引言

多复变函数的起源与问题

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在 1895 年, Cousin 考虑了 Mittag–Leffler 定理与 Weierstrass 定理在多变量情形的推广, 并提出了现在被称为第一和第二 Cousin 问题的重要论题. (回忆: Mittag–Leffler 定理是说, 单变量亚纯函数的极点和主要部分可以被预定; 而 Weierstrass 定理则是说, 单变量全纯函数的零点和阶数可以被预定.) ∘ 第一 Cousin 问题: 在复流形 $M$ 上给定一系列开子集 $U_i$ 和其上的亚纯函数 $f_i$, 满足在重叠区域上 $f_i-f_j$ 是全纯的. 试问是否存在 $M$ 上的亚纯函数 $f$, 使得 $f-f_i$ 在 $U_i$ 上是全纯的? ∘ 第二 Cousin 问题: 在复流形 $M$ 上给定一系列开子集 $U_i$ 和其上的亚纯函数 $g_i$, 满足在重叠区域上 $\frac{g_i}{g_j}$ 是非零全纯函数 (如果有定义). 试问是否存在 $M$ 上的亚纯函数 $g$, 使得 $\frac{g}{g_i}$ 在 $U_i$ 上是全纯且非零的? 该问题后来引导人们研究层论 (Leray, 1940 年代). 在 1950 年代, Oka, Cartan, Serre 等人研究了连贯解析层. 同样年代, Stein 发现在 Stein 流形中这两个问题总是可解的.

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1906 年, Hartogs 发现了著名的 Hartogs 现象: 定理 1 (Hartogs 现象). 存在两个区域 ${\Omega }_1,{\Omega }_2\subset {\mathbb{C}}^n(n>1)$, 使得 ${\Omega }_1⊊{\Omega }_2$, 满足 $\mathcal{O}({\Omega }_1)=\mathcal{O}({\Omega }_2){|}_{{\Omega }_1}$. (也就是说 ${\Omega }_1$ 上的全纯函数均可以延拓到 ${\Omega }_2$ 上) 这可以算是多复变函数理论的真正开始. 其中的符号定义为: 定义 2 (多复变的全纯函数). 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域. 称函数 $f:\Omega \to \mathbb{C}$ 为 $\Omega$ 上的全纯函数, 记为 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$, 如果 $f\in C^1(\Omega )$, 且对任意 $1\le k\le n$ 有$$\frac{\partial f}{\partial {\bar{z}}_k}=0.$$ 然而, 单复变中是不存在 Hartogs 现象的, 这由 Mittag–Leffler 定理和 Weierstrass 定理保证. 下面举一些例子以方便感受多复变与单复变的区别. ∘ $f(\zeta )=\frac{1}{\zeta }$ 是 $\mathbb{C}\backslash \{0\}$ 上的全纯函数, 而且无法定义它在原点处的值保证它还是全纯函数. ∘ 然而, 对 $n>1$, 有 $\mathcal{O}({\mathbb{C}}^n\backslash \{0\})=\mathcal{O}({\mathbb{C}}^n)$. 证明. 不妨设 $n=2$. 设 $f\in \mathcal{O}({\mathbb{C}}^2\backslash \{0\})$. 定义$$g(z,w):=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{|\zeta |=1}\frac{f(\zeta ,w)}{\zeta -z}d\zeta ,(z,w)\in \Delta \times \mathbb{C},$$则 $g\in \mathcal{O}(\Delta \times \mathbb{C})$, 其中 $\Delta$ 表示 $\mathbb{C}$ 中的单位圆盘. 根据单复变的 Cauchy 积分公式, $g=f\mathrm{on}\Delta \times (\mathbb{C}\backslash \{0\})$, 于是根据唯一性定理$$g=f\mathrm{on}(\Delta \times \mathbb{C})\backslash \{0\}=(\Delta \times \mathbb{C})\cap ({\mathbb{C}}^2\backslash \{0\}).$$令$$F=\{\begin{array}{l}f\mathrm{on}{\mathbb{C}}^2\backslash \{0\}\\ g\mathrm{on}\Delta \times \mathbb{C}\end{array},$$则 $F\in \mathcal{O}({\mathbb{C}}^2)$. $\square$ 这些内容则引导人们研究全纯凸域, 全纯域和伪凸域的内容.

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1907 年, Poincarè 证明 定理 3. 若 $n>1$, 则单位球 ${\mathbb{B}}^n\subset {\mathbb{C}}^n$ 与单位多圆柱 ${\Delta }^n=\Delta \times \cdots \times \Delta$ 不全纯等价. 注 4. ∘ 因为 ${\mathbb{B}}^n$ 和 ${\Delta }^n$ 都是凸集, 所以它们是同胚的. ∘ 这个定理表明, Riemann 映射定理 (的原始形式) 在多复变中不再成立. Poincarè 还发现了如下的刚度定理: 定理 5 (Poincarè, 1907). 设 $n>1$, $U\subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域, 满足 $U\cap \partial {\mathbb{B}}^n\ne \varnothing$, 以及 $U\cap {\mathbb{B}}^n$ 是连通的. 如果 $f\in \mathcal{O}(U,{\mathbb{C}}^n)$(全纯映射, 意思是在每个分量是全纯函数), 满足 $f$ 非常值映射, 且 $f(U\cap \partial {\mathbb{B}}^n)\subset \partial {\mathbb{B}}^n$, 则$$f\in \mathrm{Aut}({\mathbb{B}}^n).$$ 这引导人们研究 CR 几何, 即研究 Cauchy–Riemann 流形的几何学.(Cartan, Chern–Moser, Tanaka, Fefferman, Webster, 等等.)

•	1910 年, Levi 引入了被称为 Levi 伪凸的概念, 它是实凸性的复版本. 他证明了 ${\mathbb{C}}^n$ 中每个具有 $C^2$ 边界的全纯域都是 Levi 伪凸的, 并且提出了著名的 Levi 问题: ${\mathbb{C}}^n$ 中的伪凸域都是全纯域吗? 本讲义也回提及该问题. 1942 年, Oka 解决了该问题在 $n=2$ 的情形; 而一般情形分别由 Oka 在 1953 年, 以及 Bremermann 和 Norguet 在 1954 年完成.

本讲义内容

1.	多复变函数的基础知识
2.	(多重) 次调和函数与伪凸性
3.	Hörmander 关于 $\bar{\partial }$-算子的 $L^2$ 估计
4.	Ohsawa–Takegoshi $L^2$ 扩张定理
5.	完备 Kähler 流形上的 $L^2$ 估计