1.1. 准备工作

全纯函数

从一些记号开始.

令 ${\mathbb{C}}^n=\mathbb{C}\times \cdots \times \mathbb{C}$(乘 $n$ 次), 它是 $n$ 维复 Euclid 空间. 对任意 $z=(z_1,\cdots ,z_n)\in {\mathbb{C}}^n$, 把每个分量写成复数形式: $$z_j=x_j+\mathrm{i}{y}_j,1\le j\le n.$$

定义复的偏导数算子和微分:

$$\frac{\partial }{\partial z_j}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x_j}-\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial y_j}\right),\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_j}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x_j}+\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial y_j}\right);$$$$\mathrm{d}{z}_j=\mathrm{d}{x}_j+\mathrm{id}{y}_j,\mathrm{d}{\bar{z}}_j=\mathrm{d}{x}_j-\mathrm{id}{y}_j.$$

设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是域, $f\in C^1(\Omega ,\mathbb{C})$. 可以定义下面两个微分算子 $\partial ,\bar{\partial }$:

$$\mathrm{d}f=\sum _{j=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\mathrm{d}{x}_j+\frac{\partial f}{\partial y_j}\mathrm{d}{y}_j\right)=\sum _{j=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial z_j}\mathrm{d}{z}_j+\frac{\partial f}{\partial {\bar{z}}_j}\mathrm{d}{\bar{z}}_j\right)=\partial f+\bar{\partial }f,$$

和式拆成两部分, 第一部分 $\partial f$ 是 $\mathbb{C}$-线性的部分, 而第二部分 $\bar{\partial }f$ 是反线性的部分.

定义 1.1.1 (全纯函数). 函数 $f\in C^1(\Omega )$ 被称为是全纯函数, 如果它是 Cauchy–Riemann 方程 $\bar{\partial }f=0$ 在 $\Omega$ 的解, 或者等价地: 在 $\Omega$ 中$$\frac{\partial f}{\partial {\bar{z}}_1}=\cdots =\frac{\partial f}{\partial {\bar{z}}_n}=0.$$用 $\mathcal{O}(\Omega )$ 表示 $\Omega$ 中所有全纯函数组成的集合.

如同在单复变中一样, 全纯函数可以求任意阶导数.

命题 1.1.2. $\mathcal{O}(\Omega )\subset C^{\infty }(\Omega )$. 另外, 对任意 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$ 和 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$: $$\frac{{\partial }^{\alpha }f}{\partial z^{\alpha }}={\left(\frac{\partial }{\partial z_1}\right)}^{{\alpha }_1}\cdots {\left(\frac{\partial }{\partial z_n}\right)}^{{\alpha }_n}f\in \mathcal{O}(\Omega ).$$

这里使用一种比较 “高级” 的证明.

证明. 显然只需要证明 $\mathcal{O}(\Omega )\subset C^{\infty }(\Omega )$. 根据定义, 对任意 $j$ 有 $\frac{\partial f}{\partial {\bar{z}}_j}=0$ 在 $\Omega$ 中成立, 从而$$4\Delta f=\sum _{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_j}=0,$$这是在广义函数空间 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 中考虑的. 根据 Weyl 引理, $f\in C^{\infty }(\Omega )$.

$\square$

现在我们把算子 $\partial ,\bar{\partial }$ 的定义推广到高阶的微分形式中去. 令 $k\in \mathbb{N}\cup \{\infty \}$ 和 $p,q\in \{0,\cdots ,n\}$, 定义$$C_{(p,q)}^k(\Omega )=\left\{f=\sum _{|I|=p,|J|=q}{f}_{I,J}\mathrm{d}{z}^I\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^J|f_{I,J}\in C^k(\Omega ,\mathbb{C})\right\}$$表示 $\Omega$ 中所有 $C^k$ 的 $(p,q)$-微分形式的集合. 对 $I=(i_1,\cdots ,i_p),J=(j_1,\cdots ,j_q)$, 约定$$\mathrm{d}{z}^I\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^J=\mathrm{d}{z}_{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{z}_{i_p}\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}_{j_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{\bar{z}}_{j_q}.$$

对 $f\in C_{(p,q)}^k(\Omega )$, 定义

$$\partial f=\sum _{|I|=p,|J|=q}\partial f_{I,J}\wedge \mathrm{d}{z}^I\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^J,\bar{\partial }f=\sum _{|I|=p,|J|=q}\bar{\partial }{f}_{I,J}\wedge \mathrm{d}{z}^I\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^J,$$

它们分别是 $(p+1,q)$-形式和 $(p,q+1)$-形式. 此时当然有

$$\mathrm{d}f=\sum _{|I|=p,|J|=q}\mathrm{d}{f}_{I,J}\wedge \mathrm{d}{z}^I\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^J=\partial f+\bar{\partial }f.$$

借助 Poincaré 引理, 我们有

$$0={\mathrm{d}}^2=(\partial +\bar{\partial }{)}^2={\partial }^2+(\partial \bar{\partial }+\bar{\partial }\partial )+{\bar{\partial }}^2,$$

结合它们的类型得到

$${\partial }^2=0,{\bar{\partial }}^2=0,\partial \bar{\partial }+\bar{\partial }\partial =0.$$

对于 $f\in C_{(p,q+1)}^k(\Omega )$, $\bar{\partial }$-方程 $\bar{\partial }u=f$ 没有解 $u\in C_{(p,q)}^k(\Omega )$, 除非 $\bar{\partial }f=0$, 也就是说 $f$ 是 $\bar{\partial }$-闭的.

注 1.1.3. 当 $n=1$ 时, $\bar{\partial }f=0$ 对任何 $(0,1)$-形式 $f$ 成立.

命题 1.1.4. $\partial ,\bar{\partial }$ 服从 Leibniz 法则, 也就是说对 $f\in C_{(p,q)}^1(\Omega )$ 和 $g\in C_{(s,t)}^1(\Omega )$ 有$$\begin{gathered} \partial (f\wedge g)=\partial f\wedge g+(-1{)}^{p+q}f\wedge \partial g, \\ \bar{\partial }(f\wedge g)=\bar{\partial }f\wedge g+(-1{)}^{p+q}f\wedge \bar{\partial }g. \end{gathered}$$

证明. 只需要考虑 $\mathrm{d}$ 的 Leibniz 法则和比较类型.

$\square$

全纯映射

定义 1.1.5 (全纯映射). 设 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{C}}^n,{\Omega }_2\subset {\mathbb{C}}^m$ 是域. 映射 $\phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2$ 被称为是全纯映射, 如果它的分量均是全纯函数. 全纯映射的集合可记为 $\mathcal{O}({\Omega }_1,{\Omega }_2)$.

命题 1.1.6. 设 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{C}}^n,{\Omega }_2\subset {\mathbb{C}}^m$ 是域, 令 $f\in C_{(p,q)}^1(\Omega ),\phi \in \mathcal{O}({\Omega }_1,{\Omega }_2)$. 则$$\partial ({\phi }^{\ast }f)={\phi }^{\ast }(\partial f),\bar{\partial }({\phi }^{\ast }f)={\phi }^{\ast }(\bar{\partial }f).$$

证明. 根据全纯性和性质 1.1.4, 可得 $\partial ({\phi }^{\ast }f),{\phi }^{\ast }(\partial f)$ 都是 $(p+1,q)$-形式; $\bar{\partial }({\phi }^{\ast }f),{\phi }^{\ast }(\bar{\partial }f)$ 都是 $(p,q+1)$-形式. 又$$\partial ({\phi }^{\ast }f)+\bar{\partial }({\phi }^{\ast }f)=\mathrm{d}({\phi }^{\ast }f)={\phi }^{\ast }(\mathrm{d}f)={\phi }^{\ast }(\partial f)+{\phi }^{\ast }(\bar{\partial }f),$$比较两边的类型就得到答案.

$\square$

需要注意的是, 这里 $\phi$ 必须有全纯性, 不能仅仅是光滑的, 否则类型会出问题.

接下来, 我们证明全纯映射的逆映射定理和隐映射定理. 为此我们先研究映射在复的空间中的 Jacobi 矩阵与在实的空间中的联系. 考虑如下映射 ${\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{R}}^{2n}$:$$(z_1,\cdots ,z_n)=(x_1+\mathrm{i}{y}_1,\cdots ,x_n+\mathrm{i}{y}_n)\mapsto (x_1,\cdots ,x_n,y_1,\cdots ,y_n).$$

命题 1.1.7. 如果 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是域, $f\in \mathcal{O}(\Omega ,{\mathbb{C}}^n)$, 则$$\det J_{\mathbb{R}}f=|\det J_{\mathbb{C}}f{|}^2.$$

证明. 令 $f=(f_1,\cdots ,f_n)$, 以及 $f_j=u_j+\mathrm{i}{v}_j$. 根据全纯性, 可以令$$\begin{gathered} A={\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_k}\right)}_{1\le j,k\le n}={\left(\frac{\partial v_j}{\partial y_k}\right)}_{1\le j,k\le n}, \\ B={\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_k}\right)}_{1\le j,k\le n}=-{\left(\frac{\partial u_j}{\partial y_k}\right)}_{1\le j,k\le n}. \end{gathered}$$则$$J_{\mathbb{R}}f=\left(\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right),J_{\mathbb{C}}f=A+\mathrm{i}B.$$问题转化为如下线性代数事实: $$\det \left(\begin{array}{cc}A& -B\\ B& A\end{array}\right)=|\det (A+\mathrm{i}B){|}^2.$$$\square$

如果 $n=1$, 则这个性质实际上就是单复变中的 $\det J_{\mathbb{R}}f(z)=|f^{\prime }(z){|}^2$.

定义 1.1.8 (双全纯映射). 设 ${\Omega }_1,{\Omega }_2\subset {\mathbb{C}}^n$ 是域. 如果 $f\in \mathcal{O}({\Omega }_1,{\Omega }_2)$, 满足 $f$ 是双射且 $f^{-1}\in \mathcal{O}({\Omega }_2,{\Omega }_1)$, 则称 $f$ 是双全纯的.

定理 1.1.9. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是域, $f:\Omega \to {\mathbb{C}}^n$ 是全纯的单射, 则 $f(\Omega )$ 也是域, 且 $f:\Omega \to f(\Omega )$ 是双全纯映射.

$n=1$ 的情形在单复变中已经证明, 但 $n>1$ 的情形有些棘手. 证明可以参考 Range 的书.

定理 1.1.10 (逆映射定理). 设 ${\Omega }_1,{\Omega }_2\subset {\mathbb{C}}^n$ 是域, $f\in \mathcal{O}({\Omega }_1,{\Omega }_2)$, 以及 $z_0\in {\Omega }_1$. 如果 $\det J_{\mathbb{C}}f(z_0)\ne 0$, 则存在 $z_0,f(z_0)$ 的邻域 $U,V$ 使得 $f:U\to V$ 是双全纯映射.

证明. 因为 $\det J_{\mathbb{R}}f(z_0)=|\det J_{\mathbb{C}}f(z_0){|}^2\ne 0$, 根据实情形的逆映射定理, 则存在 $z_0,f(z_0)$ 的邻域 $U,V$ 使得 $f{|}_U:U\to V$ 是双射, 且 $g=(f{|}_U{)}^{-1}:V\to U$ 是 $C^1$ 的. 我们需要进一步验证它是全纯的. 对 $f\circ g={\mathrm{Id}}_V$ 求导: $$0=\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_k}(f\circ g)=\sum _{j=1}^n\left(\left(\frac{\partial f}{\partial w_j}\circ g\right)\frac{\partial g}{\partial {\bar{z}}_k}+\left(\frac{\partial f}{\partial {\bar{w}}_j}\circ g\right)\frac{\partial \bar{g}}{\partial {\bar{z}}_k}\right)=\sum _{j=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial w_j}\circ g\right)\frac{\partial g}{\partial {\bar{z}}_k},$$对 $k=1,\cdots ,n$ 在 $V$ 成立. 因为 $\det \left(\frac{\partial f_i}{\partial w_j}\right)\ne 0$ 在 $U$ 成立, 故$$\frac{\partial g_j}{\partial {\bar{z}}_k}=0,j,k=1,\cdots ,n,$$也就是 $g\in \mathcal{O}(V,U)$.

$\square$

定理 1.1.11 (隐映射定理). 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n\times {\mathbb{C}}^m$ 是域, $f=(f_1,\cdots ,f_m)\in \mathcal{O}(\Omega ,{\mathbb{C}}^m)$. 假设存在 $(z_0,w_0)\in \Omega$ 使得$$f(z_0,w_0)=0,\det {\left(\frac{\partial f_j}{\partial w_k}(z_0,w_0)\right)}_{1\le j,k\le m}\ne 0,$$则存在 $z_0,w_0$ 的邻域 $U,V$ 以及 $g\in \mathcal{O}(U,V)$, 使得 $U\times V\subset \Omega$, 且$$\{(z,w)\in U\times V\mid f(z,w)=0\}=\{(z,g(z))\mid z\in U\}.$$

证明. 令 $J_{\mathbb{C}}f(z_0,w_0)=\left(\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right)$, 其中 $A\in {\mathbb{C}}^{m\times n},B\in {\mathbb{C}}^{m\times m}$. 定义 $F:\Omega \to {\mathbb{C}}^n\times {\mathbb{C}}^m$ 为: $$F(z,w)=(z,f(z,w)),$$则$$\det J_{\mathbb{C}}F(z_0,w_0)=\det \left(\begin{array}{cc}{I}_n& 0\\ A& B\end{array}\right)\ne 0.$$根据逆映射定理 (1.1.10), 存在 $z_0,w_0,(z_0,0)$ 的邻域 $U_0,V_0,W_0$, 使得 $U_0\times V_0\subset \Omega$, 且 $F:U_0\times V_0\to W_0$ 是双全纯的.

显然, $(F{|}_{U_0\times V_0}{)}^{-1}(\xi ,\eta )=(\xi ,h(\xi ,\eta ))$ 对某个 $h\in \mathcal{O}(W_0,V_0)$ 成立. 令$$U=\{z\in {\mathbb{C}}^n\mid (z,0)\in W_0\}\cap U_0,V=V_0,$$定义 $g:U\to V$ 为 $g(z)=h(z,0)$, 则 $g\in \mathcal{O}(U,V)$, 且$$\begin{array}{rl}\{(z,w)\in U\times V\mid f(z,w)=0\}& =\{(z,w)\in U\times V\mid F(z,w)=(z,0)\}\\ & =\{(z,w)\in U\times V\mid (z,w)=F^{-1}(z,0)\}\\ & =\{(z,w)\in U\times V\mid (z,w)=(z,g(z))\}\\ & =\{(z,g(z))\mid z\in U\}.\end{array}$$$\square$