9. 解析空间

本节将解析环粘起来得到解析空间. 在此之前先回忆概形是怎么粘出来的. 为便于推广, 我们来回忆函子式的办法. 以 $\mathsf{Ring}$ 记 (${\mathbb{E}}_{\infty }$-) 环的范畴. 对任意 $R\in \mathsf{Ring}$, $r_1,\dots ,r_n\in {\pi }_{0}R$ 生成单位理想, 令 $\{R\to R_{r_i}{\}}_{i=1}^n$ 覆盖 $R$, 即得 ${\mathsf{Ring}}^{\mathrm{op}}$ 上一个 Grothendieck 拓扑, 称 Zariski 拓扑. 以此将 ${\mathsf{Ring}}^{\mathrm{op}}$ 视为景, 则 Zariski 下降表明 $\mathrm{Spec}R:=\mathrm{Hom}(R,-)$ 是其上的层, 这就是仿射概形. 不难发现映射 $\mathrm{Spec}{R}_r\to \mathrm{Spec}R$ 在 $\mathsf{Sh}({\mathsf{Ring}}^{\mathrm{op}})$ 中为 $(-1)$-截断; 此类映射称为主开浸入或主局部化, 它们的余极限称为开浸入或 Zariski 局部化. 最后, 概形即定义为仿射概形沿开浸入取余极限所得. Zariski 下降还表明 $R\mapsto \mathsf{D}(R)$ 是 ${\mathsf{Ring}}^{\mathrm{op}}$ 上的对称幺半稳定无穷范畴层, 于是对 $X\in \mathsf{Sh}({\mathsf{Ring}}^{\mathrm{op}})$, 可定义其 (拟凝聚) 导出范畴为 $\mathsf{D}(X)={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Sh}({\mathsf{Ring}}^{\mathrm{op}})}(X,\mathsf{D})$. 如 $X$ 是概形, 依定义有 $\mathsf{D}(X)={\lim }_{\mathrm{Spec}R\hookrightarrow X开浸入}\mathsf{D}(R)$.

解析空间的作法大体与之类似. 不同之处在于由于解析环本身结构复杂, 显式的形如 $R\to R_r$ 的局部化未必合理, 只能抽象地以模范畴刻画局部化. 由于我们认为解析环的本体是模范畴, 模范畴一样而底环不同者应当视为一样, 所以本节在完备解析环范畴 $\mathsf{AnRing}$ 中工作, 环张量积符号常指 $\mathsf{AnRing}$ 中的推出.

定义 9.1. 称 $\mathsf{AnRing}$ 中同态 $\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 为局部化, 指忘却函子 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathcal{B})\to {\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathcal{A})$ 满忠实.

注 9.2. 这推出 $\mathcal{B}{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}=\mathcal{B}$. 事实上, 满忠实函子 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathcal{B})\to {\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathcal{A})\subset {\mathsf{D}}_{\ge 0}(\underline{\mathcal{A}})$ 给出 $\underline{\mathcal{A}}$ 上解析结构, 记作 ${\mathcal{B}}^{\prime }$, 其完备化为 $\mathcal{B}$. 由解析环余极限的定义显然有 ${\mathcal{B}}^{\prime }{\otimes }_{\mathcal{A}}{\mathcal{B}}^{\prime }={\mathcal{B}}^{\prime }$, 从而作为完备解析环余极限, $\mathcal{B}{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}=\mathcal{B}$. 用类似的办法可以看出局部化在基变换和余极限下封闭.

反过来 $\mathcal{B}{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}=\mathcal{B}$ 的话 $\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 是不是局部化呢, 我还没想. 离散情形当然是这样, 因为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环同态 $A\to B$ 的模范畴忘却函子满忠实, 相当于说它的左伴随 $-{\otimes }_{A}B$ 复合它为 $\mathrm{id}$; 由于 $B$ 在余极限下生成 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(B)$, 这自然就等价于 $B{\otimes }_{A}B=B$. 做一些交换代数不难发现, Noether 环之间同态依以上定义是局部化, 当且仅当它是归纳 Zariski 局部化. 固然不 Noether 时会有其它东西, 比如非离散的一维赋值环打到它的剩余域, 但在解析环情境下要做一般理论可能也只能如此定义.

光是局部化并不能保证导出范畴能粘合, 还要引入一个条件.

定义 9.3. 称解析环同态 $\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 为稳态, 指对任意同态 $\mathcal{A}\to {\mathcal{A}}^{\prime }$, 任意 $S\in \mathsf{ExDisc}$, ${\mathcal{A}}^{\prime }[S]{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}\in {\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{A}}^{\prime })$. 这自然等价于 $-{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}$ 保持 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{A}}^{\prime })$. 具体地说, 像命题 8.12 的证明中一样, 对 $M\in {\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{A}}^{\prime })$, $M{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}$ 有自然的 $\underline{{\mathcal{A}}^{\prime }}$ 模结构, 由$$\underline{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}(M{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B})=(\underline{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\underline{\mathcal{B}}){\otimes }_{\underline{\mathcal{B}}}(M{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\mathcal{B})\to (\underline{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\mathcal{B}){\otimes }_{\mathcal{B}}(M{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\mathcal{B})=({\mathcal{A}}^{\prime }{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}M){\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\mathcal{B}\to M{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}$$给出; 这里要求它仍属于 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{A}}^{\prime })$. 如令 ${\mathcal{B}}^{\prime }=\mathcal{B}{\otimes }_{\mathcal{A}}{\mathcal{A}}^{\prime }$ 为 $\widetilde{\mathsf{AnRing}}$ 中推出, 则实际上 $M{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}$ 有自然的 $\underline{{\mathcal{B}}^{\prime }}=\underline{\mathcal{B}}{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\underline{{\mathcal{A}}^{\prime }}$ 模结构, 这也就相当于要求它属于 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{B}}^{\prime })$. 另外, 由于 ${\mathcal{A}}^{\prime }[S]{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}=({\mathcal{A}}^{\prime }[S]{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\underline{\mathcal{B}}){\otimes }_{\underline{\mathcal{B}}}\mathcal{B}=({\mathcal{A}}^{\prime }{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\underline{\mathcal{B}})[S]{\otimes }_{\underline{\mathcal{B}}}\mathcal{B}$, 这也等价于 $-{\otimes }_{\underline{\mathcal{B}}}\mathcal{B}$ 保持 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{A}}^{\prime }{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\underline{\mathcal{B}})$.

以下命题将映射稳态刻画为支持基变换.

命题 9.4. 解析环同态 $f:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 稳态当且仅当对任意推出图表$${\mathcal{B}}^{\prime }{\mathcal{A}}^{\prime }\mathcal{B}\mathcal{A}{f}^{\prime }{g}^{\prime }fg$$以及任意 $M\in \mathsf{D}({\mathcal{A}}^{\prime })$, $f^{\ast }{g}_{\ast }M=g_{\ast }^{\prime }{f}^{\prime \ast }M$.

证明. 由于两边的函子都右 $t$-正合且保持余极限, 故对 $M\in \mathsf{D}({\mathcal{A}}^{\prime })$ 和对 $M\in {\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{A}}^{\prime })$ 提条件是一样的. 「当」比较显然: $M{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}$ 就是等号左边, 它等于等号右边当然就是说它附带自然的 $\underline{{\mathcal{B}}^{\prime }}$ 模结构属于 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{B}}^{\prime })$. 「仅当」需要证明如果 $M{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}\in {\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{B}}^{\prime })$ 那么它就是 $M{\otimes }_{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{B}}^{\prime }$, 也就是对 $X\in {\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{B}}^{\prime })$ 证明$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(M{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B},X)={\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{A}}^{\prime }}(M,X).$$由于等号左边是 ${\mathrm{Hom}}_{\underline{{\mathcal{B}}^{\prime }}}((M{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\underline{\mathcal{B}}){\otimes }_{\underline{\mathcal{B}}}\mathcal{B},X)$, 等号右边是 ${\mathrm{Hom}}_{\underline{{\mathcal{B}}^{\prime }}}(M{\otimes }_{\underline{\mathcal{A}}}\underline{\mathcal{B}},X)$, 只需对 $N\in \mathsf{D}(\underline{{\mathcal{B}}^{\prime }})$ 证$${\mathrm{Hom}}_{\underline{{\mathcal{B}}^{\prime }}}(N{\otimes }_{\underline{\mathcal{B}}}\mathcal{B},X)={\mathrm{Hom}}_{\underline{{\mathcal{B}}^{\prime }}}(N,X).$$由于 $X\in {\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{B}}^{\prime })\subseteq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathcal{B}{\otimes }_{\underline{\mathcal{B}}}\underline{{\mathcal{B}}^{\prime }})$, 这是命题 8.12 的推论.

$\square$

注 9.5. 显然, 稳态映射在基变换下封闭. 由命题 8.13 证明中对左伴随的描述不难看出其也在余极限下封闭. 由定义 9.3 里最后一句话容易发现其还有如下性质: 如解析环同态 $\mathcal{A}\to \mathcal{B}\to \mathcal{C}$ 复合起来稳态, 则 $\mathcal{B}\to \mathcal{C}$ 亦稳态.

正确的解析环覆盖是这样:

定义 9.6. $\mathsf{AnRing}$ 中, 稳态覆盖指稳态局部化的有限族 $\{\mathcal{A}\to {\mathcal{A}}_i{\}}_{i=1}^n$, 使得函子 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathcal{A})\to {\prod }_{i=1}^n{\mathsf{D}}_{\ge 0}({\mathcal{A}}_i)$ 反映同构, 即左边一个态射是同构当且仅当其打到右边之后是同构. 由于 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}$ 满忠实嵌入对应的 $\mathsf{D}$ 且此函子为右 $t$-正合, 这等价于函子 $\mathsf{D}(\mathcal{A})\to {\prod }_{i=1}^n\mathsf{D}({\mathcal{A}}_i)$ 反映同构, 也等价于它反映零对象. 以此把 ${\mathsf{AnRing}}^{\mathrm{op}}$ 视为景.

正是稳态让导出范畴能下降:

定理 9.7. 设 $\{\mathcal{A}\to {\mathcal{A}}_i{\}}_{i=1}^n$ 为稳态覆盖. 对 $I\subseteq \{1,\dots ,n\}$ 非空, 记 ${\mathcal{A}}_I={⨂}_{\mathcal{A},i\in I}{\mathcal{A}}_i$, 则 $\mathsf{D}(\mathcal{A})={\lim }_I\mathsf{D}({\mathcal{A}}_I)$, 其中 $I$ 取遍 $\{1,\dots ,n\}$ 的非空子集. 换言之, $\mathsf{D}$ 是 ${\mathsf{AnRing}}^{\mathrm{op}}$ 上的对称幺半稳定无穷范畴层.

证明. 等号右边的范畴其对象形如 $(X_I)$, 满足对 $I\subseteq J$, $X_I{\otimes }_{{\mathcal{A}}_I}{\mathcal{A}}_J=X_J$. 左边到右边的自然函子为 $F(X)=(X{\otimes }_{\mathcal{A}}{\mathcal{A}}_I)$. 由于稳态局部化在基变换和复合下封闭, 每个 ${\mathcal{A}}_I$ 都是 $\mathcal{A}$ 的稳态局部化. 将每个 $\mathsf{D}({\mathcal{A}}_I)$ 视为 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 的满忠实子范畴, 有反方向函子 $G(X_I)={\lim }_I{X}_I$. 它们显然是左右伴随, 要证两个复合都是恒同. $FG=\mathrm{id}$ 是因为$$(\underset{I}{\lim }{X}_I){\otimes }_{\mathcal{A}}{\mathcal{A}}_J=\underset{I}{\lim }(X_I{\otimes }_{\mathcal{A}}{\mathcal{A}}_J)=\underset{I}{\lim }(X_I{\otimes }_{{\mathcal{A}}_I}{\mathcal{A}}_{I\cup J})=\underset{I}{\lim }{X}_{I\cup J}=X_J,$$其中第一个等号是因为稳定无穷范畴中有限极限是有限余极限, 第二个等号是命题 9.4. 而 $GF=\mathrm{id}$ 是形式的: $FG=\mathrm{id}$ 推出 $FGF=F$, 而由覆盖的定义 $F$ 反映同构, 故这推出 $GF=\mathrm{id}$.

$\square$

这样便可定义仿射解析空间.

定义 9.8. 对 $\mathcal{A}\in \mathsf{AnRing}$, 定义其解析谱为 $\mathrm{AnSpec}\mathcal{A}={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{AnRing}}(\mathcal{A},-)$. 由命题 8.15 与定理 9.7, 这是 ${\mathsf{AnRing}}^{\mathrm{op}}$ 上的层. 此种层称为仿射解析空间.

然后便可如本节开头一样作出解析空间.

定义 9.9. $\mathsf{Sh}({\mathsf{AnRing}}^{\mathrm{op}})$ 中映射称为开浸入, 指它是仿射解析空间的稳态局部化的余极限. 开浸入都是 $(-1)$-截断的. $\mathsf{Sh}({\mathsf{AnRing}}^{\mathrm{op}})$ 中对象称为解析空间, 指它是仿射解析空间沿开浸入的余极限. 对解析空间 $X$, 定义其 (拟凝聚) 导出范畴为 $\mathsf{D}(X)={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Sh}({\mathsf{AnRing}}^{\mathrm{op}})}(X,\mathsf{D})$, 它是 $\mathsf{CondSp}$-充实、幂、余幂的对称幺半稳定无穷范畴.

解析空间的映射指的是它们在 $\mathsf{Sh}({\mathsf{AnRing}}^{\mathrm{op}})$ 中的映射. 对解析空间映射 $f:X\to Y$, 其拟凝聚导出范畴之间有自然的函子 $f^{\ast }:\mathsf{D}(Y)\to \mathsf{D}(X)$. 由伴随函子定理它有右伴随, 记作 $f_{\ast }$. 和概形论中一样, 我们可以定义解析空间及其映射的拟紧、拟分离. 不难发现 $f$ 拟紧拟分离时 $f_{\ast }$ 保持余极限, 因为仿射时如此.

注 9.10. 这和 [Analytic] 上的说法略有不同, 但它们等价只是 $\infty$-意象上的抽象废话.

注 9.11. 也可以以环层空间的思路做解析空间. 对解析空间 $X$, 定义其开子空间指解析空间 $U$ 连同开浸入 $U\hookrightarrow X$. 显然开子空间的任意并和有限交仍是开子空间, 且满足分配律, 于是 $X$ 的所有开子空间构成一个位象, 记作 $|X|$, 称为其底位象, 或不正式地, 底空间. 位象指的是 $0$-意象. $X$ 的解析空间结构给 $|X|$ 以自然的解析环层, 记作 ${\mathcal{O}}_X$, 于是 $(|X|,{\mathcal{O}}_X)$ 便成为解析环层位象. 它显然局部同构于 $(|\mathrm{AnSpec}\mathcal{A}|,{\mathcal{O}}_{\mathrm{AnSpec}\mathcal{A}})$ 这样的解析环层位象. 反过来, 如有局部同构于仿射解析空间的解析环层位象, 则将对应局部的解析谱取余极限可以得回上面定义的解析空间. 这样便把解析空间等同于局部同构于仿射解析空间的解析环层位象.

虽然这看似比上面更「几何」, 但实际意义不大, 因为 $|X|$ 通常太细, 如同概形论中的投射 Zariski 拓扑. 实际做几何时还是用一个更粗的位象, 这可从下一节看出. 解析空间的好处是提供了统一的理论框架以及合理的导出范畴.

下面来看例子. 在此之前需要给出稳态的充分条件.

命题 9.12. $f:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 是解析环同态. 如对任意极不连通空间 $S$ 以及任意 $\mathcal{A}$ 模 $M$, 自然映射$$(f^{\ast }{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}[S],M))(\ast )\to (f^{\ast }M)(S)$$是同构, 那么 $f$ 为稳态.

证明. 任取解析环同态 $g:\mathcal{A}\to {\mathcal{A}}^{\prime }$, 令 ${\mathcal{B}}^{\prime }={\mathcal{A}}^{\prime }{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}$. 取 $M\in \mathsf{D}({\mathcal{A}}^{\prime })$, 令 $N=M{\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B}\in \mathsf{D}(\underline{{\mathcal{A}}^{\prime }})$. 下证 $N\in \mathsf{D}({\mathcal{A}}^{\prime })$.

我们使用函子性. 令 $F_N:\mathsf{cpt}(\mathsf{D}({\mathcal{A}}^{\prime }){)}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Sp}$, $X\mapsto ({\underline{\mathrm{Hom}}}_{{\mathcal{A}}^{\prime }}(X,M){\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B})(\ast )$, 则 $F_N$ 正合. 由于 $\mathsf{D}({\mathcal{A}}^{\prime })$ 紧生成且有任意余极限, 知 $F_N$ 被 $\mathsf{D}({\mathcal{A}}^{\prime })$ 的对象 $N^{\prime }$ 表示: 如忽略集合论问题, 可令 $N^{\prime }={\mathrm{colim}}_{(X,f\in {\Omega }^{\infty }{F}_N(X))}X$. 此时对 $S\in \mathsf{ExDisc}$ 我们有函子性的同构$$N(S)=(f^{\ast }{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}[S],M))(\ast )=({\underline{\mathrm{Hom}}}_{{\mathcal{A}}^{\prime }}({\mathcal{A}}^{\prime }[S],M){\otimes }_{\mathcal{A}}\mathcal{B})(\ast )=F_N({\mathcal{A}}^{\prime }[S])={\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{A}}^{\prime }}({\mathcal{A}}^{\prime }[S],N^{\prime })=N^{\prime }(S),$$于是 $N=N^{\prime }\in \mathsf{D}({\mathcal{A}}^{\prime })$.

$\square$

例 9.13. 我们来把离散进制空间, 即离散 Huber 对所粘成的进制空间, 做成解析空间. 这件事分为以下几步:

1.	把离散 Huber 对 $(A,A^{+})$ 做成解析环 $(A,A^{+}{)}_{■}$. 首先对 $\mathbb{Z}$ 上有限型环对 $(A,R)$, 这就是命题 6.6. 由习题 6.8, $(A,R{)}_{■}$ 只依赖于 $A$ 和 $\mathrm{im}(R\to A)$ 在 $A$ 中整闭包. 然后对离散 Huber 对 $(A,A^{+})$, 定义 $(A,A^{+}{)}_{■}={\mathrm{colim}}_{(B,R)\to (A,A^{+})}(B,R{)}_{■}$, 其中 $(B,R)$ 取遍 $\mathbb{Z}$ 上有限型环对, 便得到解析环 $(A,A^{+}{)}_{■}$. 由于此余极限是滤的, 命题 8.13 保证了它完备, 底环为 $A$.
2.	把离散 Huber 对局部化做成稳态局部化. 由于稳态局部化的交还是稳态局部化, 只用做一元情形, 即证明 $(A,R{)}_{■}\to (A[1/g],R[f/g]{)}_{■}$ 是稳态局部化. 这可分成两步 $(A,R{)}_{■}\to (A[1/g],R{)}_{■}\to (A[1/g],R[f/g]{)}_{■}$. 第一步是 $A\to A[1/g]$ 的基变换, 而环局部化总是稳态局部化. 第二步则是 $(\mathbb{Z}[x],\mathbb{Z}{)}_{■}\to (\mathbb{Z}[x],\mathbb{Z}[x]{)}_{■}$ 的基变换, 这就稍复杂些. 它当然是局部化, 因为底环相同. 稳态就用命题 9.12. 由命题 7.1 (的证明), 这里的 $f^{\ast }$ 就是 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathbb{Z}[x]}((\mathbb{Z}((x^{-1}))/\mathbb{Z}[x])[-1],-)$, 从而$$\begin{array}{rl}(f^{\ast }{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathbb{Z}[x]}((\mathbb{Z}[x],\mathbb{Z}{)}_{■}[S],M))(\ast )& ={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}[x]}((\mathbb{Z}((x^{-1}))/\mathbb{Z}[x])[-1],{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathbb{Z}[x]}((\mathbb{Z}[x],\mathbb{Z}{)}_{■}[S],M))\\ & ={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}[x]}((\mathbb{Z}[x],\mathbb{Z}{)}_{■}[S],{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathbb{Z}[x]}((\mathbb{Z}((x^{-1}))/\mathbb{Z}[x])[-1],M))=(f^{\ast }M)(S).\end{array}$$
3.	最后, 离散进制空间是离散 Huber 对的进制谱沿局部化的余极限, 于是取相应解析谱的余极限便得到解析空间.

一般进制空间会有一些麻烦. 对一般 Huber 对 $(A,A^{+})$, 固然应该定义 $(A,A^{+}{)}_{■}$ 为 $(A_{\mathrm{disc}},A_{\mathrm{disc}}^{+}{)}_{■}{\otimes }_{A_{\mathrm{disc}}}A$, 但由于 Huber 对的局部化涉及环的进制完备化, 故它未必表现良好. [Analytic], 命题 14.7 说局部化至少对在 Noether 的定义环上有限生成的, 或者 Tate 且层的 Huber 环来说表现良好, 但那里没有证明. [An21] 里做了些证明.

做成解析空间的好处是能在非 Archemedes 解析几何中做出表现良好的导出范畴. 实际上 Archemedes 解析几何的对象也能做成解析空间, 但这就需要液态化的实数了.

注 9.14. 我们发展无穷范畴版本的理论, 一个原因就是想把复解析几何囊括其中. 复解析几何中开浸入不平坦: 设 $U,V\subseteq \mathbb{C}$ 是不交开集, 则理应 $\mathcal{O}(U){\otimes }_{\mathcal{O}(\mathbb{C})}\mathcal{O}(V)=0$, 而全纯函数刚性又导致 $\mathcal{O}(\mathbb{C})\to \mathcal{O}(U)$, $\mathcal{O}(\mathbb{C})\to \mathcal{O}(V)$ 是单射, 故开浸入不可能平坦. 这样一来, 拟凝聚导出范畴的 $t$ 结构在局部化下完全混乱, 于是就无法在 Abel 范畴上做事, 必须用无穷范畴.

例 9.15. 一般地对离散环 $R$ 以及凝聚态 $R_{■}$-代数 $A$, 也可以定义 $(A,R{)}_{■}=R_{■}{\otimes }_{R}A$. 由命题 8.12 对此解析环的描述知其完备. 这样便兑现了注 6.12.

术语翻译

$n$-截断 (形容词) • 英文 $n$-truncated

稳态 (形容词) • 英文 steady

反映 (动词) • 英文 reflect

位象 • 英文 locale

进制空间 • 英文 adic space