3.2. Morrey–Kohn–Hörmander 公式与 Hörmander 稠密性引理

基本概念与 Hörmander 稠密性引理

加权 $L^2$ 空间与 $\bar{\partial }$ 算子的 $L^2$ 估计

设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域, $\phi :\Omega \to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ 是在 $\Omega$ 上局部有界的可测函数.

定义 3.2.1 (加权 $L^2$ 空间).

1.	定义$$L^2(\Omega ,\phi )=\left\{f:\Omega \to \mathbb{C}|{\int }_{\Omega }|f{|}^2{\mathrm{e}}^{-\phi }\mathrm{d}\lambda <\infty \right\}$$为以 $\phi$ 为权函数的加权 ${\mathbf{L}}^2$ 空间.
2.	考虑如下的 $(p,q)$-形式: $$f=\underset{|I|=p,|J|=q}{{\sum }^{\prime }}{f}_{I,J}\mathrm{d}{z}^I\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^J,$$其中 ${\sum }^{\prime }$ 表示对严格递增的多重指标求和, 而系数 $f_{I,J}\in L^2(\Omega ,\phi )$, 它们关于指标 $I,J$ 是反对称的. 这样的 $(p,q)$-形式组成的集合记为 $L_{(p,q)}^2(\Omega ,\phi )$, 也称为以 $\phi$ 为权函数的 加权 ${\mathbf{L}}^2$ 空间.

对任意 $f,g\in L_{(p,q)}^2(\Omega )$, 可以定义其内积:$$⟨f,g⟩=\underset{|I|=p,|J|=q}{{\sum }^{\prime }}{f}_{I,J}{\bar{g}}_{I,J},|f{|}^2=⟨f,f⟩=\underset{|I|=p,|J|=q}{{\sum }^{\prime }}|f_{I,J}{|}^2,$$以及$$⟨⟨f,g⟩{⟩}_{\phi }={\int }_{\Omega }⟨f,g⟩{\mathrm{e}}^{-\phi }\mathrm{d}\lambda ,\Vert f{\Vert }^2=⟨⟨f,f⟩⟩.$$($L_{(p,q)}^2(\Omega )$ 的内积是后一个) 于是 $L_{(p,q)}^2(\Omega )$ 是 Hilbert 空间. 类似可以定义不带权函数的 $L_{(p,q)}^2(\Omega )$ 和 $L_{(p,q)}^2(\Omega ,\mathrm{loc})$.

现在设 $q\ge 1,\phi \in L_{\mathrm{loc}}^{\infty }(\Omega ,\mathbb{R})$. $\bar{\partial }$ 算子实际上定义了一个稠密定义的闭线性算子: $${\bar{\partial }}_{(p,q-1)}:L_{(p,q-1)}^2(\Omega ,\phi )⟶L_{(p,q)}^2(\Omega ,\phi ),f\mapsto \bar{\partial }f,$$其中$$\mathrm{Dom}{\bar{\partial }}_{(p,q-1)}=\{f\in L_{(p,q-1)}^2(\Omega ,\phi )\mid \bar{\partial }f\in L_{(p,q)}^2(\Omega ,\phi )\}.$$${\bar{\partial }}_{(p,q-1)}$ 是闭算子是因为微分算子都是连续的; 而它是稠密定义的则是因为 $C_{0,(p,q-1)}^{\infty }(\Omega )\subset \mathrm{Dom}{\bar{\partial }}_{(p,q-1)}$.

因为 ${\bar{\partial }}^2=0$, 所以 ${\bar{\partial }}_{(p,q)}\circ {\bar{\partial }}_{(p,q-1)}=0$, 也就是说 $\mathrm{Im}{\bar{\partial }}_{(p,q-1)}\subset \ker {\bar{\partial }}_{(p,q)}$. 因为 ${\bar{\partial }}_{(p,q)}$ 是闭算子, 所以$$\ker {\bar{\partial }}_{(p,q)}\stackrel{\mathrm{闭}}{\subset }{L}_{(p,q)}^2(\Omega ,\phi ).$$在定理 3.1.3 中令$$H_1=L_{(p,q-1)}^2(\Omega ,\phi ),H_2=L_{(p,q)}^2(\Omega ,\phi ),F=\ker {\bar{\partial }}_{(p,q)},$$可以得到如下重要断言:

断言. 为了得到 $\mathrm{Im}{\bar{\partial }}_{(p,q-1)}=\ker {\bar{\partial }}_{(p,q)}$(从代数角度这被称为正合列), 只需证明存在 $C>0$ 使得$$\Vert {\bar{\partial }}_{(p,q-1)}^{\ast }f{\Vert }_{\phi }^2+\Vert {\bar{\partial }}_{(p,q)}f{\Vert }_{\phi }^2\ge C\Vert f{\Vert }_{\phi }^2,\forall f\in \mathrm{Dom}{\bar{\partial }}_{(p,q-1)}^{\ast }\cap \mathrm{Dom}{\bar{\partial }}_{(p,q)}.\text{\hspace{1em}(*)}$$$(\ast )$ 式也就是所谓的 $L^2$ 估计.

为了得到 $L^2$ 估计, 首先需要计算出一个关于 ${\bar{\partial }}_{(p,q-1)}^{\ast }$ 的显式表达式.

命题 3.2.2. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域, $\phi \in C^1(\Omega ,\mathbb{R})$. 则

1.

对任意 $f=\underset{|I|=p,|J|=q}{{\sum }^{\prime }}{f}_{I,J}\mathrm{d}{z}^I\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^J\in \mathrm{Dom}{\bar{\partial }}_{(p,q-1)}^{\ast }$, 有$${\bar{\partial }}_{(p,q-1)}^{\ast }f=(-1{)}^{p-1}\underset{|I|=p,|K|=q-1}{{\sum }^{\prime }}{\mathrm{e}}^{\phi }\sum _{j=1}^n\frac{\partial }{\partial z_j}\left({\mathrm{e}}^{-\phi }{f}_{I,jK}\right)\mathrm{d}{z}^I\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^K.$$

2.

如果 $\Omega$ 有界且具有 $C^1$ 边界, 则 $f=\underset{|I|=p,|J|=q}{{\sum }^{\prime }}{f}_{I,J}\mathrm{d}{z}^I\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^J\in C_{(p,q)}^1(\Omega )$ 属于 $\mathrm{Dom}{\bar{\partial }}_{(p,q-1)}^{\ast }$ 当且仅当$$\sum _{j=1}^n{f}_{I,jK}\frac{\partial \rho }{\partial z_j}=0\mathrm{on}\partial \Omega$$对任意 $|I|=p,|K|=q-1$ 成立, 其中 $\rho :{\mathbb{C}}^n\to \mathbb{R}$ 是 $\Omega$ 的 $C^1$ 定义函数.

Hörmander 稠密性引理

Morrey–Kohn–Hörmander 公式