1.1. 准备工作

全纯函数
全纯映射

全纯函数

从一些记号开始.

令 $C^{n} = C \times \dots \times C$ (乘 $n$ 次), 它是 $n$ 维复 Euclid 空间. 对任意 $z = (z_{1}, \dots, z_{n}) \in C^{n}$ , 把每个分量写成复数形式: $z_{j} = x_{j} + i y_{j}, 1 \leq j \leq n .$

定义复的偏导数算子和微分:

$\frac{\partial}{\partial z _{j}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x _{j}} - i \frac{\partial}{\partial y _{j}}), \frac{\partial}{\partial z ˉ _{j}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x _{j}} + i \frac{\partial}{\partial y _{j}});$ $d z_{j} = d x_{j} + id y_{j}, d \overset{z}{ˉ}_{j} = d x_{j} - id y_{j} .$

设 $Ω \subset C^{n}$ 是域, $f \in C^{1} (Ω, C)$ . 可以定义下面两个微分算子 $\partial, \overset{ˉ}{\partial}$ :

$d f = j = 1 \sum n (\frac{\partial f}{\partial x _{j}} d x_{j} + \frac{\partial f}{\partial y _{j}} d y_{j}) = j = 1 \sum n (\frac{\partial f}{\partial z _{j}} d z_{j} + \frac{\partial f}{\partial z ˉ _{j}} d \overset{z}{ˉ}_{j}) = \partial f + \overset{ˉ}{\partial} f,$

和式拆成两部分, 第一部分 $\partial f$ 是 $C$ -线性的部分, 而第二部分 $\overset{ˉ}{\partial} f$ 是反线性的部分.

定义 1.1.1 (全纯函数). 函数 $f \in C^{1} (Ω)$ 被称为是全纯函数, 如果它是 Cauchy–Riemann 方程 $\overset{ˉ}{\partial} f = 0$ 在 $Ω$ 的解, 或者等价地: 在 $Ω$ 中 $\frac{\partial f}{\partial z ˉ _{1}} = \dots = \frac{\partial f}{\partial z ˉ _{n}} = 0.$ 用 $O (Ω)$ 表示 $Ω$ 中所有全纯函数组成的集合.

如同在单复变中一样, 全纯函数可以求任意阶导数.

命题 1.1.2. $O (Ω) \subset C^{\infty} (Ω)$ . 另外, 对任意 $f \in O (Ω)$ 和 $α \in N^{n}$ : $\frac{\partial ^{α} f}{\partial z ^{α}} = (\frac{\partial}{\partial z _{1}})^{α_{1}} \dots (\frac{\partial}{\partial z _{n}})^{α_{n}} f \in O (Ω) .$

这里使用一种比较 “高级” 的证明.

证明. 显然只需要证明

O (Ω) \subset C^{\infty} (Ω)

. 根据定义, 对任意

j

有

\frac{\partial f}{\partial z ˉ _{j}} = 0

在

Ω

中成立, 从而

4Δ f = j = 1 \sum n \frac{\partial ^{2} f}{\partial z _{j} \partial z ˉ _{j}} = 0,

这是在广义函数空间

D^{'} (Ω)

中考虑的. 根据 Weyl 引理,

f \in C^{\infty} (Ω)

.

$□$

现在我们把算子 $\partial, \overset{ˉ}{\partial}$ 的定义推广到高阶的微分形式中去. 令 $k \in N \cup {\infty}$ 和 $p, q \in {0, \dots, n}$ , 定义 $C_{(p, q)}^{k} (Ω) = ⎩ ⎨ ⎧ f = ∣ I ∣ = p, ∣ J ∣ = q \sum f_{I, J} d z^{I} \land d \overset{z}{ˉ}^{J} ∣ ∣ f_{I, J} \in C^{k} (Ω, C) ⎭ ⎬ ⎫$ 表示 $Ω$ 中所有 $C^{k}$ 的 $(p, q)$ -微分形式的集合. 对 $I = (i_{1}, \dots, i_{p}), J = (j_{1}, \dots, j_{q})$ , 约定 $d z^{I} \land d \overset{z}{ˉ}^{J} = d z_{i_{1}} \land \dots \land d z_{i_{p}} \land d \overset{z}{ˉ}_{j_{1}} \land \dots \land d \overset{z}{ˉ}_{j_{q}} .$

对 $f \in C_{(p, q)}^{k} (Ω)$ , 定义

$\partial f = ∣ I ∣ = p, ∣ J ∣ = q \sum \partial f_{I, J} \land d z^{I} \land d \overset{z}{ˉ}^{J}, \overset{ˉ}{\partial} f = ∣ I ∣ = p, ∣ J ∣ = q \sum \overset{ˉ}{\partial} f_{I, J} \land d z^{I} \land d \overset{z}{ˉ}^{J},$

它们分别是 $(p + 1, q)$ -形式和 $(p, q + 1)$ -形式. 此时当然有

$d f = ∣ I ∣ = p, ∣ J ∣ = q \sum d f_{I, J} \land d z^{I} \land d \overset{z}{ˉ}^{J} = \partial f + \overset{ˉ}{\partial} f .$

借助 Poincaré 引理, 我们有

$0 = d^{2} = (\partial + \overset{ˉ}{\partial})^{2} = \partial^{2} + (\partial \overset{ˉ}{\partial} + \overset{ˉ}{\partial} \partial) + \overset{ˉ}{\partial}^{2},$

结合它们的类型得到

$\partial^{2} = 0, \overset{ˉ}{\partial}^{2} = 0, \partial \overset{ˉ}{\partial} + \overset{ˉ}{\partial} \partial = 0.$

对于 $f \in C_{(p, q + 1)}^{k} (Ω)$ , $\overset{ˉ}{\partial}$ -方程 $\overset{ˉ}{\partial} u = f$ 没有解 $u \in C_{(p, q)}^{k} (Ω)$ , 除非 $\overset{ˉ}{\partial} f = 0$ , 也就是说 $f$ 是 $\overset{ˉ}{\partial}$ -闭的.

注 1.1.3. 当 $n = 1$ 时, $\overset{ˉ}{\partial} f = 0$ 对任何 $(0, 1)$ -形式 $f$ 成立.

命题 1.1.4. $\partial, \overset{ˉ}{\partial}$ 服从 Leibniz 法则, 也就是说对 $f \in C_{(p, q)}^{1} (Ω)$ 和 $g \in C_{(s, t)}^{1} (Ω)$ 有 $\partial (f \land g) = \partial f \land g + (- 1)^{p + q} f \land \partial g, \overset{ˉ}{\partial} (f \land g) = \overset{ˉ}{\partial} f \land g + (- 1)^{p + q} f \land \overset{ˉ}{\partial} g .$

证明. 只需要考虑

d

的 Leibniz 法则和比较类型.

$□$

全纯映射

定义 1.1.5 (全纯映射). 设 $Ω_{1} \subset C^{n}, Ω_{2} \subset C^{m}$ 是域. 映射 $φ : Ω_{1} \to Ω_{2}$ 被称为是全纯映射, 如果它的分量均是全纯函数. 全纯映射的集合可记为 $O (Ω_{1}, Ω_{2})$ .

命题 1.1.6. 设 $Ω_{1} \subset C^{n}, Ω_{2} \subset C^{m}$ 是域, 令 $f \in C_{(p, q)}^{1} (Ω), φ \in O (Ω_{1}, Ω_{2})$ . 则 $\partial (φ^{*} f) = φ^{*} (\partial f), \overset{ˉ}{\partial} (φ^{*} f) = φ^{*} (\overset{ˉ}{\partial} f) .$

证明. 根据全纯性和性质 1.1.4, 可得

\partial (φ^{*} f), φ^{*} (\partial f)

都是

(p + 1, q)

-形式;

\overset{ˉ}{\partial} (φ^{*} f), φ^{*} (\overset{ˉ}{\partial} f)

都是

(p, q + 1)

-形式. 又

\partial (φ^{*} f) + \overset{ˉ}{\partial} (φ^{*} f) = d (φ^{*} f) = φ^{*} (d f) = φ^{*} (\partial f) + φ^{*} (\overset{ˉ}{\partial} f),

比较两边的类型就得到答案.

$□$

需要注意的是, 这里 $φ$ 必须有全纯性, 不能仅仅是光滑的, 否则类型会出问题.

接下来, 我们证明全纯映射的逆映射定理和隐映射定理. 为此我们先研究映射在复的空间中的 Jacobi 矩阵与在实的空间中的联系. 考虑如下映射 $C^{n} \to R^{2 n}$ : $(z_{1}, \dots, z_{n}) = (x_{1} + i y_{1}, \dots, x_{n} + i y_{n}) \mapsto (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n}) .$

命题 1.1.7. 如果 $Ω \subset C^{n}$ 是域, $f \in O (Ω, C^{n})$ , 则 $det J_{R} f = ∣ det J_{C} f ∣^{2} .$

证明. 令 $f = (f_{1}, \dots, f_{n})$ , 以及 $f_{j} = u_{j} + i v_{j}$ . 根据全纯性, 可以令 $A = (\frac{\partial u _{j}}{\partial x _{k}})_{1 \leq j, k \leq n} = (\frac{\partial v _{j}}{\partial y _{k}})_{1 \leq j, k \leq n}, B = (\frac{\partial v _{j}}{\partial x _{k}})_{1 \leq j, k \leq n} = - (\frac{\partial u _{j}}{\partial y _{k}})_{1 \leq j, k \leq n} .$ 则 $J_{R} f = (A B - B A), J_{C} f = A + i B .$ 问题转化为如下线性代数事实: $det (A B - B A) = ∣ det (A + i B) ∣^{2} .$ $□$

如果 $n = 1$ , 则这个性质实际上就是单复变中的 $det J_{R} f (z) = ∣ f^{'} (z) ∣^{2}$ .

定义 1.1.8 (双全纯映射). 设 $Ω_{1}, Ω_{2} \subset C^{n}$ 是域. 如果 $f \in O (Ω_{1}, Ω_{2})$ , 满足 $f$ 是双射且 $f^{- 1} \in O (Ω_{2}, Ω_{1})$ , 则称 $f$ 是双全纯的.

定理 1.1.9. 设 $Ω \subset C^{n}$ 是域, $f : Ω \to C^{n}$ 是全纯的单射, 则 $f (Ω)$ 也是域, 且 $f : Ω \to f (Ω)$ 是双全纯映射.

$n = 1$ 的情形在单复变中已经证明, 但 $n > 1$ 的情形有些棘手. 证明可以参考 Range 的书.

定理 1.1.10 (逆映射定理). 设 $Ω_{1}, Ω_{2} \subset C^{n}$ 是域, $f \in O (Ω_{1}, Ω_{2})$ , 以及 $z_{0} \in Ω_{1}$ . 如果 $det J_{C} f (z_{0}) \neq = 0$ , 则存在 $z_{0}, f (z_{0})$ 的邻域 $U, V$ 使得 $f : U \to V$ 是双全纯映射.

证明. 因为

det J_{R} f (z_{0}) = ∣ det J_{C} f (z_{0}) ∣^{2} \neq = 0

, 根据实情形的逆映射定理, 则存在

z_{0}, f (z_{0})

的邻域

U, V

使得

f ∣_{U} : U \to V

是双射, 且

g = (f ∣_{U})^{- 1} : V \to U

是

C^{1}

的. 我们需要进一步验证它是全纯的. 对

f \circ g = Id_{V}

求导:

0 = \frac{\partial}{\partial z ˉ _{k}} (f \circ g) = j = 1 \sum n ((\frac{\partial f}{\partial w _{j}} \circ g) \frac{\partial g}{\partial z ˉ _{k}} + (\frac{\partial f}{\partial w ˉ _{j}} \circ g) \frac{\partial g ˉ}{\partial z ˉ _{k}}) = j = 1 \sum n (\frac{\partial f}{\partial w _{j}} \circ g) \frac{\partial g}{\partial z ˉ _{k}},

对

k = 1, \dots, n

在

V

成立. 因为

det (\frac{\partial f _{i}}{\partial w _{j}}) \neq = 0

在

U

成立, 故

\frac{\partial g _{j}}{\partial z ˉ _{k}} = 0, j, k = 1, \dots, n,

也就是

g \in O (V, U)

.

$□$

定理 1.1.11 (隐映射定理). 设 $Ω \subset C^{n} \times C^{m}$ 是域, $f = (f_{1}, \dots, f_{m}) \in O (Ω, C^{m})$ . 假设存在 $(z_{0}, w_{0}) \in Ω$ 使得 $f (z_{0}, w_{0}) = 0, det (\frac{\partial f _{j}}{\partial w _{k}} (z_{0}, w_{0}))_{1 \leq j, k \leq m} \neq = 0,$ 则存在 $z_{0}, w_{0}$ 的邻域 $U, V$ 以及 $g \in O (U, V)$ , 使得 $U \times V \subset Ω$ , 且 ${(z, w) \in U \times V ∣ f (z, w) = 0} = {(z, g (z)) ∣ z \in U} .$

证明. 令 $J_{C} f (z_{0}, w_{0}) = (A B)$ , 其中 $A \in C^{m \times n}, B \in C^{m \times m}$ . 定义 $F : Ω \to C^{n} \times C^{m}$ 为: $F (z, w) = (z, f (z, w)),$ 则 $det J_{C} F (z_{0}, w_{0}) = det (I_{n} A 0 B) \neq = 0.$ 根据逆映射定理 (1.1.10), 存在 $z_{0}, w_{0}, (z_{0}, 0)$ 的邻域 $U_{0}, V_{0}, W_{0}$ , 使得 $U_{0} \times V_{0} \subset Ω$ , 且 $F : U_{0} \times V_{0} \to W_{0}$ 是双全纯的.

显然,

(F ∣_{U_{0} \times V_{0}})^{- 1} (ξ, η) = (ξ, h (ξ, η))

对某个

h \in O (W_{0}, V_{0})

成立. 令

U = {z \in C^{n} ∣ (z, 0) \in W_{0}} \cap U_{0}, V = V_{0},

定义

g : U \to V

为

g (z) = h (z, 0)

, 则

g \in O (U, V)

, 且

{(z, w) \in U \times V ∣ f (z, w) = 0} = {(z, w) \in U \times V ∣ F (z, w) = (z, 0)} = {(z, w) \in U \times V ∣ (z, w) = F^{- 1} (z, 0)} = {(z, w) \in U \times V ∣ (z, w) = (z, g (z))} = {(z, g (z)) ∣ z \in U} .

$□$

名字空间

视图

1.1. 准备工作

全纯函数

全纯映射