2.7. 习题

2.7.1乘积结构
2.7.2域的有限乘法子群是循环群
2.7.3线性群中元素的阶的几个命题
2.7.4有限群乘积的消去定理
2.7.5练习题

2.7.1乘积结构

1.	$(G_{1}, \cdot_{_{1}})$ 和 $(G_{2}, \cdot_{_{2}})$ 是群, 在 $G_{1} \times G_{2}$ 上如下定义乘法: $(g_{1}, g_{2}) \cdot (g_{1}^{'}, g_{2}^{'}) := (g_{1} \cdot_{_{1}} g_{1}^{'}, g_{2} \cdot_{_{2}} g_{2}^{'}) .$ 证明, 在以上乘法下, $G_{1} \times G_{2}$ 是群并且其单位元为 $(1_{_{1}}, 1_{_{2}})$ . 这个群被称为 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的乘积.
2.	证明, 投影映射 $π_{1} : G_{1} \times G_{2} \to G_{1}, (g_{1}, g_{2}) \mapsto g_{1},$ 和 $π_{2} : G_{1} \times G_{2} \to G_{2}, (g_{1}, g_{2}) \mapsto g_{2},$ 是群同态. 它们的核是什么?
3.	(泛性质) 给定群 $(G_{1}, \cdot_{_{1}})$ 和 $(G_{2}, \cdot_{_{2}})$ . 证明, 存在唯一的 ¹群 $G$ 以及唯一的群同态 $p_{i} : G \to G_{i}$ ( $i = 1, 2$ ) 使得对任意的群 $H$ 和任意的群同态 $φ_{i} : H \to G_{i}$ ( $i = 1, 2$ ) , 存在唯一的 $ψ : H \to G$ , 使得 $p_{i} \circ ψ = φ_{i}$ ( $i = 1, 2$ ) . 特别地, 我们有如下的集合之间的同构: $Hom (H, G_{1} \times G_{2}) ≃ Hom (H, G_{1}) \times Hom (H, G_{2}), ψ \mapsto (p_{1} \circ ψ, p_{2} \circ ψ) .$ (提示: 利用 A2) 给出 $G$ 的存在性; 利用 $ψ$ 的唯一性证明 $G$ 的唯一性)
4.	给定互素的正整数 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ . 利用 A3) 证明, $Z ╱ n_{1} n_{2} Z \to Z ╱ n_{i} Z, \overline{k} \mapsto k (mod n_{i}), i = 1, 2,$ 给出了群同构 $Z ╱ n_{1} n_{2} Z ⟶ ≃ Z ╱ n_{1} Z \times Z ╱ n_{2} Z .$ 以上, $Z ╱ n Z$ 表示的是 (加法) 循环群.
5.	$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 是两个有限阶的循环群, 那么, $C_{1} \times C_{2}$ 是否是循环群?
6.	$(A_{1}, +_{_{1}}, \cdot_{_{1}})$ 和 $(A_{2}, +_{_{2}}, \cdot_{_{2}})$ 是环. 我们在 $A_{1} \times A_{2}$ 上如下定义加法 $+$ 和乘法 $\cdot$ : $(a_{1}, a_{2}) + (a_{1}^{'}, a_{2}^{'}) := (a_{1} +_{_{1}} a_{1}^{'}, a_{2} +_{_{2}} a_{2}^{'}), (a_{1}, a_{2}) \cdot (a_{1}^{'}, a_{2}^{'}) := (a_{1} \cdot_{_{1}} a_{1}^{'}, a_{2} \cdot_{_{2}} a_{2}^{'}) .$ 证明, 选取加法单位元 $(0_{_{1}}, 0_{_{2}})$ 和乘法单位元 $(1_{_{1}}, 1_{_{2}})$ , $A_{1} \times A_{2}$ 在以上运算下是环. 我们把这个环称作是 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 的乘积. 进一步证明, 投影映射 $π_{1} : A_{1} \times A_{2} \to A_{1}, (a_{1}, a_{2}) \mapsto a_{1},$ 和 $π_{2} : A_{1} \times A_{2} \to A_{2}, (a_{1}, a_{2}) \mapsto a_{2},$ 是环同态.
7.	(泛性质) 给定环 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ . 证明, 存在唯一的 ²环 $A$ 以及唯一的环同态 $p_{i} : A \to A_{i}$ ( $i = 1, 2$ ) 使得对任意的环 $B$ 和任意的环同态 $φ_{i} : B \to A_{i}$ ( $i = 1, 2$ ) , 存在唯一的 $ψ : B \to A$ , 使得 $p_{i} \circ ψ = φ_{i}$ ( $i = 1, 2$ ) .
8.	给定互素的正整数 $m$ 和 $n$ . 证明, 我们有环同构 ³ $Z ╱ mn Z ⟶ ≃ Z ╱ m Z \times Z ╱ n Z .$ (提示: 使用中国剩余定理)
9.	$A$ 和 $B$ 是环, $A^{\times}$ 和 $B^{\times}$ 是它们的乘法可逆元所构成的 (乘法) 群. 证明, 我们有群同构 $(A \times_{_{ring}} B)^{\times} ≃ A^{\times} \times_{_{group}} B^{\times},$ 其中, $\times_{_{ring}}$ 代表着环的乘积, $\times_{_{group}}$ 代表着群的乘积.

2.7.2域的有限乘法子群是循环群

给定正整数 $n$ , Euler 的 $ϕ$ -函数给出 $1, \dots, n$ 中与 $n$ 互素的数的个数: $ϕ (n) = ∣ ∣ {1 ⩽ k ⩽ n ∣ ∣ (k, n) = 1} ∣ ∣ .$

1.

证明, $∣ ∣ (Z ╱ n Z)^{\times} ∣ ∣ = ϕ (n)$ , 其中, $(Z ╱ n Z)^{\times}$ 是环 $Z ╱ n Z$ 的可逆元组成的 (乘法) 子群.

2.

证明, $ϕ$ 具有如下乘性: 对任意互素的正整数 $n$ 和 $m$ , 有 $ϕ (nm) = ϕ (n) ϕ (m) .$ 进一步, 如果 $n = p_{1}^{α_{1}} \dots p_{k}^{α_{k}}$ 是它的素因子分解, 其中, $p_{i}$ 为不同的素数而指标 $α_{i}$ 均为正整数, 证明: $ϕ (n) = n (1 - \frac{1}{p _{1}}) (1 - \frac{1}{p _{2}}) \dots (1 - \frac{1}{p _{k}}) .$

3.

证明, 对任意正整数 $n$ , 对任意与 $n$ 互素的整数 $a$ , 有 $a^{ϕ (n)} \equiv 1 (mod n)$ . 特别地, 当 $p$ 为素数时, 这给出了 Fermat 小定理.

4.

(有限循环群子群的分类) 证明, 作为加法群, 对每个 $n$ 的因子 $d$ , $Z ╱ n Z$ 恰有一个阶为 $d$ 的循环子群 $C_{d}$ . 进一步, $Z ╱ n Z$ 的每个子群均形如 $C_{d}$ , 其中, $d ∣ n$ .

5.

证明, 对任意的正整数 $n$ , 我们有公式 $n = d ∣ n \sum ϕ (d) .$

6.

$K$ 是域, $G < K^{\times}$ 是有限群, $∣ G ∣ = n$ . 对任意的 $d ∣ n$ , 令 $G_{d}$ 为 $G$ 中阶为 $d$ 的元素组成的集合. 证明, $n = d ∣ n, G_{d} \neq = \emptyset \sum ϕ (d) .$

7.

证明, $G$ 是循环群.

8.

证明, $(Z ╱ p Z)^{\times}$ 是循环群, 其中, $p$ 是素数.

9.

对于奇素数 $p$ 和 $m ⩾ 2$ , 我们证明 $(Z ╱ p^{m} Z)^{\times}$ 是循环群:

∘	证明, $(1 + p)^{p^{k}} \equiv 1 + p^{k + 1} mod p^{k + 2}$ , 其中 $k ⩾ 0$ . 据此证明 $\overline{p + 1} \in (Z ╱ p^{m} Z)^{\times}$ 的阶为 $p^{m - 1}$ .
∘	证明, 存在 $\overline{k} \in (Z ╱ p^{m} Z)^{\times}$ , 其阶为 $p - 1$ .
∘	证明, 存在 $\overline{l} \in (Z ╱ p^{m} Z)^{\times}$ , 使得 $⟨ \overline{l} ⟩ = (Z ╱ p^{m} Z)^{\times}$ .

10.

对于 $m ⩾ 2$ , 我们给出 $(Z ╱ 2^{m} Z)^{\times}$ 的结构:

∘	证明, $(1 + 2^{2})^{2^{k}} \equiv 1 + 2^{k + 2} mod 2^{k + 3}$ , 其中 $k ⩾ 0$ . 据此证明, $\overline{5} \in (Z ╱ 2^{m} Z)^{\times}$ 的阶为 $2^{m - 2}$ .
∘	证明, 映射 (以下左边是加法群, 右边是乘法群) $Z ╱ 2 Z \times Z ╱ 2^{m - 2} Z ⟶ (Z ╱ 2^{m} Z)^{\times}, (a, b) \mapsto (- 1)^{a} 5^{b} mod 2^{m} .$ 是群同构.

11.

(Gauss) 证明, 对任意正整数 $n$ , $(Z ╱ n Z)^{\times}$ 是循环群当且仅当 $n$ 形如 $1, 2, 4, p^{m}$ 或 $2 p^{m}$ , 其中, $m ⩾ 1$ 而 $p$ 为奇素数. 此时, $(Z ╱ n Z)^{\times}$ 的每个生成元 $\overline{l}$ 都被称为 $n$ 的原根.

2.7.3线性群中元素的阶的几个命题

1.

令 $M_{n} (Z)$ 为整系数的 $n \times n$ 矩阵的集合, 令 $GL (n; Z) = {A \in M_{n} (Z) ∣ ∣ A 可逆并且 A^{- 1} \in M_{n} (Z)} .$

∘	证明, $GL (n; Z) = {A \in M_{n} (Z) ∣ ∣ det (A) = \pm 1}$ .
∘	如果 $A \in GL (2; Z)$ 的阶有限, 证明, $ord (A) \in {1, 2, 3, 4, 6}$ .
∘	证明, 存在只依赖于 $n$ 的常数 $C_{n}$ , 若 $A \in GL (n; Z)$ 的阶有限, 则 $∣ ∣ ord (A) ∣ ∣ ⩽ C_{n}$ .

2.

$p$ 是素数, $q$ 是 $p$ 的幂, 域 $F_{q}$ 有 $q$ 个元素. 我们已知 $GL (n; F_{q})$ 共有 $k = 0 \prod n - 1 (q^{n} - q^{k})$ 个元素.

∘	对任意的 $A \in GL (n; F_{q})$ , 证明, 集合 ${P (A) ∣ ∣ P \in F_{q} [X]}$ 至多有 $q^{n}$ 个元素. 以上, 对于 $P (X) = k = 0 \sum n a_{k} X^{k}$ , 其中, $a_{k} \in F_{q}$ , 我们定义 $P (A) = k = 0 \sum n a_{k} \cdot A^{k}$ .
∘	证明, 对任意的 $A \in GL (n; F_{q})$ , $ord (A) ⩽ q^{n} - 1$ .
∘	给定如下的结论: 存在 $K = F_{q}$ 的域扩张 $L = F_{q^{n}}$ , 使得 $[L : K] = n$ . 证明, 存在 $A \in GL (n; F_{q})$ , $ord (A) = q^{n} - 1$ .

所以, $GL (n; F_{q})$ 中元素的阶的最大值恰好是 $q^{n} - 1$ .

2.7.4有限群乘积的消去定理

在练习题部分, 我们将证明如下的子群对应定理: $φ : G ↠ G^{'}$ 是满的群同态, 我们有如下双射: ${H ∣ ∣ H < G, H \supset Ker (φ)} ⟶ 1 : 1 {H^{'} ∣ ∣ H^{'} < G^{'}}, H \mapsto φ (H) .$ 进一步, 假设以上对应把 $H$ 映射成 $H^{'}$ , 那么, $H$ 是 $G$ 的正规子群当且仅当 $H^{'}$ 是 $G^{'}$ 的正规子群.

这个定理可以用来研究有限群乘积的消去定理.

给定有限群 $G, G^{'}$ , 以下两个数值是非负整数: $M (G, G^{'}) = ∣ Hom (G, G^{'}) ∣, I (G, G^{'}) = ∣ ∣ {φ \in Hom (G, G^{'}) ∣ ∣ φ 为单射} ∣ ∣ .$

1.	证明如下等式, 其中, 以下是对所有 $G$ 的正规子群 $H$ 来求和: $M (G, G^{'}) = H ⊲ G \sum I (G ╱ H, G^{'})$
2.	证明, 对每个 $G$ 的正规子群 $H$ 存在整数 $λ_{H}$ , 使得 $I (G, G^{'}) = H ⊲ G \sum λ_{H} \cdot M (G ╱ H, G^{'}) .$ 特别地, 以上等式中的系数 ${λ_{H} ∣ ∣ H ⊲ g}$ 不依赖于 $G^{'}$ .
3.	假设 $G_{1}, G_{2}, G^{'}$ 是有限群并且 $G_{1} \times G^{'} ≃ G_{2} \times G^{'}$ . 证明, $I (G_{1}, G^{'}) = I (G_{2}, G^{'})$ .
4.	(消去定理) 证明, 若 $G_{1}, G_{2}, G^{'}$ 是有限群并且 $G_{1} \times G^{'} ≃ G_{2} \times G^{'}$ , 则 $G_{1} ≃ G_{2}$ .
5.	令 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 为有限维 $F_{2}$ -线性空间, $G^{'}$ 为 $F_{2}$ -线性空间且其基有可数无限个元素. 证明, $G_{1} \times G^{'} ≃ G_{2} \times G^{'}$ . 特别地, 这一组 $G_{1}, G_{2}, G^{'}$ 不满足消去定理.

2.7.5练习题

1.

$G$ 是群, $H \subset G$ 是有限子集并且对乘法封闭 ⁴. 证明, $H$ 是子群.

2.

假设 ${G_{i}}_{i \in I}$ 是 $G$ 的一族正规子群, 那么, $⋂_{i \in I} G_{i}$ 也是正规子群.

3.

有限集 $G$ 上定义了满足结合律的乘法 $G \times G \to G, (g_{1}, g_{2}) \mapsto g_{1} \cdot g_{2}$ . 假设以下两点成立:

∘	对任意的 $g, x, y \in G$ , 有 $g \cdot x = g \cdot y \Rightarrow x = y$ ;
∘	对任意的 $g, x, y \in G$ , 有 $x \cdot g = y \cdot g \Rightarrow x = y$ .

证明, $G$ 在此乘法下是群.

4.

试给出所有 (在同构意义下) 阶数不超过 $5$ 的群.

5.

$G$ 是群, $H < G$ 是子群并且 $[G : H] = 2$ . 证明, $H ⊲ G$ 是正规子群. 如果 $[G : H] = n$ , 其中, $n ⩾ 3$ , 结论是否成立?

6.

$G$ 是群, $H < G$ 是子群并且 $[G : H] = n$ . 证明, 如果 $H$ 是唯一的指标为 $n$ 的子群, 那么 $H ⊲ G$ 是正规子群.

7.

(循环群的分类) $G$ 是循环群. 证明, 或 $G ≃ Z$ , 或有正整数 $n$ 使得 $G ≃ Z ╱ n Z$ , 二者必居其一.

8.

$G$ 是 $mn$ 阶的交换群, 其中, $m, n$ 为互素. 如果存在 $g, h \in G$ , 使得其阶分别为 $m$ 和 $n$ , 证明, $G$ 为循环群.

9.

$G$ 是群并且它只有有限个子群. 证明, $G$ 是有限群.

10.

$G$ 是群. 对任意的 $g \in G$ , 共轭映射 $Int (g)$ 的定义如下: $Int (g) : G \to G, h \mapsto Int (g) (h) = g h g^{- 1} .$ 证明, 以上映射给出群同态: $G \to Aut (G), g \mapsto Int (g) .$ 并且 $Ker (Int) = Z (G)$ 而 $Im (Int) ⊲ Aut (G)$ 是正规子群.

11.

试在二面体群 $D_{4}$ 中找到两个子群 $K < H < D_{4}$ , 使得 $K ⊲ H$ , $H ⊲ D_{4}$ , 但是 $K$ 不是 $D_{4}$ 的正规子群? 这表明正规子群的关系并不传递.

12.

$G$ 是群, $K$ 和 $H$ 为其子群并且 $K ⊲ H$ , $H ⊲ G$ . 证明, 如果 $H$ 是循环群, 那么 $K ⊲ G$ .

13.

(四元数群) 令 $Q_{8} = {\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k}$ , 一共有 $8$ 个元素. 定义 $1$ 为单位元; 对任意的 $\pm x \in Q_{8}$ , 令 $(- 1) \cdot (\pm x) = (\pm x) \cdot (- 1) = \mp x$ ; 定义乘法: $i \cdot j = - j \cdot i = k, j \cdot k = - k \cdot j = i, k \cdot i = - i \cdot k = j, i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1.$ 证明, 以上给出群结构. 试找出它所有的子群并证明这些子群都是正规子群. $Q_{8}$ 与二面体群 $D_{4}$ 是否同构?

14.

(Cayley 定理: 每个 (有限) 群都同构于 (有限) 对称群的子群) $G$ 是群. 令 $X = G$ , 定义映射: $φ : G \to S_{X}, g \mapsto φ (g) : x \mapsto g \cdot_{_{G}} x, \forall x \in X .$ 证明, $G$ 是单的群同态 (从而, $G ≃ Im (φ)$ ) .

15.

证明, $Q ╱ Z$ 是无限群但是每个元素的阶都是有限的.

16.

$G$ 是群, 定义映射 $Inv : G \to G, g \mapsto g^{- 1} .$ 证明, $G$ 是交换群当且仅当 $Inv$ 是群同态.

17.

$G$ 是群, 如果对任意的 $g \in G$ , $g^{2} = 1$ , 证明, $G$ 是交换群

18.

$Z ╱ p Z$ 是 $p$ -阶加法循环群, 其中, $p$ 是素数. 证明, $Aut (Z ╱ p Z)$ 是循环群. 如果把 $p$ 替换成 $6$ 或者 $8$ , 结论是否成立?

19.

$G$ 是群, $H, K$ 为其子群. 我们定义 $H \cdot K = {h \cdot k ∣ h \in H, k \in K}$ . 证明, $H \cdot K$ 为子群当且仅当 $H \cdot K = K \cdot H$ .

20.

$G$ 是群, $H, K$ 为其有限子群. 证明, $∣ H \cdot K ∣ = \frac{∣ H ∣∣ K ∣}{∣ H \cap K ∣} .$

21.

$G$ 是群, $H, K$ 为其子群. 证明, $H \cap K < H$ 并且 $[H : H \cap K] ⩽ [G : K] .$ 假设 $[G : K]$ 有限, 进一步证明以上等号成立当且仅当 $G = K \cdot H$ .

22.

$G$ 是群, $H, K$ 为其有限指标的子群. 证明, $[G : H \cap K] ⩽ [G : H] [G : K] .$ 并且等号成立当且仅当 $G = K \cdot H$ .

23.

$φ : G \to A$ 是群同态, $A$ 是交换群. 证明, $G$ 中任意的包含 $Ker (φ)$ 的子群都是正规子群.

24.

证明, $Z (S_{n}) = 1$ , 其中, $n \neq = 2$ .

25.

试找出二面体群 $D_{n}$ 的所有正规子群, 计算 $Z (D_{n})$ 并找出 $D_{n}$ 的所有共轭类.

26.

四元数群 $Q_{8}$ 有多少共轭类? (参考第一次作业练习题 13)

27.

$S_{4}$ 中有多少个子群同构于 $S_{3}$ , 有多少个子群同构于 $S_{2}$ ?

28.

$A_{4}$ 中是否有 $6$ 阶子群?

29.

$G$ 是群, $H < G$ 是子群. 证明, $H$ 是正规子群当且仅当 $H$ 的每个左陪集都是右陪集.

30.

(第二同构定理) $G$ 是群, $K < G$ , $N ⊲ G$ . 证明, $N \cap K ⊲ K$ 并且有自然的群同构: $K ╱ N \cap K ⟶ ≃ N K ╱ N .$

31.

(第三同构定理) $G$ 是群, $K ⊲ G$ , $H ⊲ G$ 并且 $K < H$ . 证明, $H ╱ K ⊲ G ╱ K$ 并且有自然的群同构: $(G ╱ K) ╱ (H ╱ K) ⟶ ≃ G ╱ H .$

32.

(子群对应定理) $φ : G ↠ G^{'}$ 是满的群同态, 我们有如下双射: ${H ∣ ∣ H < G, H \supset Ker (φ)} ⟶ 1 : 1 {H^{'} ∣ ∣ H^{'} < G^{'}}, H \mapsto φ (H) .$ 进一步, 假设以上对应把 $H$ 映射成 $H^{'}$ , 那么, $H$ 是 $G$ 的正规子群当且仅当 $H^{'}$ 是 $G^{'}$ 的正规子群.

假设 $N ⊲ G$ 是正规子群, 对 $G \to G ╱ N$ 使用子群对应定理, 你得到什么结论?

33.

$G_{i}$ 是群, $N_{i} ⊲ G_{i}$ 是正规子群, 其中, $i = 1, 2$ . 证明, $N_{1} \times N_{2}$ 是 $G_{1} \times G_{2}$ 的正规子群并且有同构 $G_{1} ╱ N_{1} \times G_{2} ╱ N_{2} ⟶ ≃ G_{1} \times G_{2} ╱ N_{1} \times N_{2} .$

34.

(半直积: 初见) $G$ 是群, $K ⊲ G$ , $H ⊲ G$ , $K \cap H = 1$ 并且 $⟨ K \cup H ⟩ = G$ . 证明, $G ╱ K ≃ H$ .

35.

请给出 $8$ 阶群 (在同构意义下) 的清单.

1.	^ 在同构的意义下
2.	^ 在同构的意义下
3.	^ 请与第四问对比
4.	^ 即对任意的 $h_{1}, h_{2} \in H$ , $h_{1} \cdot h_{2} \in H$ .

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