5.1. 代数扩张

定义 5.1.1. 给定域扩张 $L$ 和 $L^{\prime }$ 和域同态 $\phi :L\to L^{\prime }$, 如果 $\phi {|}_K={\mathrm{id}}_K$, 即对任意的 $x\in K$, $\phi (x)=x$, 就称 $\phi$ 为 $\mathbf{K}$-同态. 用 ${\mathbf{Hom}}_K(L,L^{\prime })$ 表示所有的 $K$-同态, 用 ${\mathbf{End}}_K(L)$ 表示所有 $L$ 到自身的 $K$-同态, 用 ${\mathbf{Aut}}_K(L)$ 表示所有 $L$ 到自身的 $K$-同构.

注记 5.1.2. ${\mathbf{Aut}}_K(L)$ 配有同态的复合是群.

定义 5.1.3. 给定域扩张 $L$ 和 $x\in L$. 如果存在非零的 $K$-系数多项式 $P(X)\in K[X]$, 使得 $P(x)=0$, 就称 $\mathbf{x}$ 在 $\mathbf{K}$ 上是代数的. 此时, 存在唯一 ¹的次数最低的首一多项式 $P(X)\in K[X]$, 使得 $P(x)=0$, 我们将 $P(X)$ 称作是 $x$ 在 $K$ 上的极小多项式.

如果以上不成立, 即对任意非零 $K$-系数多项式 $P(X)\in K[X]$, $P(x)\ne 0$, 就称 $\mathbf{x}$ 在 $\mathbf{K}$ 上是超越的.

如果每个 $x\in L$ 在 $K$ 上均为代数的, 就称域扩张 $L$ 是代数扩张.

注记 5.1.4. 根据极小多项式次数最低的性质, $P(X)$ 是 $K[X]$ 上的不可约多项式.

注记 5.1.5 (由代数元生成的子域). 给定域扩张 $L$ 中的一个代数元 $x\in L$, 我们考虑由多项式的取值给出的环同态: 即将多项式 $Q(X)$ 在 $x$ 处取值. 这显然满射.

假设 $P(X)$ 是 $x$ 在 $K$ 上的极小多项式, 从而, $P(x)=0$, 所以, $P\in \mathrm{Ker}({\mathrm{ev}}_x)$. 另外, 对于 $Q(X)\in \mathrm{Ker}({\mathrm{ev}}_x)$, 根据多项式的带余除法, 存在 $A,R\in K[X]$, $\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(P)$, 使得 $Q=AP+R$, 其中, $P$ 是 $x$ 的极小多项式. 通过在 $x$ 处取值, 我们有$$R(x)=Q(x)-A(x)P(x)=0.$$根据极小多项式次数最低的性质, 我们知道 $R=0$, 从而, $Q=AP$. 以上推导表明 $\mathrm{Ker}({\mathrm{ev}}_x)=(P(X))$. 根据环同态第一定理, 我们得到环同构$$K[X]\stackrel{\simeq }{⟶}K[x]\subset L.$$另外, $(P(X))$ 是极大理想 ², 从而 $K[x]$ 是域. 特别地, $K[x]$ 是 $L$ 的子域.

我们进一步说明 $K[x]=K(x)$. 根据定义, 自然有 $K[x]\subset K(x)$. 每个 $K(x)$ 中的元素都形如 $\frac{P(x)}{Q(x)}$, 其中, $P,Q\in K[X]$ 并且 $Q(x)\ne 0$. 由于 $K[x]$ 是域, 所以, $\frac{P(x)}{Q(x)}\in K[x]$, 从而, $K[x]=K(x)$. 通过 $K(x)$ 的定义中的最小性也可以证明 $K[x]=K(x)$: $K(x)$ 是包含 $x$ 的最小的域, 而 $K[x]$ 是域并且包含 $x$, 所以 $K[x]=K(x)$.

命题 5.1.6. 给定域扩张 $L$ 和 $x\in L$, 那么 $x$ 在 $K$ 上是代数的当且仅当 $K(x)$ 是有限扩张.

进一步, $[K(x):K]=\mathrm{deg}P(X)$, 其中, $P(X)$ 为 $x$ 的极小多项式而 $1,x,\cdots ,x^{\mathrm{deg}(P)-1}$ 是 $K(x)$ 的一组基.

我们还有如下域同构的序列: $$K[X]\stackrel{\simeq }{\to }K[x]\stackrel{\simeq }{\hookrightarrow }K(x).$$

证明. 假设 $K(x)$ 是有限扩张, 那么, (可能) 无限个元素 $1,x,\cdots ,x^n,\cdots$ 在 $K$ 上线性相关, 从而存在 $a_0,\cdots ,a_n\in K$, $a_n\ne 0$, 使得$$a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n=0\iff P(x)=0,P(X)=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k\in K[X].$$这表明 $x$ 在 $K$ 上是代数的.

如果 $x$ 在 $K$ 上是代数的, 我们考虑它的极小多项式 $P(X)=X^n+{\sum }_{k=0}^{n-1}{a}_k{X}^k$, 其中, $n⩾1$. 根据 $P(x)=0$, 我们知道 $1,x,\cdots ,x^n$ 在 $K$ 上线性相关; 根据 $P$ 的最小性, $1,x,\cdots ,x^{n-1}$ 在 $K$ 上线性无关, (否则将有次数更低的 $K$-系数多项式以 $x$ 为根) . 这说明 $1,x,\cdots ,x^{n-1}$ 是 $K(x)$ 的基.

至此, 命题中结论均已证明.

$\square$

推论 5.1.7. 有限扩张是代数扩张.

证明. 对任意给定的有限扩张 $L$, 对任意的 $x\in L$, $K(x)$ 是中间域, 从而, $K(x)$ 是有限扩张. 根据以上命题, $x$ 是代数的, 即 $L$ 中所有元素均为代数的, 所以 $L$ 是代数扩张.

$\square$

推论 5.1.8. 给定域扩张 $L$, 如下命题成立:

1)	子集 $M\subset L$ 中的每个元素在 $K$ 上均为代数的, 那么, $K(M)$ 是代数扩张. 进一步, 如果 $M$ 还是有限集, 那么 $K(M)$ 是有限扩张.
2)	令 $K^{\mathrm{alg}}=\{x\in L|\text{x在K上是代数的}\}$, 那么, $K^{\mathrm{alg}}$ 是 $L$ 的子域. 特别地, $K^{\mathrm{alg}}$ 是 $L$ 中最大的 3、代数的中间域.

证明.

假设 $M=\{m_1,\cdots ,m_k\}\subset L$ 是在 $K$ 上代数的元所构成的有限子集, 根据以上命题, $K(m_1)$ 是有限扩张; 而 $m_2$ 显然在 $K(m_1)$ 上是代数的, 所以, $K(m_1,m_2)$ 是有限扩张. 从而, $K(m_1,m_2)$ 是有限扩张. 以此类推, 我们得到 $K(m_1,\cdots ,m_k)$ 是有限扩张.

现在仅假设 $M\subset L$ 是由在 $K$ 上代数的元素构成的子集 (未必有限) . 对任意的 $x\in K(M)$, 存在 $m_1,\cdots ,m_k\in M$, 使得 $x\in K(m_1,\cdots ,m_k)$. 以上我们已经证明了 $K(m_1,\cdots ,m_k)$ 是有限扩张, 所以, $K(x)$ 是有限扩张, 即 $x$ 在 $K$ 上是代数的. 这就证明了 $K(M)$ 是代数扩张.

为了说明 $K^{\mathrm{alg}}$ 是子域, 对 $M=K^{\mathrm{alg}}$ 运用上面的结论, 从而 $K\left(K^{\mathrm{alg}}\right)$ 中元素均为代数的. 根据 $K^{\mathrm{alg}}$ 的定义, $K\left(K^{\mathrm{alg}}\right)\subset K^{\mathrm{alg}}$. 这表明, $K\left(K^{\mathrm{alg}}\right)=K^{\mathrm{alg}}$ 而 $K\left(K^{\mathrm{alg}}\right)$ 是子域.

$\square$

推论 5.1.9. 给定 $L$ 的中间域 $E$, 那么, $L$ 是代数扩张当且仅当 $L$ 和 $E$ 均为代数扩张.

证明. 如果 $L$ 是代数扩张, 很明显 $L$ 和 $E$ 均为代数扩张.

如果 $L$ 和 $E$ 均为代数扩张. 对任意的 $x\in L$, 根据 $L$ 是代数扩张的定义, 存在正整数 $n$ 和 $e_0,\cdots ,e_{n-1}\in E$, 使得$$x^n+e_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +e_{1}x+e_0=0.$$这表明 $x$ 在 $K(e_{n-1},\cdots ,e_0)$ 上是代数的, 从而, $K(e_{n-1},\cdots ,e_0,x)$ 是有限扩张. 另外, 由于 $e_0,\cdots ,e_{n-1}$ 在 $K$ 上是代数的, 所以, $K(e_{n-1},\cdots ,e_0)$ 是有限扩张. 综上所述, $K(e_{n-1},\cdots ,e_0,x)$ 是有限扩张, 所以, $x$ 在 $K$ 上是代数的.

$\square$

1.	^ 利用 $K[X]$ 是主理想整环或者辗转相除法
2.	^ 主理想整环的非零素理想都是极大理想. 我们还可以直接证明: 假设 $I\subset (P(X))$ 是非平凡理想, 那么, $I=(P_1(X))$, 这表明存在 $Q(X)\in K[X]$, 使得 $P(X)=P_1(X)\cdot Q(X)$, 然而, $P(X)$ 不可约, 所以只能有 $I=(P(X))$.
3.	^ 在包含关系下.