10. 展望

至此我们发展了解析几何中概形的对应物——解析空间, 观察了其离散情形的实例. 有了这些, 我们能做什么呢? 起初我认为解析空间的底位象太大、难以操作, 在概形、刚性解析几何、复解析几何等各种具体情形, 都要用具体的「底空间」来做几何, 来发展六函子; 于是本节原名「离散进制空间、整体六函子」, 大致讲述 [Condensed] 第 9,10,11 讲的内容, 以展示概形情形的具体发展. 但在用解析空间重述这些时, 我看到了统一的希望. 我似乎能直接对解析空间定义「紧合」概念, 以统一的方法做出六函子. 以下定义是一种尝试, 也参见 Mathoverflow 相应讨论. 注意此处的紧合和 [Diamonds] 中一样, 并没有有限型条件.

定义 10.1. 称解析环同态 $\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 紧合, 指它稳态, 且 $\mathcal{B}=\mathcal{A}{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\underline{\mathcal{B}}$. 这显然在基变换下保持. 称解析空间映射 $f:X\to Y$ 部分紧合, 指对仿射开集 $V\subseteq Y$, $f^{-1}(V)$ 能被在 $V$ 上紧合的仿射开集所覆盖. 如一映射部分紧合且拟紧拟分离, 则称其紧合. (也许应该要求分离性, 但我不知道怎么定义分离.) 容易看出, 对紧合的 $f$, $f_{\ast }:\mathsf{D}(X)\to \mathsf{D}(Y)$ 与两边的 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$-余幂结构交换, 于是可以叫它 $f_{!}$ 并合理地取右伴随 $f^{!}$. 对部分紧合映射 $f:X\to Y$, 其中 $Y$ 仿射, 也许可以把 $f_{!}$ 定义为将 $f_{\ast }$ 从 ${\bigcup }_{U\subseteq X仿射}{j_U}_{\ast }\mathsf{D}(U)$ 在 $\mathsf{D}(X)$ 中生成的子范畴中左 Kan 延拓到 $\mathsf{D}(X)$. 至少在复解析几何的情形, 可以验证这与 Clausen 在 [Copenhagen] 最后一讲中所定义的一致.

第 7 节中有典范紧化, 一般情况应当也有. 以下概念至少在概形、刚性解析几何、复解析几何这几种情况都是「正确的」:

定义 10.2. 考虑稳态解析环同态 $\mathcal{A}\to \mathcal{B}$, 满足 $\underline{\mathcal{B}}\in \mathsf{D}(\mathcal{A})$ 是核的 ([Analytic], 13.10–14). 定义相对紧化 ${\overline{\mathcal{B}}}^{/\mathcal{A}}=\mathcal{A}{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\underline{\mathcal{B}}$. 不难验证自然映射 ${\overline{\mathcal{B}}}^{/\mathcal{A}}\to \mathcal{B}$ 是稳态局部化, 且稳态局部化的相对紧化仍是稳态局部化. 于是便可整体化到满足核条件的解析空间映射, 对其定义相对紧化.

称解析空间映射 $f:X\to Y$ 可紧化, 指它局部上是解析环同态 $\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 满足 $\underline{\mathcal{B}}\in \mathsf{D}(\mathcal{A})$ 是核模, 并且稳态开含入 $j:X\to {\overline{X}}^{/Y}$ 满足 $j^{\ast }$ 有左伴随, 记为 $j_{!}$. 此时定义 $f_{!}={\bar{f}}_{!}{j}_{!}$, $f^{!}$ 为其右伴随, 便得到全套六函子.

这些术语, 特别是「部分紧合」, 实际来自 [Diamonds]. 那里对完美胚空间范畴的 v 层之间映射定义了这些概念, 于是特别地, ${\mathbb{Z}}_p$ 上的解析进制空间之间映射就也有这些概念.

猜想 10.3. 对 ${\mathbb{Z}}_p$ 上的解析进制空间之间的分离映射 $f:X\to Y$, 其作为解析空间映射 (部分) 紧合, 当且仅当其作为钻石之间的映射 (部分) 紧合.

这里说进制空间「解析」指的是其由 Tate Huber 对粘成. 要求分离是因为 [Diamonds] 中的紧合要求分离.

关于拟凝聚层我目前也只能说到这里. 该不该指望较统一的平展层理论, 我也不知道. 起初我根本不敢想, 但 [Diamonds] 似乎令我感觉有点希望.

术语翻译

核 (形容词) • 英文 nuclear

部分紧合 • 英文 partially proper