3.1. 泛函分析基本事实

Hilbert 空间上的伴随算子
线性算子的像集

Hilbert 空间上的伴随算子

设 $H_{1}, H_{2}$ 是两个复 Hilbert 空间, 它们分别具有内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{1}$ 和 $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{2}$ . 考虑从 $H_{1}$ 的一个子空间 $Dom T \subset H_{1}$ 映射到 $H_{2}$ 上的一个线性算子 $T$ ( $Dom T$ 称为 $T$ 的定义域). 线性算子 $T$ 被称为是稠密定义的, 如果 $Dom T$ 在 $H_{1}$ 中稠密; $T$ 被称为是闭算子, 如果它的图像 $G (T) := {(x, T x) ∣ x \in Dom T}$ 是 $H_{1} \times H_{2}$ (赋予通常的内积) 中的闭集. (这等价于对任意 ${x_{n}} \subset Dom T$ , 如果 $x_{n} \to x, T x_{n} \to y$ , 则 $x \in Dom T$ , 且 $y = T x$ .)

现在假设 $T : Dom T \to H_{2}$ 是稠密定义的线性算子. 可以按照如下步骤定义 $T$ 的伴随算子 $T^{*}$ : 首先定义 $T^{*}$ 的定义域 $Dom T^{*} := {y \in H_{2} ∣ \exists C_{y} > 0, ∣ ⟨ T x, y ⟩_{2} ∣ \leq C_{y} ∥ x ∥_{1}, \forall x \in Dom T} .$ 根据 $Dom T$ 在 $H_{1}$ 中的稠密性, 以及 Riesz 表示定理, 对任意 $y \in Dom T^{*}$ , 都存在唯一的 $z \in H_{1}$ , 使得 $⟨ x, z ⟩_{1} = ⟨ T x, y ⟩_{2}, \forall x \in Dom T,$ 令 $T^{*} y = z$ , 则 $⟨ x, T^{*} y ⟩_{1} = ⟨ T x, y ⟩_{2}$ . 显然, $Dom T^{*}$ 是 $H_{2}$ 的线性子空间, 且 $T^{*}$ 是线性算子.

引理 3.1.1. 设 $T : H_{1} \supset Dom T \to H_{2}$ 是稠密定义的闭线性算子. 定义映射 $J : H_{1} \times H_{2} \to H_{2} \times H_{1}, (x, y) \mapsto (- y, x),$ 则 $G (T^{*}) = (J G (T))^{⊥} .$ 特别地, $T^{*}$ 是闭算子.

证明. 这是因为

(y, x) \in (J G (T))^{⊥} \Leftrightarrow ⟨(y, x), (- T u, u)⟩_{H_{2} \times H_{1}} = 0, \forall u \in Dom T \Leftrightarrow ⟨ x, u ⟩_{1} = ⟨ y, T u ⟩_{2}, \forall u \in Dom T \Leftrightarrow y \in Dom T^{*}, x = T^{*} y \Leftrightarrow (y, x) \in G (T^{*})

结论得证.

$□$

命题 3.1.2. 设 $T : H_{1} \supset Dom T \to H_{2}$ 是稠密定义的闭线性算子. 则 $T^{*}$ 也是稠密定义的闭线性算子, 且 $T^{**} = T$ . 进一步还有 $ker T^{*} = (Im T)^{⊥}, (ker T)^{⊥} = \overline{Im T^{*}} .$

证明. 根据 3.1.1, $T^{*}$ 是闭算子. 3.1.1 还表明 $H_{2} \times H_{1} = G (T^{*}) \oplus (G (T^{*}))^{⊥} = G (T^{*}) \oplus J G (T) .$ 于是, 对任意 $(u, v) \in H_{1} \times H_{2}$ , 存在 $x \in Dom T, y \in Dom T^{*}$ 使得 $(v, u) = (y, T^{*} y) + (- T x, x),$ 令 $u = 0$ 得 $x = - T^{*} y$ , 且 $v = y - T x = y + T T^{*} y$ . 从而 $⟨ v, y ⟩_{2} = ∥ y ∥_{2}^{2} + ⟨ T T^{*} y, y ⟩_{2} = ∥ y ∥_{2}^{2} + ∥ T^{*} y ∥_{1}^{2} .$ 如果 $v \in (Dom T^{*})^{⊥}$ , 那么上述结论表示 $y = 0$ , 从而 $v = 0$ . 故 $(Dom T^{*})^{⊥} = {0}$ , 这足以说明 $Dom T^{*}$ 在 $H_{2}$ 中稠密.

接下来说明 $T^{**} = T$ . 注意到根据 3.1.1 可推出 $G (T^{*}) = (J G (T))^{⊥} = J (G (T)^{⊥}) \Rightarrow G (T)^{⊥} = J^{- 1} G (T^{*}),$ 所以 $G (T^{**}) 引理 3.1.1 (J^{- 1} G (T^{*}))^{⊥} = (G (T)^{⊥})^{⊥} = G (T),$ 即得 $T^{**} = T$ .

最后证明两个等式. 对任意

x \in Dom T, y \in ker T^{*}

, 有

⟨ T x, y ⟩_{2} = ⟨ x, T^{*} y ⟩_{1} = 0,

于是

ker T^{*} \subset (Im T)^{⊥}

. 另一方面, 对任意

y \in (Im T)^{⊥}

,

⟨ T x, y ⟩_{2} = 0 \leq ∥ x ∥_{1}, x \in Dom T,

根据

Dom T^{*}

的定义,

y \in Dom T^{*}

. 进一步,

⟨ x, T^{*} y ⟩_{1} = ⟨ x, T y ⟩_{2} = 0

对任意

x \in Dom T

成立. 因为

Dom T

在

H_{1}

中稠密, 所以也对任意

x \in H_{1}

成立. 这表明

T^{*} y = 0

, 即

y \in ker T^{*}

. 故

(Im T)^{⊥} \subset ker T^{*}

, 与前结合就证明了第一个等式. 对于第二个, 我们有

ker T = ker T^{**} = (Im T^{*})^{⊥},

两边取正交补就得到第二个等式.(这里有闭包是因为

T, T^{*}

并非定义在全空间上, 这些集合不必是闭的.)

$□$

线性算子的像集

本节的主要结果是下面的定理.

定理 3.1.3. 设 $T : H_{1} \supset Dom T \to H_{2}$ 是稠密定义的闭线性算子, 而 $F$ 是 $H_{2}$ 的包含 $Im T$ 的闭线性子空间. 则 $F = Im T$ 当且仅当存在常数 $C > 0$ 使得 $∥ T^{*} y ∥_{1} \geq C ∥ y ∥_{2}, \forall y \in F \cap Dom T^{*} .$ 在此情形下, 对任意 $v \in F$ , 存在 $u \in Dom T$ 使得 $T u = v$ , 且 $∥ u ∥_{1} \leq \frac{1}{C} ∥ v ∥_{2} .$

注 3.1.4. 如果 $F = H_{2}$ , 则可以得到: 算子 $T$ 是满射当且仅当它的伴随算子是单射.

证明. 充分性: 因为 $F$ 在 $H_{2}$ 中是闭的, 有 $H_{2} = F \oplus F^{⊥}$ . 于是对任意 $y \in Dom T^{*}$ , 有 $y = y_{1} + y_{2},$ 其中 $y_{1} \in F, y_{2} \in F^{⊥} \subset (Im T)^{⊥} = ker T^{*}$ (用到 3.1.2). 因为 $y_{2} \in Dom T^{*}$ , 所以 $y_{1} = y - y_{2} \in Dom T^{*}$ . 这表明 $y_{1} \in F \cap Dom T^{*}$ . 对任意 $v \in F$ , 有 $⟨ y, v ⟩_{2} = ⟨ y_{1}, v ⟩_{2},$ 结合条件和 Cauchy–Schwarz 不等式得 $∣ ⟨ y, v ⟩_{2} ∣ \leq ∥ y_{1} ∥_{2} ∥ v ∥_{2} \leq \frac{1}{C} ∥ T^{*} y_{1} ∥_{1} ∥ v ∥_{2} = \frac{1}{C} ∥ T^{*} y ∥_{1} ∥ v ∥_{2},$ 其中用到 $y_{2} \in ker T^{*}$ . 也就是说, 线性泛函 $T^{*} y \mapsto ⟨ y, v ⟩_{2}$ 在 $Im T^{*} \subset H_{1}$ 上良好定义且连续, 其范数不大于 $C^{- 1} ∥ v ∥_{2}$ . 根据 Hahn–Banach 定理, 这个线性泛函可以延拓到整个 $H_{1}$ 上, 且范数仍保持不大于 $C^{- 1} ∥ v ∥_{2}$ . 接下来根据 Riesz 表示定理, 存在 $u \in H_{1}$ , 满足 $∥ u ∥_{1} \leq C^{- 1} ∥ v ∥_{2}$ , 且 $⟨ y, v ⟩_{2} = ⟨ T^{*} y, u ⟩_{1}, \forall y \in Dom T^{*} .$ 这表明 $u \in Dom T^{**} = Dom T$ , 从而 $v = T^{**} u = T u \in Im T$ .

必要性: 如果 $F = Im T$ , 那么对任意 $v \in F$ , 存在 $u \in Dom T$ 使得 $v = T u$ , 且 $∣ ⟨ v, y ⟩_{2} ∣ = ∣ ⟨ u, T^{*} y ⟩_{1} ∣ \leq ∥ u ∥_{1} ∥ T^{*} y ∥_{1}, \forall y \in Dom T^{*} .$ 又因为 $F = \overline{Im T} = (ker T^{*})^{⊥}$ (因为 $F$ 是闭的, 用到 3.1.2), 可得 $∣ ∣ ⟨ v, \frac{y}{∥ T ^{*} y ∥ _{1}} ⟩_{2} ∣ ∣ \leq ∥ u ∥_{1}, \forall y \in (F \cap Dom T^{*}) \ {0} .$ 因为 $(F, ∥ \cdot ∥_{2} ∣_{F})$ 是 Banach 空间, 所以上述结论结合共鸣定理可得: 存在 $C > 0$ , 使得 $∥ T^{*} y ∥_{1} \geq C ∥ y ∥_{2}, \forall y \in F \cap Dom T^{*} .$ $□$

推论 3.1.5. 设 $T : H_{1} \supset Dom T \to H_{2}$ 是稠密定义的闭线性算子, 则 $Im T$ 是闭的当且仅当 $Im T^{*}$ 是闭的.

证明. 根据 3.1.2, 只要证明必要性. 在定理 3.1.3 中令

F = Im T

, 于是

∥ y ∥_{2} \leq \frac{1}{C} ∥ T^{*} y ∥_{1}, \forall y \in Dom T^{*} \cap Im T .

任取

{T^{*} y_{n}} \subset Im T^{*}

, 其中

{y_{n}} \subset Dom T^{*}

. 因为

Im T = (ker T^{*})^{⊥}

, 所以可以不妨设

{y_{n}} \subset Dom T^{*} \cap Im T

. 根据上面的不等式, 如果

{T^{*} y_{n}}

收敛, 那么

{y_{n}}

也收敛. 不妨设

y_{n} \to y

, 则根据

T^{*}

是闭算子, 得到

y \in Dom T^{*}

, 且

T^{*} y_{n} \to T^{*} y \in Im T^{*}

, 从而证明了

Im T^{*}

是闭的.

$□$

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