5.11. 习题

5.11.1迹与范数

$L$ 是域的有限扩张, 对任意的 $x\in L$, 考虑乘法映射: $$m_x:L⟶L,y\mapsto x\cdot y.$$这是 $K$-线性空间 $L$ 上的 $K$-线性映射, 它的迹、行列式和特征多项式分别记作: $${\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x)=\mathrm{Tr}(m_x),{\mathrm{N}}_{{}_L}(x)=\det (m_x),P_{{}_L,x}(X)=\det (X\cdot I-m_x).$$

1.	假设 $x\in K$, 试计算 ${\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x),{\mathrm{N}}_{{}_L}(x)$ 和 $P_{{}_L,x}(X)$. 对一般的 $x\in L$, 证明 $P_{{}_L,x}(X)\in K[X]$ 并且 $P_{{}_L,x}(X)$ 在 $L$ 中有根.
2.	假设 $d\in K$ 但是 $d\notin K^2$, $L=K(\sqrt{d})$, $x=a+b\sqrt{d}$. 证明, 存在唯一的域同构 $\sigma \in {\mathrm{Aut}}_K(L)$, 使得 $\sigma (\sqrt{d})=-\sqrt{d}$ 并且$${\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x)=2a=x+\sigma (x),{\mathrm{N}}_{{}_L}(x)=a^2-d{b}^2=x\cdot \sigma (x),P_{{}_L,x}(X)=(X-x)(X-\sigma (x)).$$
3.	证明, 以下映射为群同态: $${\mathrm{Tr}}_{{}_L}:(L,+)\to (K,+),{\mathrm{N}}_{{}_L}:(L^{\times },\cdot )\to (K^{\times },\cdot ).$$
4.	(迹的传递性) 如果 $K\subset M\subset L$ 是中间域. 证明, $${\mathrm{Tr}}_{{}_M}\circ {\mathrm{Tr}}_{{}_L}={\mathrm{Tr}}_{{}_L}.$$(提示: 选取 $\{e_i{\}}_{i⩽m}$ 和 $\{f_j{\}}_{j⩽n}$ 分别为 $M$ 和 $L$ 的基, 此时 $\{e_i{f}_j{\}}_{i⩽m,j⩽n}$ 为 $L$ 的基. 那么, $$x\cdot f_j=\sum _{j^{\prime }=1}^n{m}_{j{j}^{\prime }}{f}_{j^{\prime }},m_{j{j}^{\prime }}\in M;m_{j{j}^{\prime }}\cdot e_i=\sum _{i^{\prime }=1}^m{k}_{j{j}^{\prime },i{i}^{\prime }}{e}_{i^{\prime }},k_{j{j}^{\prime },i{i}^{\prime }}\in K.$$利用上述公式计算)
5.	对于 $x\in L$, 令 $P_{{}_{\min }}(X)$ 为其在 $K$ 上的极小多项式. 证明, $$P_{{}_L,x}(X)=P_{{}_{\min }}(X{)}^{[L:K(x)]}.$$(提示: 选取 $\{e_i{\}}_{i⩽m}$ 和 $\{f_j{\}}_{j⩽n}$ 分别为 $K(x)$ 和 $L$ 的基, 此时 $\{e_i{f}_j{\}}_{i⩽m,j⩽n}$ 为 $L$ 的基)
6.	对于 $x\in L$, $P_{{}_{\min }}(X)$ 为其在 $K$ 上的极小多项式, $x_1,x_2,\cdots ,x_d$ 为 $P_{{}_{\min }}(X)$ 在 $K$ 的某个分裂域中所有的根 (即 $P_{{}_{\min }}(X)={\prod }_{i=1}^d(X-x_i)$) . 证明, $${\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x)=[L:K(x)]\left(\sum _{i=1}^d{x}_i\right),{\mathrm{N}}_{{}_L}(x)=(\prod _{i=1}^d{x}_i{)}^{[L:K(x)]}.$$
7.	$L$ 为有限可分扩张, $\Omega$ 为域扩张并且 $\Omega$ 是代数封闭的. 那么, 对任意的 $x\in L$, $${\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x)=\sum _{\sigma \in {\mathrm{Hom}}_K(L,\Omega )}\sigma (x),{\mathrm{N}}_{{}_L}(x)=\prod _{\sigma \in {\mathrm{Hom}}_K(L,\Omega )}\sigma (x),$$以及$$P_{{}_L,x}(X)=\prod _{\sigma \in {\mathrm{Hom}}_K(L,\Omega )}(X-\sigma (x)).$$
8.	$L$ 为有限扩张, $\Omega$ 如上. 那么, 对任意的 $x\in L$, $${\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x)=p^n\sum _{\sigma \in {\mathrm{Hom}}_K(L,\Omega )}\sigma (x),{\mathrm{N}}_{{}_L}(x)=(\prod _{\sigma \in {\mathrm{Hom}}_K(L,\Omega )}\sigma (x){)}^{p^n},$$其中, $p^n=\frac{[L,K]}{[L,K{]}_s}$ 为扩张的不可分次数.
9.	(迹和范数的传递性) 如果 $K\subset M\subset L$ 是中间域. 证明, $${\mathrm{Tr}}_{{}_M}\circ {\mathrm{Tr}}_{{}_L}={\mathrm{Tr}}_{{}_L},{\mathrm{N}}_{{}_M}\circ {\mathrm{N}}_{{}_L}={\mathrm{N}}_{{}_L}.$$(为简单起见, 你可以只对可分情形进行证明)
10.	$K$ 是域, $P(X)\in K[X]$ 为首一的不可约多项式, $d=\mathrm{deg}(P)$, $\alpha$ 为 $P$ 在 $\overline{K}$ 中的一个根. 证明, $$\mathrm{Disc}(P)=(-1{)}^{\frac{1}{2}d(d-1)}{\mathrm{N}}_{{}_{K(\alpha )}}(P^{\prime }(\alpha )).$$以上, $\mathrm{Disc}(P):={\prod }_{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2$, 其中, $\{{\alpha }_i\}$ 为 $P$ 在 $\overline{K}$ 中的所有根 (包括重根) .
11.	$L$ 为有限扩张, $x\in L$ 在 $K$ 上不可分. 证明, ${\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x)=0$.
12.	$L$ 为有限扩张并且不是可分的. 证明, ${\mathrm{Tr}}_{{}_L}\equiv 0$.
13.	考虑对称 $K$-双线性的二次型$$L\times L⟶K,(x,y)\mapsto {\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x\cdot y).$$对任意的 $x\in L^{\times }$, 存在 $y\in L$, 使得 ${\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x\cdot y)\ne 0$, 我们就称这个二次型是非退化的, 否则是退化的. 证明, 如果 $\mathrm{Char}(K)=0$, 以上二次型非退化; 如果 $L$ 不是可分的, 以上二次型退化.
14.	假设 $L$ 是可分的, 从而, $L=K(x)$, $n=[L:K]$. 证明, ${\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x^k)$ 中至少有一个非零, 其中, $k=0,1,\cdots ,n-1$.
15.	证明, $L$ 是可分的等价于二次型$$L\times L⟶K,(x,y)\mapsto {\mathrm{Tr}}_{{}_L}(x\cdot y).$$非退化.

5.11.2关于多项式的一个命题

$K$ 是域, $P\in K[X]$ 并且 $\mathrm{deg}(P)=p$ 是素数. 假设 $P$ 满足如下性质: 对任意的域扩张 $L$, 如果 $P$ 在 $L$ 中有根, 那么 $P$ 在 $L[X]$ 中可以分裂成一次多项式的乘积. 证明, 以下两种可能必居其一 (可以同时发生) :

•	$P$ 在 $K[X]$ 中不可约;
•	$P$ 在 $K$ 上有根.

证明, 在以下情形下, $P$ 均满足上述的性质:

1.	$\mathrm{Char}(K)=p$, $P(X)=X^p-a$, $a\in K$;
2.	$\mathrm{Char}(K)=p$, $P(X)=X^p-X-a$, $a\in K$;
3.	$\mathrm{Char}(K)\ne p$, $P(X)=X^p-a$, $a\in K$ 并且存在 $\xi \in K$ 使得 ${\xi }^p=1$ 但是 $\xi \ne 1$.

5.11.3关于域扩张的一个命题

给定域扩张 $E$, $L_1$ 和 $L_2$ 是中间域并且 $[L_1:K]<\infty ,[L_2:K]<\infty$.

1.	证明, $[L_1\cdot L_2:L_1]⩽[L_2:K]$.
2.	证明, $[L_1\cdot L_2:K]⩽[L_1:K][L_2:K]$.
3.	证明, 如果 $[L_1:K]$ 与 $[L_2:K]$ 互素, 那么 $[L_1\cdot L_2:K]=[L_1:K][L_2:K]$.
4.	证明, 如果 $[L_1\cdot L_2:K]=[L_1:K][L_2:K]$, 那么 $L_1\cap L_2=K$.
5.	上一命题的逆命题不成立: 假设 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ 是 $X^3-2$ 的两个不同的根, 证明, $\mathbb{Q}(\alpha )\cap \mathbb{Q}(\beta )=\mathbb{Q}$ 但是 $[\mathbb{Q}(\alpha ,\beta ):\mathbb{Q}]<[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}][\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]$.

5.11.4Wedderburn 定理

$F$ 是可除环, 即对任意非零的 $a\in F$, 存在 $b\in F$, 使得 $ab=ba=1$. 我们证明有限可除环一定是交换环, 从而 $F$ 是域. 以下我们假设 $|F|<\infty$.

1.	令 $Z=\{x\in F|\text{对任意的 y∈F，有}xy=yx\}$ 为 $F$ 的中心. 证明, $Z$ 是域. 令 $q=|Z|$, 证明, 存在 $n⩾0$, 使得 $|F|=q^n$.
2.	对任意的 $x\in F$, 令 $C_x=\{y\in F|xy=yx\}$. 证明, $C_x$ 是 $F$ 的子环并且存在整数 $n_x$ 使得 $|C_x|=q^{n_x}$.
3.	对于 $x\in F^{\times }$, 令 $\mathrm{Conj}(x)=\{yx{y}^{-1}|y\in F^{\times }\}$. 证明, $|\mathrm{Conj}(x)|=\frac{q^n-1}{q^{n_x}-1}$ 并证明 $n_x\mid n$.
4.	证明, 如果 $x\notin Z$, 那么, ${\Phi }_n(q)$ 整除 $|\mathrm{Conj}(x)|$, 其中, ${\Phi }_n(X)$ 为第 $n$ 个分圆多项式.
5.	证明, ${\Phi }_n(q)|q-1$ 从而 $n=1$. (利用 $F^{\times }$ 通过共轭作用在自身上的轨道分解)

5.11.5Artin-Schreier 理论

Artin-Schreier 理论是对循环扩张的 Kummer 理论的补充, 它研究域特征为 $p$ 且 Galois 群为 $p$-阶循环群的情况.

A)	$K$ 是特征为 $p$ 的域, $a\in K$, $P(X)=X^p-X-a$, $L$ 是 $P$ 在 $K$ 上的分裂域. 1. 证明, 如果 $x\in L$ 是 $P$ 的根, 那么, $$P(X)=(X-x)(X-(x+1))\cdots (X-(x+p-1)).$$ 2. 证明, $P$ 在 $K[X]$ 中或者不可约或者可以写成一次因式的乘积. 3. 假设 $P$ 在 $K[X]$ 中不可约, $x\in L$ 为 $P$ 的一个根. 证明, 以下映射$$\mathrm{Gal}(L)⟶{\mathbb{F}}_p,g\mapsto g(x)-x$$是群同构. 特别地, $\mathrm{Gal}(L)\simeq \mathbb{Z}$.
B)	$K$ 是特征为 $p$ 的域, $L$ 是 Galois 扩张并且 $\mathrm{Gal}(L)\simeq \mathbb{Z}$, $\sigma$ 是 $\mathrm{Gal}(L)$ 的一个生成元. 1. 证明, 存在 $y\in L$, 使得 ${\sum }_{k=0}^{p-1}{\sigma }^k(y)=-1$. 2. 令 $x={\sum }_{k=0}^{p-1}k{\sigma }^k(y)$, 证明, $\sigma (x)=x+1$. 3. 证明, $P(X)={\prod }_{k=0}^{p-1}(X-{\sigma }^k(x))$ 是 $x$ 的极小多项式并且 $a=x^p-x\in K$. 4. 证明, $L$ 是 $X^p-X-a$ 在 $K$ 上的分裂域. 利用以上的 Artin-Schreier 理论, 即 A)+B), 我们展示 $p^{m-1}$ 阶的循环扩张与 $p^m$ 阶的循环扩张之间的关系 ($m⩾2$) . 从而, 我们可以递归地研究阶为 $p$ 的幂的循环扩张 (总假设 $K$ 的特征为 $p$) .
C)	$K$ 是特征为 $p$ 的域, $L$ 是阶为 $p^m$ 的循环扩张, $\sigma$ 是 $\mathrm{Gal}(L)$ 的一个生成元, $\tau ={\sigma }^{p^{m-1}}$, $M=L^{⟨\tau ⟩}$. 1. 证明, 存在 $\lambda \in M$, $P(X)=X^p-X-\lambda$ 在 $L$ 中有根 $\theta$ 并且 $L=M(\theta )$, $\tau (\theta )=\theta +1$. 2. 证明, 存在 $\beta \in M$, 使得 $\sigma (\theta )=\theta +\beta$. 3. 证明, $K(\theta )=L$. 4. 证明, $\sigma (\lambda )-\lambda ={\beta }^p-\beta$ 并且 ${\mathrm{Tr}}_{{}_M}(\beta )=1$.
D)	$K$ 是特征为 $p$ 的域, $M$ 是阶为 $p^{m-1}$ 的循环扩张 ($m⩾2$) , $\sigma$ 是 $\mathrm{Gal}(M)$ 的一个生成元. 假设 $\beta \in M$ 并且 ${\mathrm{Tr}}_{{}_M}(\beta )=1$. 1 1. 证明, 存在 $\lambda \in M$, 使得 $\sigma (\lambda )-\lambda ={\beta }^p-\beta$. (提示: 使用 Hilbert 90) 2. $P(X)=X^p-X-\lambda$ 是 $M[X]$ 中的不可约多项式. 3. 令 $L$ 为 $P(X)$ 对 $M$ 的分裂域, $\theta$ 为 $P$ 在 $L$ 中的一个根. 证明, $L$ 是阶为 $p^m$ 的循环扩张并且存在 $\sigma$ 在 $L$ 上的延拓 $\overline{\sigma }\in \mathrm{Gal}(L)$ 使得 $\overline{\sigma }$ 生成了 $\mathrm{Gal}(L)$ 并且 $\overline{\sigma }(\theta )=\theta +\beta$.

5.11.6正十七边形的具体构造

令 $\xi =e^{\frac{2\pi }{17}i}$, $K=\mathbb{Q}$, $L=\mathbb{Q}(\xi )$. 我们要通过具体计算 $\cos (\frac{2\pi }{17})$ 来说明 $e^{\frac{2\pi }{17}i}$ 是尺规可作的.

1.	证明, 通过对 $X^{17}-1$ 的根的作用, 我们有群同构$$\mathrm{Gal}(L)\stackrel{\simeq }{⟶}{\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }$$并且 $\sigma :\xi \mapsto {\xi }^3$ 是 $\mathrm{Gal}(L)$ 的一个生成元.
2.	以下是 $H_0=\mathrm{Gal}(L)$ 的一个 Jordan-Hölder 滤链: $$H_0⊳H_1⊳H_2⊳H_3⊳H_4=1,$$其中, $H_j=⟨{\sigma }^{2^j}⟩$, $j=1,2,3,4$. 利用 Galois 对应证明, $e^{\frac{2\pi }{17}i}$ 是尺规可作的.
3.	令 $a_0={\sum }_{k=0}^7{\sigma }^{2k}(\xi )$, $a_1={\sum }_{k=0}^7{\sigma }^{2k+1}(\xi )$, 计算 $a_0+a_1$ 和 $a_0\cdot a_1$ 并给出 $a_0$ 与 $a_1$ 的值.
4.	令 $b_j={\sum }_{k=0}^3{\sigma }^{4k+j}(\xi )$, 其中, $j=0,1,2,3$. 计算 $b_0+b_2$ 和 $b_0\cdot b_2$ 并给出 $b_0,b_1,b_2,b_3$ 的值.
5.	令 $c_j={\sum }_{k=0}^1{\sigma }^{8k+j}(\xi )$, 其中, $j=0,1,\cdots ,7$. 计算 $c_0+c_4$ 和 $c_0\cdot c_4$ 并证明$$\cos (\frac{2\pi }{17})=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{68+12\sqrt{17}-4\sqrt{34-2\sqrt{17}}-8\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right).$$

5.11.7代数基本定理的证明

我们用 Galois 理论证明 $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ 是代数封闭域.

1.	证明, 每个奇数次的实系数多项式在 $\mathbb{R}$ 上总有根.
2.	证明, 每个 $\mathbb{R}(i)$ 系数的二次多项式的根都在 $\mathbb{R}(i)$ 中.
3.	假设 $P(X)\in \mathbb{C}[X]$, 证明, 存在有限 Galois 扩张 $L$, 使得 $L$ 包含 $i$ 和 $P$ 的所有根.
4.	令 $H$ 为 $\mathrm{Gal}(L)$ 的 Sylow $2$-子群, 证明, $L^H=\mathbb{R}$. 据此证明 $\mathrm{Gal}(L)$ 是 $2$-群, 即其元素个数是 $2$ 的幂. (提示: 将 $L^H$ 写成单代数扩张)
5.	证明, 存在子群 $H^{\prime }<\mathrm{Gal}(L)$, 其指标为 $2$ 并进一步证明 $L^{H^{\prime }}=\mathbb{R}(i)$.
6.	证明代数基本定理.

5.11.8Dirichlet 定理的特例

经典的 Dirichlet 定理 (1837) 表明, 对任意互素的正整数 $a,b$, 存在无限多个素数 $p$, 使得 $p\equiv b\mathrm{mod}a$. Dirichlet 的证明用到了复解析函数. 我们可以用分圆多项式给出 $b=1$ 的情形.

1.	给定非常数的多项式 $P(X)\in \mathbb{Z}[X]$, 证明, 以下集合是无限集合: $$\{d\in \mathbb{Z}|d⩾0,\text{存在非负整数 n，使得}d\mid P(n)\}.$$
2.	令 $P(X)=\frac{X^a-1}{{\Phi }_a(X)}$. 证明, 存在素数 $p$ 和整数 $n$, 使得 $p\mid {\Phi }_a(n)$ 但是 $p\nmid P(n)$. (提示: 在 $\mathbb{Q}[X]$ 中, 存在 $U(X),V(X)$, 使得 $U(X)P(X)+V(X){\Phi }_a(X)=1$)
3.	计算 $n$ 在 ${\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }$ 中的阶.
4.	证明, 存在素数 $p$, 使得 $p\equiv 1\mathrm{mod}a$.
5.	证明, 存在无限个素数 $p$, 使得 $p\equiv 1\mathrm{mod}a$. (提示: 对合适的 $a$ 使用 D4) 的结论)

5.11.9二次互反律

$p>2$ 是素数, 对任意的 $x\in \mathbb{Z}$, 将它视作是 ${\mathbb{F}}_p$ 中的元素. 如果 $x\ne 0$, 其 Legendre 符号 $\left(\frac{x}{p}\right)$ 的定义如下: $$\left(\frac{x}{p}\right)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{x 是 Fp 中的完全平方@ref2@ref;}\\ -1,& \text{x 不是 Fp 中的完全平方。}\end{array}$$

1.	证明, 映射 $({\mathbb{F}}_p{)}^{\times }\to \{\pm 1\},x\mapsto \left(\frac{x}{p}\right)$ 是满的群同态并且 $\left(\frac{x}{p}\right)=x^{\frac{p-1}{2}}$ (在 ${\mathbb{F}}_p$ 中计算) . 特别地, 我们得到 $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$.
2.	利用 Galois 理论计算 $\left(\frac{2}{p}\right)$. 令 $\zeta$ 为 $\overline{{\mathbb{F}}_p}$ 中 $8$ 次本元单位根. ∘ 证明, $(\zeta +{\zeta }^{-1}{)}^2=2$. ∘ 证明, $\left(\frac{2}{p}\right)=1$ 当且仅当 $\mathrm{Frob}(\zeta +{\zeta }^{-1})=\zeta +{\zeta }^{-1}$. ∘ 证明, $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{(p-1)(p+1)}{8}}$.
3.	$\ell >2$ 是素数并且 $p\ne \ell$, $\xi$ 为 $\overline{{\mathbb{F}}_p}$ 中 $\ell$ 次本元单位根. 由 $\ell$ 给出的 Gauss 和为$$S=\sum _{x\in {\mathbb{F}}_{\ell }^{\times }}\left(\frac{x}{\ell }\right){\xi }^x.$$证明, $S^2=(-1{)}^{\frac{\ell -1}{2}}\ell$. (提示: 计算 $S^2=\sum _{x\in {\mathbb{F}}_{\ell }^{\times }}\sum _{y\in {\mathbb{F}}_{\ell }^{\times }}\left(\frac{xy}{\ell }\right){\xi }^{x+y}=\sum _{x\in {\mathbb{F}}_{\ell }^{\times }}\sum _{z\in {\mathbb{F}}_{\ell }^{\times }}\left(\frac{x^{2}z}{\ell }\right){\xi }^{x+zx}$)
4.	证明, $S\in {\mathbb{F}}_p$ 等价于 $\left(\frac{p}{\ell }\right)=1$.
5.	证明二次互反律: $$\left(\frac{p}{\ell }\right)\left(\frac{\ell }{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\frac{\ell -1}{2}}.$$

5.11.10一个 $6$ 次多项式分裂域的 Galois 群的计算

1.	证明, $X^2+X+1$ 是 ${\mathbb{F}}_2[X]$ 中唯一一个二次不可约多项式.
2.	证明, ${\mathbb{F}}_2[X]$ 中每个三次不可约多项式都整除 $X^8+X$.
3.	证明, 在 ${\mathbb{F}}_2[X]$ 中, 在 ${\mathbb{F}}_2[X]$ 中, $X^2+X+1$ 乘除 $X^8+X+1$. 计算 $P_2(X)=\frac{X^8+X+1}{X^2+X+1}$ 并证明 $P_2(X)$ 是不可约的.
4.	令 $T(X)=X^2+1\in \mathbb{Z}[X]$, $F_0(X)=X$, $F_n(X)=T(F_{n-1}(X))$, 其中, $n⩾1$. 证明, 在 $\mathbb{Z}[X]$ 中, $T(X)-X$ 整除 $F_n(X)-F_{n-1}(X)$, 其中, $n⩾1$; 进一步证明, 在 $\mathbb{Z}[X]$ 中, $T(X)-X$ 整除 $F_3(X)-X$.
5.	证明, 在 $\mathbb{Z}[X]$ 中, 计算 $P(X)=\frac{F_3(X)-X}{T(X)-X}$ (你可以用 $P(10)=1143745$ 来检验答案的正确性) 并证明 $P(X)$ 是 $\mathbb{Z}[X]$ 中的不可约多项式.
6.	令 $\mathcal{R}=\{x\in \overline{\mathbb{Q}}|P(x)=0\}$ 为 $P$ 根的集合, $L$ 为 $P$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域 (不妨假设 $L\subset \overline{Q}\subset \mathbb{C}$) , $G:=\mathrm{Gal}(L)$ 为其 Galois 群. 证明, $\mathcal{R}$ 可以如下描述: $$\mathcal{R}=\{x\in \overline{\mathbb{C}}|T(T(T(x)))=x,\text{但是}T(x)\ne x\}.$$
7.	证明, 对任意的 $x\in \mathcal{R}$, 我们有 $T(x)\in \mathcal{R}$, 从而, 以下映射是良好定义的: $$T:\mathcal{R}⟶\mathcal{R}.$$
8.	证明, $|\mathcal{R}|=6$ 并且可以将 $\mathcal{R}$ 中的元素记作是$$\mathcal{R}=\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4,{\alpha }_5,{\alpha }_6\}=\underset{{\mathcal{R}}_1}{\underbrace{\{{\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_5\}}}\cup \underset{{\mathcal{R}}_2}{\underbrace{\{{\alpha }_2,{\alpha }_4,{\alpha }_6\}}}.$$使得 $T({\alpha }_1)={\alpha }_3,T({\alpha }_3)={\alpha }_5,T({\alpha }_5)={\alpha }_1$ 而 $T({\alpha }_2)={\alpha }_4,T({\alpha }_4)={\alpha }_6,T({\alpha }_6)={\alpha }_2$. 特别地, 如果将 ${\mathfrak{S}}_{\mathcal{R}}$ 与 ${\mathfrak{S}}_6$ 等同, 其中, ${\alpha }_i\in \mathcal{R}$ 对应着指标 $i$, 那么, $T$ 可以被视作是 $(1,3,5)(2,4,6)\in {\mathfrak{S}}_6$.
9.	令 $C_T=\{g\in {\mathfrak{S}}_6|g\cdot T=T\cdot g\}$ 为 $T$ 在 ${\mathfrak{S}}_6$ 中的中心化子. 证明, 对任意的 $g\in C_T$, 我们有 $g({\mathcal{R}}_1)={\mathcal{R}}_1,g({\mathcal{R}}_2)={\mathcal{R}}_2$ 或者 $g({\mathcal{R}}_1)={\mathcal{R}}_2,g({\mathcal{R}}_2)={\mathcal{R}}_1$. 据此, 证明以下映射是满的群同态: $$\epsilon :C_T\to \{\pm 1\},\epsilon (g)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果}g({\mathcal{R}}_1)={\mathcal{R}}_1;\\ -1,& \text{如果}g({\mathcal{R}}_1)={\mathcal{R}}_2.\end{array}$$其中, $\{\pm 1\}$ 是 $2$ 阶循环群.
10.	证明, $|C_T|=18$.
11.	我们可以将 $G:=\mathrm{Gal}(L)$ 视作是 ${\mathfrak{S}}_{\mathcal{R}}={\mathfrak{S}}_6$ 的子群. 证明, $G<C_T$, $\epsilon {|}_G:G\to \{\pm 1\}$ 也是满射并且 $|G|=6$ 或 $18$.
12.	令 $\xi ={\alpha }_1+{\alpha }_3+{\alpha }_5,\eta ={\alpha }_2+{\alpha }_4+{\alpha }_6$, 证明, $Q(X)=(X-\xi )(X-\eta )\in \mathbb{Q}[X]$. 注意, 不能使用本题后面的结论.
13.	证明, $Q(X)=X^2+X+3\in \mathbb{Z}[X]$.
14.	令 $H:=\mathrm{Ker}(\epsilon {|}_G:G\to \{\pm 1\})$, 证明, $L^H$ 是 $L$ 的唯一 $2$ 次的中间域. 进一步给出整数 $d$, 使得该中间域为 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$.
15.	利用 GaloisGPT 软件, 得到 $P$ 的判别式 $\mathrm{Disc}(P)=-33$, 请问它的结果是否正确并给出理由.
16.	令$$\{\begin{array}{ll}{\gamma }_1& ={\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_3{\alpha }_4+{\alpha }_5{\alpha }_6,\\ {\gamma }_2& ={\alpha }_1{\alpha }_4+{\alpha }_3{\alpha }_6+{\alpha }_5{\alpha }_2,\\ {\gamma }_3& ={\alpha }_1{\alpha }_6+{\alpha }_3{\alpha }_2+{\alpha }_5{\alpha }_4,\end{array}\{\begin{array}{ll}{\delta }_1& ={\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_3{\alpha }_6+{\alpha }_5{\alpha }_4,\\ {\delta }_2& ={\alpha }_1{\alpha }_4+{\alpha }_3{\alpha }_2+{\alpha }_5{\alpha }_6,\\ {\delta }_3& ={\alpha }_1{\alpha }_6+{\alpha }_3{\alpha }_4+{\alpha }_5{\alpha }_2.\end{array}$$令 $A(X)=(X-{\gamma }_1)(X-{\gamma }_2)(X-{\gamma }_3)$, $B(X)=(X-{\delta }_1)(X-{\delta }_2)(X-{\delta }_3)$. 证明, $A(X),B(X)\in \mathbb{Q}[X]$. 注意, 不能使用本题后面的结论. 利用 Mathematica 软件可以算得 (正确的结果) $$A(X)=X^3-3X^2-6X-28,B(X)=X^3-3X^2-6X-1.$$
17.	证明, $\mathrm{Disc}(A)=-2^2\cdot 3^6\cdot 11$ 而 $\mathrm{Disc}(B)=3^6$. 我们可以利用如下公式: 对于多项式 $X^3+aX+b$, $\mathrm{Disc}(X^3+aX+b)=-4a^3-27b^2$
18.	证明, $G\simeq C_T$.

5.11.11偶四次多项式的分裂域: Kaplansky 定理

$P(X)=X^4+a{X}^2+b\in \mathbb{Q}[X]$ 是不可约多项式, $\{\alpha ,-\alpha ,\beta ,-\beta \}\subset \overline{\mathbb{Q}}$ 为其根, $K$ 为 $P$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域, $G=\mathbf{Gal}\left(K\right)$.

这个题目的目标是证明 Kaplansky 定理: $$G\simeq \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z},& \text{若 b∈Q2};\\ \mathbb{Z},& \text{若 b(a2−4b)∈Q2};\\ {\mathfrak{D}}_4,& \text{其余情形}.\end{array}$$我们考虑如下的正方形:

1.	将 ${\mathfrak{D}}_4$ 视为上述正方形的对称群. 令 $r$ 为绕其中心的对称, $s$ 为保持顶点 $\beta$ 与 $-\beta$ 的反射, 那么, ${\mathfrak{D}}_4$ 的 $8$ 个元素由如下映射给出: $$(\ast )\cdots \cdots \{\begin{array}{ll}& 1:\alpha \mapsto \alpha ,\beta \mapsto \beta ;r:\alpha \mapsto \beta ,\beta \mapsto -\alpha ;r^2:\alpha \mapsto -\alpha ,\beta \mapsto -\beta ;r^3:\alpha \mapsto -\beta ,\beta \mapsto \alpha ;\\ & s:\alpha \mapsto -\alpha ,\beta \mapsto \beta ;sr:\alpha \mapsto \beta ,\beta \mapsto \alpha ;s{r}^2:\alpha \mapsto \alpha ,\beta \mapsto -\beta ;s{r}^3:\alpha \mapsto -\beta ,\beta \mapsto -\alpha .\end{array}$$证明, ${\mathfrak{D}}_4$ 的 $4$ 阶子群如下: $$\{1,\sigma ,{\sigma }^2,{\sigma }^3\},\{1,s,s{r}^2,r^2\},\{1,sr,s{r}^3,r^2\},$$其中, 后两个子群共轭.
2.	证明, ${\mathfrak{S}}_4$ 的 Sylow $2$-子群与 ${\mathfrak{D}}_4$ 同构.
3.	证明, $\mathbf{Gal}\left(K\right)$ 只能是 $\mathbb{Z},\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 或 ${\mathfrak{D}}_4$.
4.	证明, $\mathbf{Gal}\left(K\right)$ 在 $\{\alpha ,\beta ,-\alpha ,-\beta \}$ 上的作用可以被视作是 $(\ast )$ 中作用的子群.
5.	证明, ${\alpha }^2-{\beta }^2\notin \mathbb{Q}$.
6.	证明, $\mathbf{Gal}\left(K\right)\simeq \mathbb{Z}$ 当且仅当 $\frac{\alpha }{\beta }-\frac{\beta }{\alpha }\in \mathbb{Q}$.
7.	证明, $\mathbf{Gal}\left(K\right)\simeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 当且仅当 $\alpha \beta \in \mathbb{Q}$.
8.	证明 Kaplansky 定理.
9.	计算下列多项式的根并给出它们在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域的 Galois 群: ∘ $X^4-4X^2-1$; ∘ $X^4-6X^2+4$; ∘ $X^4+5X^2+5$; ∘ $X^4-7X^2+10$, 此多项式与上述多项式有何不同?

5.11.12Galois 扩张的正规基定理 (无限域的情形)

假设 $L$ 是有限 Galois 扩张, $P\in K[X]$ 是首一、可分的 $n$ 次多项式, $\alpha \in L$ 为 $P$ 的根并且 $L=K(\alpha )$ (根据本原元素定理) . 令 $\mathbf{Gal}\left(L\right)=\{g_1,\cdots ,g_n\}$ 并且规定 $g_1=1$. 令 ${\alpha }_i=g_i(\alpha )$, 其中, $i=1,\cdots ,n$.

1.	(Lagrange 插值公式) 令 $Q_i(X)=\frac{P(X)}{P^{\prime }({\alpha }_i)(X-{\alpha }_i)}\in L[X]$. 证明, $$Q_1(X)+Q_2(X)+\cdots +Q_n(X)=1.$$
2.	证明, 当 $i\ne j$ 时, $P\mid Q_i{Q}_j$; 当 $i\ne j$ 时, $P\mid Q_i{Q}_j-Q_i$.
3.	证明, $L[X]$ 系数的矩阵 $A=({\sigma }_i{\sigma }_j(Q_1){)}_{1⩽i,j⩽n}$, 满足$${}^{t}A\cdot A=\mathbf{I}\mathrm{mod}P,$$其中, $\mathbf{I}$ 是单位矩阵. 以上, 对于 $Q\in L[X]$ 和 $\sigma \in \mathbf{Gal}\left(L\right)$, $\sigma (Q)$ 是对其系数进行作用.
4.	以下假设 $K$ 是无限域. 证明, 存在 $\beta \in L$, 使得 $\det \left[{\sigma }_i{\sigma }_j\right(g_1(\beta )\left)\right]\ne 0$.
5.	证明, 存在 $\beta \in L$, $\{g_1(\beta ),g_2(\beta ),\cdots ,g_n(\beta )\}$ 是 Galois 扩张 $L$ 的基.

练习 5.11.1. $p$ 是素数, $l⩾2$ (还是要求 $l$ 是偶数? ) , $q=p^l$, $K={\mathbb{F}}_q(T)$. 给定 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为 $P(X)=X^{p^2}-TX+T$ 和 $Q(X)=X^{p^2-1}-T$ 在 $\overline{K}$ 中的根.

1)	证明, $P$ 和 $Q$ 在 $K[X]$ 中不可约. (提示: 对 $Q(X+T)$ 用 Eisenstein 判别法)
2)	证明, $P$ 的所有根为 $\{\alpha ,\alpha +{\beta }^{\prime }|Q({\beta }^{\prime })=0\}$.
3)	证明, $K(\beta )$ 为 Galois 扩张并计算其 Galois 群.
4)	令 $L$ 为 $P$ 在 $K$ 上的分裂域. 证明, $L=K(\alpha ,\beta )$, $K(\beta )$ 为 Galois 扩张并且其 Galois 群为 $p^2(p^2-1)$ 阶的.
5)	证明, $\mathbf{Gal}\left(L\right)\simeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$. (提示: 利用 2) 说明该群中的元素的阶至多为 $p$) .
6)	证明, $L$ 是可解的 (能否进一步写出 $P$ 的根的具体表达式? ) .

5.11.13练习题

1.	给定域扩张 $L$, 其中, $K$ 是有限域并且 $|K|=q$. 证明, 任意的映射 $f:K\to L$ 都是多项式, 即证明对任意的 $x\in K$, $$f(x)=\sum _{a\in K}(f(a)(1-(x-a{)}^{q-1})).$$
2.	$K$ 是域, 考虑如下的域扩张: 1) 证明, $M\ne L$. 2) 令 $f(X)=\frac{X^3}{X+1}$, 证明, $M[T]$ 中的多项式 $T^3-f\cdot T-f$ 不可约. 3) 计算 $[L:M]$.
3.	试找出域扩张 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{7})$ 所有的中间域.
4.	$L$ 是代数扩张, $\alpha ,\beta \in L$ 并且其在 $K$ 上的极小多项式分别为 $P(X),Q(X)\in K[X]$. 证明, 如果 $\mathrm{deg}(P)$ 与 $\mathrm{deg}(Q)$ 互素, 那么, $\alpha$ 在 $K(\beta )$ 上的极小多项式也是 $P(X)$. 据此, 计算 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{2})$ 的次数.
5.	证明, $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$, 找出 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 所有的中间域并计算 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式.
6.	计算 $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式.
7.	$p$ 是奇素数, 试计算 $\mathbb{Q}(\cos (\frac{2\pi }{p}))$ 的扩张次数.
8.	给定单代数扩张 $K(x)$. 证明, 如果 $[K(x):K]$ 是奇数, 那么, $K(x)=K(x^2)$.
9.	$K$ 是有限域, 那么, $K$ 必然不是代数封闭的. (提示: 参考 Euclid 关于有无穷多素数的证明)
10.	$L$ 是域扩张. ∘ $M$ 是中间域, 即 $K\subset M\subset L$, $\alpha \in L$ 在 $K$ 上是代数的. 令 $P_{\alpha ,K}(X)$ 为 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式, $P_{\alpha ,M}(X)$ 为 $\alpha$ 在 $M$ 上的极小多项式. 证明, 在 $M[X]$ 中, 我们有 $P_{\alpha ,M}(X)\mid P_{\alpha ,K}(X)$. ∘ 假设 $L$ 是代数的. 如果每个 $K$-系数多项式均在 $L[X]$ 中分裂 (成 $1$ 次多项式之积) , 证明, $L$ 是 $K$ 的一个代数闭包.
11.	$K$ 是域, $P\in K[X]$ 并且 $\mathrm{deg}(P)=n$, $L$ 是由 $P(X)$ 给出的一个分裂域. 证明, $[L:K]\mid n!$.
12.	$K$ 是域并且是可数的. 证明, $K[X]$ 也是可数的. 我们记 $K[X]=\{P_1,P_2,\cdots ,P_n,\cdots \}$ 并归纳地定义 $K_0=K$, $K_n$ 为 $P_n(X)$ 在 $K_{n-1}$ 上的分裂域. 证明, $L:={\bigcup }_{n⩾1}{K}_n$ 是 $K$ 的一个代数闭包.
13.	给定域 $L$ 及其子域 $K_1,K_2$, 假设 $L$ 是代数扩张. 证明, 如果 $L$ 和 $L$ 是正规扩张, 那么, $L$ 也是正规扩张. 3
14.	$K$ 是域, $P(X)\in K[X]-K$, $L$ 为 $K$ 的分裂域. 证明, $[L:K]\mid n!$, 其中, $n=\mathrm{deg}(P)$.
15.	$p$ 是素数, $P(X)=X^p-X+1\in {\mathbb{F}}_p[X]$, 证明, $P$ 是不可约的. 进一步计算 $P(X)$ 的分裂域的次数. (提示: 如果 $\alpha \in \overline{\mathbb{F}}$ 是 $P$ 的根, 那么, 对任意的 $a\in {\mathbb{F}}_p$, $\alpha +a$ 也是根)
16.	$L$ 是正规扩张, $P(X)\in K[X]$ 是不可约, 假设 $P_1$ 与 $P_2$ 是 $P(X)$ 在 $L[X]$ 中的两个首一的、不可约的因子. 证明, 存在 $\sigma \in {\mathrm{Aut}}_K(L)$, 使得 $P_1^{\sigma }=P_2$.
17.	$L$ 是代数扩张. 证明, $L$ 是正规扩张当且仅当对任意的不可约多项式 $P(X)\in K[X]$, 它在 $L[X]$ 中的不可约的因子的次数都是相同的.
18.	$L$ 是正规扩张, $P(X)\in K[X]$ 是不可约多项式, $Q_1(X),Q_2(X)$ 是 $P(X)$ 在 $L[X]$ 中的两个首一的不可约因子. 证明, 存在 $\sigma \in {\mathbf{Aut}}_K(L)$, 使得 $(Q_1{)}^{\sigma }=Q_2$. 请进一步给出反例: 如果 $L$ 不是正规扩张, 那么结论并不成立.
19.	$L$ 是代数扩张, 那么 $L$ 是正规的等价于对任意的不可约多项式 $P(X)\in K[X]$, $P(X)$ 在 $L[X]$ 中的所有不可约因子的次数均相等.
20.	考虑如下扩张: 试计算 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{2})$ 在 $\mathbb{C}$ 中的正规闭包 $N$ 并计算 $[N:\mathbb{Q}]$. 证明, $N$ 是正规扩张并给出所有 ${\mathbf{Aut}}_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}(N)$ 中的元素.
21.	域 $K$ 的特征为 $p$, $L$ 是有限扩张并且 $L^p\subset K$. 1) 证明, $L$ 是纯不可分扩张. 2) 如果存在 $\{x_1,\cdots ,x_n\}\subset L$, 使得$$K⊊K(x_1)⊊K(x_1,x_2)⊊\cdots ⊊K(x_1,x_2,\cdots ,x_{n-1})⊊K(x_1,x_2,\cdots ,x_{n-1},x_n)=L,$$那么, $[L:K]=p^n$. 特别地, 满足以上条件的 $\{x_1,\cdots ,x_n\}$ 的元素个数由 $L$ 决定.
22.	$K$ 是特征为 $p$ 的完美域, $f\in K(X)$ 并且 $f\notin K$. 证明, $K(X)$ 是可分的当且仅当 $f\notin K^p$.
23.	域 $K$ 的特征为 $p$, 扩张 $L$ 是纯不可分的并且 $[L:K]=p^n$. 证明, 对任意的 $x\in L$, $x^{p^n}\in K$.
24.	给定域 $K$ 和多项式 $P(X)\in K[X]$, $L$ 为其分裂域, 试计算 $L,[L:K]$ 和 $\left|{\mathbf{Aut}}_K(L)\right|$, 其中 1) $K={\mathbb{F}}_3,P(X)=X^3+2X+1$; 2) $K={\mathbb{F}}_p,P(X)=X^{p^8}-1$; 3) $K={\mathbb{F}}_3(T),P(X)=X^3-T$.
25.	证明, $\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})$ 不是 Galois 扩张而 $\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$ 是 Galois 扩张.
26.	证明, $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$. (提示: 先计算 $\mathbf{Gal}\left(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})\right)$)
27.	给定域扩张 $\mathbb{Q}\subset K\subset \mathbb{C}$, $K$ 是 Galois 扩张. 证明, $K$ 在复共轭下不变.
28.	给定 Galois 扩张 $L$, $M$ 为其中间域, $N$ 为 $M$ 在 $L$ 中的正规闭包 4证明, $$\mathbf{Gal}\left(L\right)=\bigcap _{\sigma \in \mathbf{Gal}\left(L\right)}\sigma \cdot \mathbf{Gal}\left(L\right)\cdot {\sigma }^{-1}.$$
29.	给定 Galois 扩张 $L$, $M$ 为其中间域, $H$ 为其在 Galois 对应下所对应的 $\mathbf{Gal}\left(L\right)$ 的子群, 即 $M=L^H$. 令 ${\mathrm{N}}_{\mathbf{Gal}\left(L\right)}(H)$ 为 $H$ 在 $\mathbf{Gal}\left(L\right)$ 中的正规化子, $M_0=L^{{\mathrm{N}}_{\mathbf{Gal}\left(L\right)}(H)}$. 证明, $M$ 为 Galois 扩张. 进一步证明, 若 $M^{\prime }\subset M$ 为 $M$ 的中间域并且 $M$ 为 Galois 扩张, 则 $M^{\prime }\supset M_0$.
30.	$L$ 是有限正规扩张. 如果除了 $L$ 和 $K$ 之外, 该扩张没有其它的中间域, 证明, $[L:K]$ 是素数. 给定某个 $4$-次 $\mathbb{Q}$-系数不可约多项式 $P(X)$, 使得其分裂域 $L$ 的 Galois 群同构于 ${\mathfrak{S}}_4$. 证明, 存在其中间域 $M$, 使得 $[M:K]=4$ 并且 $M$ 没有非平凡的中间域.
31.	$K$ 是有限域. 证明, 对任意的 $n⩾1$, 存在 $n$-次不可约多项式.
32.	${\mathbb{F}}_q$ 是有 $q$ 个元素的有限域, $I(d)$ 是 ${\mathbb{F}}_q[X]$ 中 $d$-次首一不可约多项式的个数. 证明$$q^n=\sum _{d\mid n}d\cdot I(d).$$(提示: 考虑 $X^{q^n}-X$ 的因式分解)
33.	$K$ 是域, $p$ 是素数, $P\in K[X]$ 是可分的、不可约多项式, $\mathrm{deg}(P)=p$. $L$ 是 $K$ 的分式域, $\alpha$ 是 $P$ 在 $L$ 中的一个根. 证明, 存在 $\mathrm{Gal}(L)$ 中的一个 $p$ 阶元 $\sigma$, 使得$$P(X)=(X-\alpha )(X-\sigma (\alpha ))\cdots (X-{\sigma }^{p-1}(\alpha )).$$进一步证明, 如果存在 $P$ 的另一个根 $\beta \in K(\alpha )$, 那么, $L=K(\alpha )$.
34.	$L$ 是 (有限) 循环扩张并且包含 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 作为中间域, 其中, $d$ 为正整数. 证明, $4\nmid [L:\mathbb{Q}]$.
35.	$K$ 是域, $P\in K[X]$ 是 $n$ 次可分多项式, $L$ 为 $P$ 在 $K$ 上的分裂域. 通过对 $P$ 的根的作用, 我们将 $\mathbf{Gal}(L)$ 视为 ${\mathfrak{S}}_n$ 的子群. 证明, $$\mathrm{Gal}(L)<{\mathfrak{A}}_n\iff \mathrm{Disc}(P)\in K^2.$$
36.	$K$ 是域并且其特征不是 $3$, $P\in K[X]$ 是 $3$ 次不可约多项式, $L$ 为 $P$ 在 $K$ 上的分裂域. 证明, $$\mathrm{Gal}(L)=\{\begin{array}{l}{\mathfrak{A}}_3,\text{如果 Disc(P) 是 K 中的完全平方};\\ {\mathfrak{S}}_3,\text{如果 Disc(P) 不是 K 中的完全平方}.\end{array}$$
37.	$L$ 是有限 Galois 扩张并且 $\mathrm{Gal}(L)\simeq {\mathfrak{S}}_n$, 其中, $n⩾5$. 任意给定 $x\in L$, $P(X)\in K[X]$ 为其极小多项式. 证明, 如果 $\mathrm{deg}(P)>2$, 那么 $\mathrm{deg}(P)⩾n$. 如果 $n=4$, 是否有反例?
38.	$K$ 是域, $P(X)\in K[X]$ 为可分的不可约多项式, $L$ 为 $P$ 在 $K$ 上的分裂域, 假设 $\mathrm{Gal}(L)$ 为交换群, $x\in L$ 为 $P$ 的一个根. 证明, $L=K(x)$.
39.	试计算以下 $\mathbb{Q}$-系数多项式在 $\mathbb{Q}$ 上分裂域 (作为 $\mathbb{Q}$ 的扩张) 的 Galois 群: 1) $X^3-3X+1$; 2) $X^4+4$; 3) $X^8+1$; 4) $3X^5-12X^3+12X-1$;
40.	$p_1,p_2,\cdots ,p_d$ 是 $d$ 个不同的素数, $L=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},\cdots ,\sqrt{p_d})$. 证明, $L$ 是 Galois 扩张并计算其 Galois 群. 据此证明, $\sqrt{15}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{10},\sqrt{42})$.

1.	^ 根据 $M$ 是有限可分的以及 ${\mathrm{Tr}}_{{}_M}:M\times M\to K$ 是非退化的, 这种 $\beta$ 总是存在.
2.	^ 即存在 $y\in {\mathbb{F}}_p$, 使得 $y^2=x$.
3.	^ 令 $K=K_1\cap K_2$. 对任意首一的、不可约多项式 $P(X)\in K[X]$, 假设 $\alpha \in L$ 为 $P$ 的一个根, 为了证明 $P$ 的所有根均在 $L$ 中, 我们对 $P(X)$ 在 $L[X]$ 中进行因式分解: $$P(X)=(X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_m)\cdot Q(X),$$其中, ${\alpha }_1=\alpha ,\cdots ,{\alpha }_m\in L$ 并且 $Q(X)\in L[X]$ 在 $L$ 中没有根. 以上分解显然是唯一的, 剩下只要说明 $Q(X)=1$ 即可. 我们在 $K_1[X]$ 中分解 $P(X)$ 为首一的不可约多项式之积: $$P(X)=R_1(X{)}^{{\alpha }_1}\cdots R_l(X{)}^{{\alpha }_l}{Q}_1(X{)}^{{\beta }_1}\cdots Q_k(X{)}^{{\beta }_k},$$其中, $R_1(X),\cdots ,R_l(X),Q_1(X),\cdots ,Q_k(X)$ 均为 $K_1[X]$ 中首一的不可约多项式, 指标 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_l$ 和 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_k$ 均大于 $0$ 并且 $R_1,\cdots ,R_l$ 在 $L$ 中有根但是 $Q_1,\cdots ,Q_k$ 在 $L$ 中没有根. 根据 $L$ 是正规扩张, 则 $R_1(X{)}^{{\alpha }_1}\cdots R_l(X{)}^{{\alpha }_l}$ 在 $L$ 中分裂但是 $Q_1(X{)}^{{\beta }_1}\cdots Q_k(X{)}^{{\beta }_k}$ 在 $L$ 中没有根. 利用以上 $P$ 在 $L[X]$ 中进行因式分解的唯一性, 我们得到$$Q(X)=Q_1(X{)}^{{\beta }_1}\cdots Q_k(X{)}^{{\beta }_k}\in K_1[X].$$类似的, $Q(X)\in K_2[X]$, 从而, $Q(X)\in K[X]$. 若 $Q\ne 1$, 则 $Q\mid P$, 这与 $P$ 是 $K[X]$ 中的不可约多项式矛盾.
4.	^ 这是 $L$ 中包含 $M$ 并且在 $K$ 上正规的最小子域, 它由 $K$ 添加上 $M$ 中元素的在 $K$ 上的极小多项式的所有根生成.