ext}}^{m+1}(Y,A)$ 为单射. 由此及上述正合列, 知 ${\mathrm{Ext}}^m(X,\cdot )=\ker ({\mathrm{Ext}}^m(P^{\bullet },\cdot )\to {\mathrm{Ext}}^{m+1}(Y,\cdot ))$ 与滤并集交换.

综上, $(2)$ 成立.

2. 显然, $(2)\Rightarrow (3)$.

3. 下设 $(3)$ 成立, 且它在 $-m$ 处的截断在引理条件的意义下被 $S$ 生成. 我们证明 $(1)$. 固定 $X$. 由于 $X$ 上有界, 当 $m\ll 0$ 时 $X$ 为 $m,S$-伪凝聚的, 因为 $0\to X$ 即为所要求的逼近. 从而我们对 $m$ 归纳. 由归纳假设, 设 $X$ 是 $m-1,S$-伪凝聚的.

取上有界余链复形 $P^{\prime \bullet }$, 及映射 $\varphi :P^{\prime \bullet }\to X$, 使得每个 $P^{\prime i}$ 为 $S$ 中对象的有限直和, 且 $H^i(\varphi )$ 当 $i>-m+1$ 时为同构, 当 $i=-m+1$ 时为满射. 替换为朴素截断, 设 $P^{\prime i}=0$ 对一切 $i\le -m$ 成立. 令 $Y$ 为 $P^{\prime \bullet }\to X$ 的映射锥, 则 $H^i(Y)=0$ 对 $i>-m$ 成立. 对 $A\in \mathcal{A}$, 考虑正合列$${\mathrm{Ext}}^{m-1}(X,A)\to {\mathrm{Ext}}^{m-1}(P^{\prime \bullet },A)\to {\mathrm{Ext}}^m(Y,A)\to {\mathrm{Ext}}^m(X,A)\to {\mathrm{Ext}}^m(P^{\prime \bullet },A),$$知 ${\mathrm{Ext}}^m(Y,\cdot )=\mathrm{Hom}(H^{-m}(Y),\cdot )$ 与滤并集交换.

(下一段是为了证明 $H^{-m}(Y)$ 是 $S$ 的对象的直和的商. 只关心 $S$ 生成 $\mathcal{A}$ 情形的读者可以跳过.)

取上有界余链复形 $P^{\prime \prime \bullet }$, 及映射 $\varphi :P^{\prime \prime \bullet }\to X$, 使得每个 $P^{\prime \prime i}$ 为 $S$ 中对象的直和, 且 $H^i(\varphi )$ 当 $i>-m$ 时为同构, 当 $i=-m$ 时为满射. 则 $P^{\prime \bullet }\to X$ 可提升为余链复形的映射 $P^{\prime \bullet }\to P^{\prime \prime \bullet }$. 令 $Y^{\prime \bullet }$ 为 $P^{\prime \bullet }\to P^{\prime \prime \bullet }$ 的余链复形映射锥, 它是逐项为 $S$ 中对象直和的上有界余链复形. 则有映射 $Y^{\prime \bullet }\to Y$, 且 $H^i(Y)=0$ 对 $i>-m$ 成立, 而 $H^{-m}(Y^{\prime \bullet })\to H^{-m}(Y)$ 为满射. 于是 $H^{-m}(Y)$ 是一族 $S$ 中对象的直和的商.

由引理 5, $H^{-m}(Y)$ 是 $S$ 的对象的有限直和的商. 取这样一个满射 $L\to H^{-m}(Y)$. 令 $L[m]\to Y$ 为这诱导的映射.

令 $P^{\bullet }$ 为 $L[m+1]\to Y[1]\to P^{\prime \bullet }$ 的链复形映射锥. 则映射 $P^{\bullet }\to X$ 即为所求逼近, 知 $(1)$ 成立.

$\square$

注 7. 笔者不清楚上述引理中 $(2)⟹(1)$ 是否在 (相比紧投射生成) 更弱的假设下成立. 如有了解者欢迎补充.

令 $\mathsf{Latt}\subset \mathsf{Ab}$ 为以有限自由 $\mathbb{Z}$ 模为对象的满子范畴. 则有函子 $\widetilde{Q^n}=Q^n{|}_{\mathsf{Latt}}$. 我们注意到, $Q^n=\mathbb{Z}[\mathrm{Hom}({\mathbb{Z}}^n,\cdot )]$ 是可表函子自由生成的群. 于是对一切 $\mathcal{F}:\mathsf{Ab}\to \mathsf{Ab}$, 有 $\mathrm{Hom}(Q^n,\mathcal{F})=\mathrm{Hom}(\widetilde{Q^n},\mathcal{F}{|}_{\mathsf{Latt}})=\mathcal{F}({\mathbb{Z}}^n)$. 我们进一步注意到, $\{\widetilde{Q^n}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ 是 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Latt},\mathsf{Ab})$ 的一族紧投射生成元.

引理 8. 若 ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}\in \mathsf{Fun}(\mathsf{Latt},\mathsf{Ab})$ 伪凝聚, 则定理 1 成立.

证明. 由伪凝聚性立得 ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}$ 有各项为 $\{\widetilde{Q^n}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ 的对象的有限直和的投射消解. 记为 $\widetilde{P^{\bullet }}\to {\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}$, 并取定同构 $\widetilde{P^{-i}}={⨁}_{j=1}^{n_i}\widetilde{Q^{r_{ij}}}$. 令 $P^{-i}={⨁}_{j=1}^{n_i}{Q}^{r_{ij}}$. 则复形 $\widetilde{P^{\bullet }}\to {\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}$ 唯一延拓为 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Ab},\mathsf{Ab})$ 中的复形 $P^{\bullet }\to {\mathrm{id}}_{\mathsf{Ab}}$. 现在只需证明这个复形正合. 对于关心集合论问题的读者, 容易注意到这里并不本质地用到 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Ab},\mathsf{Ab})$, 而只是用它来陈述函子性.

现在 $P^{\bullet }\to {\mathrm{id}}_{\mathsf{Ab}}$ 在有限自由 $\mathbb{Z}$ 模处的截面正合. 由于各项作为函子均与滤余极限交换, 知道它在自由 $\mathbb{Z}$ 模处的截面正合.

任取 Abel 群 $A$, 则由 Dold–Kan 有单纯自由消解 $B_{\bullet }\to A$. 则 $(P^{\bullet }(B_{\bullet })\to B_{\bullet })$ 是 $(P^{\bullet }(A)\to A)$ 的单纯消解. 由于前者零调, 后者亦然. 从而结论得证.

$\square$

我们有如下关于伪凝聚性的技术性的结果:

引理 9. 设 $P^{\bullet }$ 是 Grothendieck Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 的上有界余链复形, $P^i$ 紧投射对一切 $i$ 成立. 假设 $\mathcal{A}$ 紧投射生成. 设 $n$ 为自然数. 假设 $-n\le i<0$ 时, $H^i(P^{\bullet })$ 是 $n+i$-伪凝聚的. 则 $H^0(P^{\bullet })$ 是 $n$-伪凝聚的.

证明. 令 $X=H^0(P^{\bullet })$. 由于 $X$ 是 $P^0$ 的商, 它 $0$-伪凝聚. 对 $n$ 归纳, 可假设 $X$ 是 $n-1$-伪凝聚的对象. 由引理 6, 只需证明 ${\mathrm{Ext}}^n(X,\cdot ):\mathcal{A}\to \mathsf{Ab}$ 与滤并集交换.

令 $Y$ 为 $P\to X[0]$ 的映射余锥. 对 $A\in \mathcal{A}$, 我们有长正合列 ${\mathrm{Ext}}^{n-1}(P^{\bullet },A)\to {\mathrm{Ext}}^{n-1}(Y,A)\to {\mathrm{Ext}}^n(X,A)\to {\mathrm{Ext}}^n(P^{\bullet },A)\to {\mathrm{Ext}}^n(Y,A)$ 与 Grothendieck 谱序列 ${\mathrm{Ext}}^p(H^{-q}(Y),A)\Rightarrow {\mathrm{Ext}}^{p+q}(Y,A)$. 它们均为关于 $A$ 函子性的. 注意到, ${\mathrm{Ext}}^p(H^{-q}(Y),\cdot )$ 在 $p+q\le n$ 时与滤并集交换. 于是 ${\mathrm{Ext}}^{n-1}(Y,\cdot )$ 与滤并集交换, 而对任何滤并集 $A=\bigcup A_i$, $\mathrm{colim}{\mathrm{Ext}}^n(Y,A_i)\to {\mathrm{Ext}}^n(Y,A)$ 为单射. 又对一切 $i$ 有 ${\mathrm{Ext}}^i(P^{\bullet },\cdot )$ 与滤并集交换. 从而由长正合列知 ${\mathrm{Ext}}^n(X,\cdot )$ 与滤并集交换.

$\square$

接下来我们不加证明地引用如下代数拓扑结论.

回忆. 存在一列有限生成交换群 $M_k$, 满足以下条件: 设 $P$ 是有限生成自由交换群, $n$ 是自然数, $K(P,n)$ 是分类空间, 则当 $0\le i<n$ 时, 有函子性的自然同构 $H_{n+i}(K(P,n),\mathbb{Z})=P{\otimes }_{\mathbb{Z}}{M}_i$.

回忆. 设 $P$ 是交换群, $n$ 是自然数. 考虑 $n$ 重杠构造的单纯几何实现 $|B^{n}P|\in s\mathsf{Ab}$. 则它作为单纯集典范同伦等价于 $K(P,n)$.

由此我们即可得到最终结果.

引理 10. ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}\in \mathsf{Fun}(\mathsf{Latt},\mathsf{Ab})$ 伪凝聚.

证明. 我们对 $m$ 归纳证明 $m$-伪凝聚性. 显然, 它 $-1$-伪凝聚.

假设 $m-1$-伪凝聚性已证. 我们考虑 $P\mapsto (\mathbb{Z}[|B^{m+1}P|])[-m-1]$. 这是 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Latt},\mathsf{Ch}(\mathsf{Ab}))=\mathsf{Ch}(\mathsf{Fun}(\mathsf{Latt},\mathsf{Ab}))$ 的对象. 则由杠构造的具体形式, 这个复形的各项为 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Latt},\mathsf{Ab})$ 的紧投射对象, 且由上面引用的结论, 当 $0\le i\le m$ 时, 它的 $i$ 阶同调为 ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}{M}_i$. 由于 ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}$ $m-1$-伪凝聚, ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}{\otimes }_{\mathbb{Z}}{M}_i$ 亦然. 从而由引理 9 知 ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}$ $m$-伪凝聚.

$\square$

正文中还需要一个推论.

推论 11. 对 $k\in \mathbb{Z}$, 定理中的典范消解有两个自映射: 一个是复形每一项乘 $k$, 另一个是由 $k:A\to A$ 以及消解的典范性诱导, 分别记作 $k$ 和 $[k]$. 则这两个映射典范同伦, 即存在关于 $A$ 典范的 $h:P^{\bullet }\to P^{\bullet -1}$, 使得 $k-[k]=dh+hd$.

证明. 还是将典范消解视为 ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}$ 在 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Latt},\mathsf{Ab})$ 中的投射消解. 注意 $k$ 与 $[k]$ 在函子 ${\mathrm{id}}_{\mathsf{Latt}}$ 上是同一个映射, 由一般范畴投射消解的性质即知它俩在 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Latt},\mathsf{Ab})$ 中同伦. 由于 ${⨁}_{i=1}^{n_i}\mathbb{Z}[A^{r_{ij}}]$ 的每个元素都只涉及 $A$ 的有限个元素, 在某个映射 $L\to A$, $L\in \mathsf{Latt}$ 的像集中, 所以由典范性不难将 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Latt},\mathsf{Ab})$ 中同伦唯一延拓成为 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Ab},\mathsf{Ab})$ 中同伦, 即对所有交换群的典范同伦.

$\square$

术语翻译

伪凝聚 • 英文 pseudo-coherent

滤并集 • 英文 filtered union

杠构造 • 英文 bar construction