5.2. 代数闭包

命题 5.2.1. $K$ 是域, $P\in K[X]$, 则存在有限域扩张 $K_P$, 使得 $P$ 在 $K_P$ 中有根, 即存在 $y\in K_P$, 使得 $P(y)=0$.

证明. 不妨设 $P(X)$ 不可约, 否则考虑 $P$ 的一个不可约因子即可. 考虑环同态的复合$$K\hookrightarrow K[X]⟶K[X]=:K_P.$$这是 $K$ 的有限扩张. 记 $\phi :K[X]⟶K_P$, 记 $X\in K[X]$ 在 $K_P$ 中的像为 $y$, 即 $\phi (X)=y$.

由于 $P(X)$ 在 $K[X]$ 中的像为 $0$, 根据 $\phi$ 是域同态, 有$$P(\phi (X))=\phi (P(X))=0,$$即 $P(y)=0$.

$\square$

命题 5.2.2. $K$ 是域, 则如下性质等价:

1)	每个次数至少为 $1$ 的多项式 $P\in K[X]$ 在 $K$ 中有根;
2)	$K[X]$ 中不可约多项式 (默认其次数至少为 $1$) 的均为 $1$ 次多项式;
3)	若 $L$ 是代数扩张, 则 $L=K$.

若 $K$ 满足以上性质, 则称其为代数封闭域.

证明.  1)$\iff$ 2) 是显然的. 先证明 2)$\Rightarrow$ 3): 对任意的 $x\in L$, 令 $P\in K[X]$ 为其极小多项式, 从而, $P(X)=X-x$, 从而, $x\in K$, 即 $L\subset K$.

再证 3)$\Rightarrow$ 2). 任选不可约多项式 $P\in K[X]$, 则 $K_P$ 是代数扩张, 从而 $K_P=K$. 所以, $\mathrm{deg}(P)=[K_P:K]=1$.

$\square$

定义 5.2.3. $K$ 是域, 若 $\Omega$ 为代数扩张且 $\Omega$ 是代数封闭域, 就称 $\Omega$ 为 $K$ 的一个代数闭包.

以下我们证明域 $K$ 具有唯一 (在 $K$-同构的意义下) 的代数闭包.

5.2.1代数闭包的存在性

引理 5.2.4. $K$ 是域, $P(X)\in K[X]$, 则存在代数扩张 $L$, 使得 $P$ 在 $L$ 中分裂, 即在 $L[X]$ 中, 有$$P(X)=a(X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_n).$$其中 $a\in K$, ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in L$.

证明. 对 $P$ 的次数进行归纳: 当 $\mathrm{deg}(P)⩽1$ 时, 命题是平凡的. 假设 $\mathrm{deg}(P)⩾2$, 根据命题 5.2.1, $P(X)$ 在代数扩张 $K_P$ 中有根 $\alpha$. 将 $P(X)$ 视为 $K_P$ 系数的多项式, 则它在 $K_P[X]$ 中分解为$$P(X)=(X-\alpha )\cdot Q(X),$$其中, $\alpha \in K_P$ 并且 $\mathrm{deg}(Q)<\mathrm{deg}(P)$. 根据归纳假设, 存在代数扩张 $L$, 使得 $Q(X)$ 在 $L[X]$ 中分裂, 所以 $P(X)=Q(X)(X-\alpha )$ 也在 $L[X]$ 中分裂.

$\square$

引理 5.2.5 (E. Artin). $K$ 是域, 则存在域扩张 $L$, 使得对任意次数至少为 $1$ 的多项式 $P(X)\in K[X]$, $P$ 在 $L$ 中有根.

证明. 定义由 $K$ 上所有非常数多项式作为不定元生成的多项式环$$A:=K\left[X_P|P\in K[X],\mathrm{deg}(P)⩾1\right]=\bigcup _{\genfrac{}{}{0ex}{}{F\subset K[X]-K,}{|F|<\infty }}K[X_P|P\in F].$$令 $\mathfrak{J}$ 为由形如 $P(X_P)$ 的元素所生成的理想, 即$$\mathfrak{J}=\left(P(X_P)|P\in K[X],\mathrm{deg}(P)⩾1\right),$$其中, 对 $P(X)=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i$, $P(X_P)=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}_P^i\in A$, 其中, $a_i\in K$. 类似于命题 5.2.1, 对任意的 $P\in K[X]$, $P$ 在 $A$ 中有根. 为了保证得到域扩张, 还需要如下的细节:

•

$\mathfrak{J}\ne A$. 若不然, 则有 $P_1,\cdots ,P_n\in K[X]$ 以及 $Q_1,\cdots ,Q_n\in A$, 使得$$\sum _{k=1}^n{Q}_k\cdot P_k(X_{P_k})=1.$$不失一般性, 可假设 $Q_k=Q_k(X_{P_1},\cdots ,X_{P_n})$. 用变元 $T_k$ 表示 $X_{P_k}$, 以上等式表明$$\sum _{k=1}^n{Q}_k(T_1,\cdots ,T_n)\cdot P_k(T_k)=1.$$(5.2.1)根据引理 5.2.4, 存在域扩张 $K^{\prime }$, 使得每个 $P_k$ 在 $K^{\prime }$ 中有根 ${\alpha }_k$, 其中, $k=1,\cdots ,n$. 据此, 可以构造环同态$$K[T_1,\cdots ,T_k]\to K^{\prime },T_k\mapsto {\alpha }_k,k=1,\cdots ,n.$$此时, (5.2.1) 的左端的像为 $0$ 而右端的像为 $1$, 矛盾.

•

任选 $A$ 的极大理想 $\mathfrak{m}$, 使得 $\mathfrak{m}\supset \mathfrak{J}$ 并定义 $L=A$. 那么, $L$ 是域并且以下复合映射$$K\to A\to A$$给出了域扩张 $L$

根据 $\mathfrak{J}$ 的定义, $P(X_P)$ 在 $A$ 中为 $0$, 从而在 $A$ 中为 $0$, 即 $X_P+\mathfrak{m}\in L$ 是多项式 $P(X)$ 的根.

$\square$

注记 5.2.6. 给定域 $K$, 记以上引理中的 $L=A$ 为 $E(K)$. 我们注意到以上的构造过程不能保证 $E(K)$ 为代数扩张.

对 $k⩾1$, 我们归纳地定义$$E^{k+1}(K)=E(E^k(K)).$$这给出了域扩张的序列: 令 $E^{\infty }(K)={\bigcup }_{k⩾1}{E}^k(K)$, 则 $E^{\infty }(K)$ 是域: 因为对任意的 $x\in E^{\infty }(K)$, 则存在 $k⩾1$, 使得 $x\in E^k(K)$, 从而 $x^{-1}\in E^k(K)\subset E^{\infty }(K)$.

根据构造, $E^{\infty }(K)$ 还是代数封闭域: 实际上, 对任意 $P(X)\in E^{\infty }(K)[X]$, 存在 $k⩾1$, 使得 $P(X)\in E^k(K)[X]$. 此时, $P(X)$ 的根均落在 $E^{k+1}(K)\subset E^{\infty }(K)$ 中.

引理 5.2.7. 给定域扩张 $L$, 其中 $L$ 是代数封闭域, 则$$\Omega =\{x\in L|\text{ x 在 K 上是代数的}\}$$是 $K$ 的代数闭包.

证明. 由于 $\Omega =K(\Omega )$ 是 $K$ 通过添加代数元得到域扩张, 所以 $\Omega$ 是代数扩张. 现在证明 $\Omega$ 是代数封闭的. 任选多项式$$P(X)={\omega }_n{X}^n+\cdots +{\omega }_{1}X+{\omega }_0\in \Omega [X],$$根据 $L$ 是代数封闭的, 对任意 $P$ 的根 $x\in L$, 只要证明 $x\in \Omega$ 即可. 根据 $\Omega$ 的定义, 这等价于证明 $x$ 在 $K$ 上是代数的. 实际上, 由于 ${\omega }_0,\cdots ,{\omega }_n$ 在 $K$ 上是代数的, $x$ 在 $K({\omega }_0,\cdots ,{\omega }_n)$ 上是代数的, 所以域扩张是有限扩张. 从而, $x$ 在 $K$ 上是代数的.

$\square$

根据这个引理, 我们最终可以完成 $K$ 的代数闭包的构造. 定义$$\Omega =\left\{x\in E^{\infty }(K)|x\text{ 在K上是代数的}\right\}.$$由于 $E^{\infty }(K)$ 是代数封闭的, 所以 $\Omega$ 是 $K$ 的代数闭包.

5.2.2域同态扩张的技术引理

给定域扩张 $L$, $x\in L$, $P(X)\in K[X]$ 是 $x$ 的极小多项式, 我们有域同构$${\mathrm{ev}}_x:K[X]\stackrel{\simeq }{⟶}K(x)=K[x]\subset L,Q(X)\mapsto Q(x).$$特别地, $x\in L$ 定义出 $K$-同态: $${\mathrm{ev}}_x:K[X]⟶L,Q(X)\mapsto Q(x).$$

引理 5.2.8. 给定域扩张 $L$ 以及不可约多项式 ¹ $P(X)\in K[X]$, 令 $Z_P(L)$ 为 $P$ 在 $L$ 中 (不同的) 根的集合, 即$$Z_P(L)=\{P(\alpha )=0|\alpha \in L\}.$$那么, 我们有如下一一对应: 特别地, $\left|{\mathrm{Hom}}_K\left(K[X],L\right)\right|⩽\mathrm{deg}(P)$.

注记 5.2.9. 简而言之, 不可约多项式 $P(X)$ 在 $L$ 中不同根的个数等于把 $K_P\simeq K[X]$ 到 $L$ 的 $K$-同态的个数. 特别地, 重根的出现使得域 $K_P$ 到 $L$ 的 $K$-同态减少.

证明. 给定 $\alpha \in Z_P(L)$, 由于 $P$ 不可约, 在 $\alpha$ 处取值所定义环同态$${\mathrm{ev}}_{\alpha }:K[X]\to L,Q(X)\mapsto Q(\alpha ),$$的核是 $(P(X))$. 这就定义了 $K$-同态: $${\mathrm{ev}}_{\alpha }:K[X]\to L,Q(X)\mapsto Q(\alpha ).$$

反之, 对任意的 $K$-同态: $$\phi :K[X]\to L,$$令 $\alpha =\phi (X+(P(X)))$. 由于 $P(X)$ 的像为 $0$, 所以, $$P(\alpha )=0=P\left(\phi \right(X+(P(X))\left)\right)=\phi (P(X))=0.$$这就给出 $P$ 在 $L$ 中的一个根.

不难验证, 以上映射互为逆, 这就是命题要求的一一对应.

由于 $Z_P(L)⩽\mathrm{deg}(P)$, 所以 $\left|{\mathrm{Hom}}_K\left(K[X],L\right)\right|⩽\mathrm{deg}(P)$.

$\square$

注记 5.2.10. 该引理可以给出 $K[X]$ 的 $K$-自同构个数的控制: $$\begin{array}{rl}\left|{\mathbf{Aut}}_K\left(K[X]\right)\right|& =\left|{\mathbf{Hom}}_K\left(K[X],K[X]\right)\right|\\ & =Z_P\left(K[X]\right)⩽\mathrm{deg}(P)=[K[X]:K].\end{array}$$

注记 5.2.11 (多项式系数的扩张). 给定域同态 $\sigma :K\to L$, 给定域 $K$ 以及 $P(X)\in K[X]$. 通过对系数的作用, 多项式 $P^{\sigma }(X)\in L[X]$ 定义为: $$P^{\sigma }(X)=\sum _{k=0}^n\sigma (a_k)X^k,\text{其中，}P(X)=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k.$$据此, 我们得到环同态: $$K[X]⟶L[X],P\mapsto P^{\sigma }.$$实际上, $P^{\sigma }\in \sigma (K)[X]\subset L[X]$.

引理 5.2.8 在此情形下可以重新表述为如下的一一对应: $$Z_{P^{\sigma }}(L)\stackrel{1:1}{⟶}{\mathrm{Hom}}_{\sigma }\left(K[X],L\right).$$其中, 域同态 $\phi \in {\mathrm{Hom}}_{\sigma }\left(K[X],L\right)$ 指的是对任意的 $k\in K$ 和 $y\in K[X]$, 我们有$$\phi (k\cdot y)=\sigma (k)\phi (y).$$实际上, 给定域扩张 $L,L^{\prime }$ 和域同态 $\sigma :K\to K^{\prime },\phi :L\to L^{\prime }$, 对任意的 $x\in K$, $\phi (x)=\sigma (x)$, 就称 $\phi$ 为 $\mathbf{\sigma }$-同态. 我们习惯上用 ${\mathbf{Hom}}_{\sigma }(L,L^{\prime })$ 表示所有的 $\sigma$-同态.

当 $K$ 是 $L$ 的子域而 $\sigma =\mathrm{id}$ 为嵌入映射时, 引理 5.2.8 时上述一一对应的特例.

我们现在陈述代数封闭域的一种泛性质:

命题 5.2.12 (代数扩张的同态延拓). 给定代数扩张 $L$, $E$ 是代数封闭域. 对任意的域同态 $\phi :K\to E$, 存在域同态 $\overline{\phi }:L\to E$, 使得 $\overline{\phi }{|}_K=\phi$.

注记 5.2.13. 我们不假设 $L$ 是有限扩张.

证明. 考虑如下延拓的集合$$\mathcal{X}=\{(F,\varphi )|\text{F是L╱K的中间域，ϕ:F→E是域同态并且ϕ∣∣K=φ}\}.$$注意到 $\mathcal{X}$ 是非空的: $(K,\phi )\in \mathcal{X}$.

我们在 $\mathcal{X}$ 上定义偏序关系: $(F,\varphi )⪯(F^{\prime },{\varphi }^{\prime })$, 指的是 $F\subset F^{\prime }$ 且 ${\varphi }^{\prime }{|}_F=\varphi$, 即对 $\mathcal{X}$ 的全序子集 $\{(F_i,{\varphi }_i){\}}_{i\in I}\subset \mathcal{X}$, 定义$$F_{\infty }:=\bigcup _{i\in I}{F}_i,{\varphi }_{\infty }{|}_{F_i}={\varphi }_i.$$这就给出了 ²$\{(F_i,{\varphi }_i){\}}_{i\in I}$ 的一个上界 $(F_{\infty },{\varphi }_{\infty })$. 根据 Zorn 引理, $\mathcal{X}$ 中有极大元 $(F,\varphi )$. 如果这可以证明 $F=L$, 那么 $(F,\varphi )$ 就是 $\phi$ 在 $L$ 上的延拓.

如若不然, 任选 $x\in L-F$ 并考虑 $x$ 在 $F$ 上 ($x$ 在 $F$ 上仍然是代数) 的极小多项式 $P(X)$ 和域同构$${\mathrm{ev}}_x:F[X]\stackrel{\simeq }{⟶}F(x)\subset L.$$通过同态 $\varphi :F\to E$, 我们知道 $P^{\phi }$ 在 $E$ 中有根 (因为 $E$ 是代数封闭的) . 根据引理 5.2.8, 我们就有域同态$$\overline{\varphi }:F[X]⟶E.$$从而, 我们得到域同态$$\overline{\varphi }\circ ({\mathrm{ev}}_x{)}^{-1}:F(x)⟶E.$$容易看出, $\overline{\varphi }{|}_F=\phi$. 由于 $F(x)$ 是严格比 $F$ 大的中间域, 这与 $F$ 的极大性矛盾.

$\square$

5.2.3代数闭包的唯一性

我们证明代数闭包的唯一性.

引理 5.2.14. $L$ 是代数扩张, 则 ${\mathbf{End}}_K(L)={\mathbf{Aut}}_K(L)$, 即代数扩张的 $K$-自同态必为自同构.

证明. 由于域同态为单射. 只要证明任意的 $\phi \in {\mathbf{Hom}}_K(L,L)$, $\phi$ 是满射即可. 实际上, 对任意的 $x\in L$, 令 $P$ 为其极小多项式而 $Z_P(L)$ 为 $P$ 在 $L$ 中根的集合. 那么, $\phi$ 把 $P$ 的根映射为 $P$ 的根, 从而我们有单射: $$\phi :Z_P(L)\to Z_P(L).$$由于多项式根的个数是有限, 所以 $Z_P$ 是有限集. 那么, $\phi :Z_P\to Z_P$ 是满射. 特别地, 存在 $y\in Z_P(L)\subset L$, 使得 $\phi (y)=x$.

$\square$

$K$ 是域, 假设 ${\Omega }_i$ 是 $K$ 的代数闭包, 即 ${\Omega }_i$ 是代数扩张并且 ${\Omega }_i$ 是代数封闭域, 其中 $i=1,2$. 根据命题 5.2.12, 存在域同态$$\begin{gathered} \phi \in {\mathrm{Hom}}_K({\Omega }_1,{\Omega }_2), \\ psi\in {\mathrm{Hom}}_K({\Omega }_2,{\Omega }_1). \end{gathered}$$通过复合, 我们就有 $\psi \circ \phi \in {\mathrm{End}}_K({\Omega }_1)$. 以上引理表明 $\psi \circ \phi$ 是 ${\Omega }_1$ 的 $K$-自同构; 类似地, $\phi \circ \psi$ 是 ${\Omega }_2$ 的 $K$-自同构. 从而, $\phi$ 和 $\psi$ 均为同构. 综上所述, $K$ 的代数闭包在 $K$-自同构的意义下是唯一的.

从此往后, 对任意域 $K$, 在 $K$-同构的意义下, 我们用 $\overline{K}$ 表示它的代数闭包. 如果 $K$ 是代数封闭域, 我们自然有 $\overline{K}=K$.

例子 5.2.15 ($\overline{\mathbb{Q}}$ 的构造). 对 $\mathbb{C}$ 使用引理 5.2.7, 这表明 $\overline{\mathbb{Q}}$ 就是 $\mathbb{C}$ 中有理系数多项式的根组成的集合: $$\mathbb{Q}=\{z\in \mathbb{C}|\text{存在P∈Q[X]，使得}P(z)=0\}.$$

1.	^ 默认每个不可约多项式的次数至少是 $1$
2.	^ 需要利用良序性验证 $F_{\infty }$ 是域且 ${\varphi }_{\infty }$ 的定义不依赖于 $i$ 的选取, 这些细节是平凡的.