5. 域的扩张

除了常见的域 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 或者 ${\mathbb{F}}_p$, 在后面的章节中我们还会研究函数域. 给定域 $K$, $K[X]$ 是 $K$ 上的多项式环, 我们定义$$K(X)=\mathrm{Frac}(K[X])=\left\{\frac{P(X)}{Q(X)}|P,Q\in K[X],Q\ne 0\right\}.$$按照定义, $\frac{P_1}{Q_1}=\frac{P_2}{Q_2}$, 其中, $P_1{Q}_2=P_2{Q}_1$. 我们把 $K(X)$ 称作是 $K$ 上的 (一元) 函数域.

首先引入域的特征的概念. 对任意域 $K$, 有自然的环同态$$\iota :\mathbb{Z}\to K,$$其中, $\iota (n)=n\cdot 1_K$, 这里 $1_K$ 为 $K$ 的单位元. 若 $\iota$ 为单射, 则称 $K$ 的特征为零并记作 $\mathrm{Char}(K)=0$; 否则, 存在唯一的素数 $p$, 使得 $\mathrm{Ker}(\iota )=p\mathbb{Z}$, 即 $p\cdot 1_K=0$, 此时称 $K$ 的特征为 $\mathbf{p}$ 并记作 $\mathrm{Char}(K)=p$. 很明显, $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 是特征为零的域而 $\mathbb{Z}$ 的特征为 $p$.

•	如果 $\mathrm{Char}(K)=0$, 环同态 $\iota :\mathbb{Z}\to K$ 可以延拓到 $\mathbb{Q}$ 上, 即 $\iota \left(\frac{m}{n}\right)=\frac{\iota (m)}{\iota (n)}$, 其中, $m,n\in \mathbb{Z}$, 即有自然的域同态: $$\mathbb{Q}⟶K.$$ 所以, $K$ 总 (以唯一的方式) 包含 $\mathbb{Q}$ 作为其子域.
•	如果 $\mathrm{Char}(K)=p$, 环同态 $\iota :\mathbb{Z}\to K$ 给出了域同态$$\overline{\iota }:{\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}\to K,$$此时 $K$ 总 (以唯一的方式) 包含 ${\mathbb{F}}_p$ 作为其子域.

我们称 $\mathbb{Q}$ 和 ${\mathbb{F}}_p$ 分别为以上两种情形下 $K$ 的本原域. 本原域在域扩张下不变:

引理 5.1. 给定域扩张 $L$, 则 $\mathrm{Char}(K)=\mathrm{Char}(L)$.

证明. 考虑环同态的交换图表: 因为域扩张映射 $K\to L$ 是单射, 所以 $\mathrm{Ker}(\iota )=\mathrm{Ker}({\iota }^{\prime })$. 命题得证.

$\square$

例子 5.2. 域 $K$ 的特征为 $p$, 所谓的 Frobenius 映射定义如下: $$\mathrm{Frob}:K⟶K,x\mapsto x^p.$$那么, $\mathrm{Frob}$ 是域同态.

实际上, 对任意的 $x,y\in K$, 我们有$$\begin{array}{r}\mathrm{Frob}(x+y)=(x+y{)}^p=x^p+y^p+\sum _{k=1}^{p-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})x^k{y}^{p-k}.\end{array}$$当 $1⩽k⩽p-1$ 时, $p\mid \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)$, 所以上述求和中的项均为 $0$. 从而, $$\begin{array}{r}\mathrm{Frob}(x+y)=x^p+y^p=\mathrm{Frob}(x)+\mathrm{Frob}(y).\end{array}$$这说明 $\mathrm{Frob}$ 是域同态.