1.2. 域扩张

定义 1.2.1. $L$ 是域, $K\subset L$. 如果 $K$ 在 $L$ 的加法和乘法下封闭 (即对任意的 $a,b\in K$, 有 $a+b\in K$ 和 $a\cdot b\in K$) 并且 $K$ 对加法逆和乘法逆也封闭 (即对任意的 $a,b\in K$ 和 $b\ne 0$, 有 $-a\in K$ 和 $b^{-1}\in K$) , 就称 $K$ 为 $L$ 的子域. 此时, 我们还称 $L$ 是 $K$ 的扩张并记作 $L$.

如果 $K\subset K^{\prime }\subset L$ 均为 $L$ 的子域 (此时 $K$ 显然为 $K^{\prime }$ 的子域) , 称 $K^{\prime }$ 为扩张 $L$ 的中间域. 我们通常用如下类型的交换图表示:

练习 1.2.2. 证明, 在 $L$ 的加法和乘法下, $K$ 是域. 如果不加说明, 我们总默认在 $K$ 上的乘法与加法均为 $L$ 中的乘法与加法.

注记 1.2.3 (由子集生成的域). 给定域扩张 $L$, $\{K_i^{\prime }{\}}_{i\in I}$ 是一族中间域, 那么 $\bigcap _{i\in I}{K}_i^{\prime }$ 也是 $L$ 的中间域.

根据这个性质, 给定域扩张 $L$ 和 $L$ 的子集 $M$, 我们用 $K(M)$ 表示所有包含 $M$ 的中间域的交. 这是包含 $M$ 的最小的 ¹子域, 我们把它称作是由 $\mathbf{M}$ 所生成的子域. 如果 $M$ 是有限集 $\{m_1,\cdots ,m_k\}$, 我们也把 $K(M)$ 记成 $K(m_1,\cdots ,m_k)$. 如果 $L=K(M)$ 并且 $M$ 是有限集, 那么域扩张 $L$ 被称作是有限型的或有限生成的.

给定域 $K$, 我们用 $K[X_1,X_2,\cdots ,X_n]$ 表示 $K$ 上的所有 $n$-元 ($n$-个变量的多项式) . 对于 $P\in K[X_1,\cdots ,X_n]$, 它形如$$P(X_1,\cdots ,X_n)=\sum _{\text{有限个}\alpha }{a}_{\alpha }\cdot X_1^{{\alpha }_1}{X}_2^{{\alpha }_2}\cdots X_n^{{\alpha }_n}=\sum _{\text{有限个}\alpha }{a}_{\alpha }\cdot X^{\alpha },$$其中, $a_{\alpha }\in K$, $\alpha =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ 是一个多重指标, ${\alpha }_i\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$ 并且 $X^{\alpha }=X_1^{{\alpha }_1}{X}_2^{{\alpha }_2}\cdots X_n^{{\alpha }_n}$.

我们强调多项式与多项式函数是不同的代数对象, 尽管多项式可以被视作是函数 (映射) : 给定域扩张 $L$ 和 $P\in K[X_1,\cdots ,X_n]$, 定义$$P:L^n\to L,(x_1,\cdots ,x_n)\mapsto P(x_1,\cdots ,x_n):=\sum _{\text{有限个}\alpha }{a}_{\alpha }\cdot x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_n^{{\alpha }_n}.$$

命题 1.2.4. 给定域扩张 $L$, $M\subset L$ 是子集. 那么, $K(M)$ 恰为 $L$ 中形如 $\frac{P(x_1,\cdots ,x_n)}{Q(x_1,\cdots ,x_n)}$ 的元素, 其中, $n⩾0$, $P,Q\in K[X_1,\cdots ,X_n]$ 是 $K$-系数的 $n$ 元多项式, $x_1,\cdots ,x_n\in M$ 并且 $Q(x_1,\cdots ,x_n)\ne 0$.

证明. 定义 $L$ 的子集$$K^{\prime }=\left\{\frac{P(x_1,\cdots ,x_n)}{Q(x_1,\cdots ,x_n)}|P,Q\in K[X_1,\cdots ,X_n],x_1,\cdots ,x_n\in M\text{并且}Q(x_1,\cdots ,x_n)\ne 0\right\}.$$首先证明 $K^{\prime }\subset K(M)$. 由于 $x_1,\cdots ,x_n\in M\subset K(M)$ 并且在加减和乘法下 $K(M)$ 是封闭的, 所以, 对任意的 $P,Q\in K[X_1,\cdots ,X_n]$, $P(x_1,\cdots ,x_n),Q(x_1,\cdots ,x_n)\in K(M)$. $K(M)$ 在除法下封闭表明 $\frac{P(x_1,\cdots ,x_n)}{Q(x_1,\cdots ,x_n)}\in K(M)$. 从而, $K^{\prime }\subset K(M)$.

由于 $K(M)$ 是包含 $M$ 的最小的中间域, 只要证明 $K^{\prime }$ 是域即可. 这是显然的, 因为形如 $\frac{P(x_1,\cdots ,x_n)}{Q(x_1,\cdots ,x_n)}$ 的元素在四则运算下仍然可以表达成这种形式.

$\square$

注记 1.2.5 (有限性). 对任意的 $M\subset L$, 我们有$$K(M)=\bigcup _{\genfrac{}{}{0ex}{}{F\subset M}{F\text{是有限集}}}K(F).$$实际上, $K(M)$ 中的每个元素都形如 $\frac{P(x_1,\cdots ,x_n)}{Q(x_1,\cdots ,x_n)}$, 它被包含由 $M$ 中的一个有限集 $F=\{x_1,\cdots ,x_n\}$ 所生成的子域中.

类似的, 对任意 $L$ 中的子集 $M$ 和 $N$, 我们有$$K(M\cup N)=K(M)(N)=K(N)(M).$$

注记 1.2.6 (线性空间结构). 给定域扩张 $L$, $L$ 上的加法和以及 $K$ 中元素与 $L$ 种元素的乘法, 给出了 $L$ 的 $K$-线性空间结构.

实际上, 对任意的 $a,b,c\in K$ 和 $x,y,z\in L$, 有$$a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y,a\cdot (b\cdot x)=(ab)\cdot x,(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot y.$$这验证了 $L$ 作为 $K$-线性空间的基本公理.

如果 ${\dim }_{K}L<\infty$, 就称 $L$ 是 $K$ 的有限扩张. 我们称 ${\dim }_{K}L$ 为扩张 $L$ 的次数并记作 $[L:K]$.

作为 $K$-线性空间的一组基 $\{e_i{\}}_{i\in I}\subset L$ 被称作是 $L$ 的一组基.

例子 1.2.7. $\mathbb{C}$ 是域扩张, $\mathbb{R}$ 是一个中间域.

$\mathbb{C}$ 是有限扩张并且 $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$. 实际上, 我们可以选取 $\{1,\sqrt{-1}\}$ 作为该扩张的基.

$\mathbb{R}$ 是不是有限扩张, 最简单的证明是观察到 $\mathbb{R}$ 是不可数集即可.

例子 1.2.8. 选定整数 $D$, $D$ 不是完全平方数, 此时 $\sqrt{D}$ 不是有理数. 考虑所有的形如 $x+y\sqrt{D}$ 的数: $$\mathbb{Q}(\sqrt{D})=\{x+y\sqrt{D}|x,y\in \mathbb{Q}\}.$$由于 $\sqrt{D}\notin \mathbb{Q}$, 所以, $\mathbb{Q}⊊\mathbb{Q}(\sqrt{D})\subset \mathbb{R}$.

练习 1.2.9. 对于 $x+y\sqrt{D},a+b\sqrt{D}\in \mathbb{Q}(\sqrt{D})$, 证明, $x+y\sqrt{D}=a+b\sqrt{D}$ 等价于 $x=a,y=b$.

我们验证 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 在 ($\mathbb{C}$ 的) 四则运算下封闭:

•	$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 对加减法封闭. 对 $x+y\sqrt{D},a+b\sqrt{D}\in \mathbb{Q}(\sqrt{D})$, 我们有$$(x+y\sqrt{D})\pm (a+b\sqrt{D})=(x\pm a)+(y\pm b)\sqrt{D}\in \mathbb{Q}(\sqrt{D}).$$
•	$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 对乘法封闭. 对 $x+y\sqrt{D},a+b\sqrt{D}\in \mathbb{Q}(\sqrt{D})$, 我们有$$\begin{array}{rl}(x+y\sqrt{D})\cdot (a+b\sqrt{D})& =xa+yb(\sqrt{D}{)}^2+(xb+ya)\sqrt{D}\\ & =xa+ybD+(xb+ya)\sqrt{D}\in \mathbb{Q}(\sqrt{D}).\end{array}$$
•	$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 对除法封闭. 利用乘法封闭性, 只要说明若 $a+b\sqrt{D}\in \mathbb{Q}(\sqrt{D})$, 则 $\frac{1}{a+b\sqrt{D}}\in \mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 即可: $$\begin{array}{rl}\frac{1}{a+b\sqrt{D}}& =\frac{a-b\sqrt{D}}{(a+b\sqrt{D})(a-b\sqrt{D})}=\frac{a-b\sqrt{D}}{a^2-b^{2}D}\\ & =\frac{a}{a^2-b^{2}D}-\frac{b}{a^2-b^{2}D}\sqrt{D}\end{array}$$注意到 $\frac{a}{a^2-b^{2}D}$ 和 $-\frac{b}{a^2-b^{2}D}$ 是有理数, 从而 $\frac{1}{a+b\sqrt{D}}\in \mathbb{Q}(\sqrt{D})$.

以上证明了 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 是 $\mathbb{C}$ 的子域. 实际上, $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 的次数为 $2$, 其中, $\{1,\sqrt{D}\}$ 是一组基.

命题 1.2.10. 给定域扩张 $L$ 和 $E$, $E$ 是有限扩张当且仅当 $E$ 和 $L$ 均为有限扩张. 在此前提下, 我们还有公式$$[E:K]=[E:L][L:K].$$

证明. 如果 $E$ 是有限扩张, 由于 $L$ 是 $E$ 的 $K$-线性子空间, 所以 $L$ 是有限扩张; 而对于 $E$ (作为 $K$-线性空间) 的一组基 $\{v_i{\}}_{1⩽i⩽m}$, 由于 $K\subset L$, 它们的 $L$-线性组合显然张成 $E$, 从而, $E$ 也是有限维的 $L$-线性空间.

现在假设 $E$ 和 $L$ 是有限维的, 选取 $\{v_i{\}}_{1⩽i⩽m}$ 是 $E$ 的基, $\{w_i{\}}_{1⩽j⩽n}$ 是 $L$ 的基. 我们只要证明 $\{v_i\cdot w_j{\}}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{1⩽i⩽m}{1⩽j⩽n}}$ 是 $E$ 的基即可, 其中, $v_i\cdot w_j$ 是在 $E$ 中相乘:

•

$\{v_i\cdot w_j{\}}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{1⩽i⩽m}{1⩽j⩽n}}$ 是 $K$-线性无关的: 如果 $\{{\lambda }_{i,j}{\}}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{1⩽i⩽m}{1⩽j⩽n}}\subset K$, 使得 $\sum _{i,j}{\lambda }_{i,j}{v}_i\cdot w_j=0$, 通过调整求和顺序, 我们有$$\sum _i\left(\sum _j{\lambda }_{i,j}{w}_j\right)v_i=0.$$以上括号中的系数 ${\sum }_j{\lambda }_{i,j}{w}_j\in L$, 根据 $\{v_i{\}}_{1⩽i⩽m}$ 是 $E$ 的基, 对任意的 $i$, 我们都有$$\sum _j{\lambda }_{i,j}{w}_j=0.$$再利用 $\{w_i{\}}_{1⩽j⩽n}$ 是 $L$ 的基, 从而对任意的 $i,j$, 都有 ${\lambda }_{i,j}=0$. 这证明了线性无关性.

•

$\{v_i\cdot w_j{\}}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{1⩽i⩽m}{1⩽j⩽n}}$ 张成 $E$: 实际上, 对任意的 $x\in E$, 存在 $\{x_i{\}}_{1⩽i⩽m}\subset L$, 使得 $\sum _i{x}_i{v}_i=x$; 对每个 $i$, 存在 $\{{\lambda }_{i,j}{\}}_{1⩽j⩽n}\in K$, 使得 $\sum _j{\lambda }_{i,j}{w}_j=x_i$. 从而, $$x=\sum _i\left(\sum _j{\lambda }_{i,j}{w}_j\right)v_i=\sum _{i,j}{\lambda }_{i,j}{v}_i\cdot w_j.$$这表明 $\{v_i\cdot w_j{\}}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{1⩽i⩽m}{1⩽j⩽n}}$ 张成了 $E$.

另外, 以上推导自然给出了 $[E:K]=[E:L][L:K]$. 证毕.

$\square$

1.

^ 在包含关系下