2.6. 对称群 Sn

这一节研究有限集 $X$ 的对称群 ${\mathfrak{S}}_X$. 不妨设 $X=\{1,2,\cdots ,n\}$ 并将 ${\mathfrak{S}}_X$ 记为 ${\mathfrak{S}}_n$. 按照定义, 每个 $g\in \mathfrak{S}$ 都是 $\{1,2,\cdots ,n\}$ 到自身的双射, 即$$g:1\mapsto i_1,2\mapsto i_2,\cdots ,n\mapsto i_n,$$其中, $\{i_1,i_2,\cdots ,i_n\}=\{1,2,\cdots ,n\}$, 也就是说 $(i_1,i_2,\cdots ,i_n)$ 是 $\{1,2,\cdots ,n\}$ 的一个排列. 从而, $|{\mathfrak{S}}_n|=n!$. 我们用下面的记号来表示 $g$: $$g=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ i_1& i_2& \cdots & i_n\end{array}\right)$$

例子 2.6.1. ${\mathfrak{S}}_2$ 有 $2$ 个元素, 即 $1$ 和 $g=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$. 此时, $g^2=1$. 从而, ${\mathfrak{S}}_2\simeq \mathbb{Z}$. 从 ${\mathfrak{S}}_2$ 到 $\mathbb{Z}$ 的同构映射为 $\phi :1\mapsto \overline{0},g\mapsto \overline{1}$.

例子 2.6.2.

${\mathfrak{S}}_3$ 有 $6$ 个元素, 罗列如下: $$\left\{1,r=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),s=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\right\}.$$我们可以直接验证如下的乘积关系: $$r^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),sr=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right),s{r}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$$并且 $r^3=1=s^2$ 并且 $srs=r^{-1}$. 这与 ${\mathfrak{D}}_3$ 群中元素乘法满足的关系一致. 我们据此断言 ${\mathfrak{S}}_3$ 与 ${\mathfrak{D}}_3$ 是同构的. 实际上, 考虑如下标号的正三角形:

对于 $g\in {\mathfrak{D}}_3$, 它把顶点 $1$ 映射成顶点 $i_1$, $2$ 映射成顶点 $i_2$, $3$ 映射成顶点 $i_3$, 从而, $g$ 可以被看作是 ${\mathfrak{S}}_3$ 中的元素 $\phi (g)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ i_1& i_2& i_3\end{array}\right)$. 这就定义了$$\phi :{\mathfrak{D}}_3⟶{\mathfrak{S}}_3.$$这是群同态 (这恰好是下一章群作用的观点) . 由于三角形的顶点的移动决定了三角形, 以上 $i_1,i_2,i_3$ 就决定了 $g$. 从而, $\phi$ 是单射. 考虑到 $|{\mathfrak{S}}_3|=|{\mathfrak{D}}_3|=6$, $\phi$ 是群同构. 另外, ${\mathfrak{D}}_3$ 的 $r$ (旋转 $\frac{2\pi }{3}$) 和 $s$ (以过点 $1$ 和对边中点的线为轴的对称) 的作用恰好对应 ${\mathfrak{S}}_3$ 中的 $r$ 和 $s$.

我们考虑 ${\mathfrak{S}}_n$ 中一种特殊的映射: 循环. 给定 $k⩽n$ 和 $k$ 元子集 $\{x_1,\cdots ,x_k\}\subset \{1,\cdots ,n\}$, 按如下方式定义 $\{1,\cdots ,n\}$ 到自身的双射 $\sigma$: $$\sigma (x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\notin \{x_1,\cdots ,x_k\};\\ x_{i+1},& x=x_i\in \{x_1,\cdots ,x_{k-1}\};\\ x_1,& x=x_k.\end{array}$$映射 $\sigma$ 可以如下形象地表示为 $\{x_1,\cdots ,x_k\}$ 的 “轮换” (其他元素不变) : $$x_1\mapsto x_2\mapsto \cdots x_k\mapsto x_1.$$这样的 $\sigma$ 被称作是一个 $\mathbf{k}$-循环并简记为 $(x_1,x_2,\cdots ,x_k)$, $k$ 也被称作是 $\sigma$ 的长度. $2$-循环 $(x,y)$ (总假设 $x\ne y$) 被称作是对换: 它把 $x$ 和 $y$ 交换位置而保持其余位置不变. 我们规定 $1$-循环就是恒等映射.

给定 $k$-循环 $\sigma =(x_1,x_2,\cdots ,x_k)$ 和 $l$-循环 $\tau =(y_1,y_2,\cdots ,y_l)$, 如果 $\{x_1,\cdots ,x_k\}\cap \{y_1,\cdots ,y_l\}=\varnothing$, 就称它们是不交的. 如果循环 $\sigma$ 和 $\tau$ 不交, 那么它们交换, 即 $\sigma \cdot \tau =\tau \cdot \sigma$.

对任意 $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & n\\ \sigma (1)& \cdots & \sigma (n)\end{array}\right)\in {\mathfrak{S}}_n$ (这个记号即说明 $\sigma :k\mapsto \sigma (k)$) .

从某个 $x_1$ 出发, $x_1$ 被 $\sigma$ 映射到 $x_2$, $x_2$ 被 $\sigma$ 映射到 $x_3$, 如此往复, 存在这样的 $k$, 使得 $x_k$ 又被 $\sigma$ 映射到 $x_1$. 我们还要求 $k$ 是最小的.

我们再在集合 $\{1,2,\cdots ,n\}-\{x_1,\cdots ,x_k\}$ 上重复以上过程, 即从某个 $x_{k+1}$ 出发, $x_{k+1}$ 被 $\sigma$ 映射到 $x_{k+2}$, $x_{k+2}$ 被 $\sigma$ 映射到 $x_{k+3}$, 如此往复, 使得第一次出现 $l$, $x_{l+l}$ 被 $\sigma$ 映射回 $x_{k+1}$. 根据构造, 我们显然有 $\{x_1,x_2,\cdots ,x_k\}\cap \{x_{k+1},x_{k+2},\cdots ,x_{k+l}\}=\varnothing$.

继续以上过程, $g$ 的作用就与如下两两不相交的循环之积相同: $$g=(x_1,x_2,\cdots ,x_k)(x_{k+1},x_{k+2},\cdots ,x_{k+l})\cdots (x_s,\cdots ,x_n).$$根据构造, 这些循环是由 $g$ 唯一决定的.

命题 2.6.3. ${\mathfrak{S}}_n$ 中每个元素均可唯一地 (不计顺序) 表示成两两不交的循环之积. 特别地, 由循环构成的子集可生成 ${\mathfrak{S}}_n$.

注记 2.6.4. 对于 $g\in {\mathfrak{S}}_n$, 把它分解为 $g={\sigma }_1\cdot {\sigma }_2\cdots {\sigma }_m$, 其中, ${\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_m$ 分别是长度为 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 的循环并且 $k_1⩾k_2⩾\cdots ⩾k_m$ 并且 $k_1+\cdots +k_m=n$ (要求在 $g$ 作用下不动的数对应着 $1$-循环) . 按照以上规则, 我们就称 $g$ 是 $({\mathbf{k}}_1,\cdots ,{\mathbf{k}}_{\mathbf{m}})$-型的.

例子 2.6.5. 考虑 ${\mathfrak{S}}_8$ 中的元素: $$\alpha =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 2& 4& 6& 5& 1& 3& 7& 8\end{array}\right),$$根据上面命题的推理过程, 容易得到 $\alpha =(1,2,4,5)(3,6)$, 它这是 $(4,2,1,1)$-型的.

我们还可以考虑$$\beta =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 2& 3& 7& 8& 1& 6& 4& 5\end{array}\right),$$容易看出 $\beta =(1,2,3,7,4,8,5)$, 从而是 $(7,1)$-型的. 另外, 我们还可以把 $\beta$ 写成下面循环的乘积: $$\beta =(1,2,3,5)\cdot (3,7)\cdot (7,4,8).$$后两个循环是相交的, 这和上述命题唯一性的部分不矛盾.

注记 2.6.6 (共轭的计算). 对 $g\in {\mathfrak{S}}_n$, 其共轭$$\mathrm{Int}(g):{\mathfrak{S}}_n\to {\mathfrak{S}}_n,\sigma \mapsto g\sigma g^{-1},$$的计算是关于 ${\mathfrak{S}}_n$ 研究中最基本的技术手段.

先研究 $g$ 对 $k$-循环 $\sigma =(x_1,\cdots ,x_k)$ 的共轭. 分情况计算 $(g\cdot \sigma \cdot g^{-1})(g(x))$:

•	$x=x_j$. 此时, $$(g\cdot \sigma \cdot g^{-1})(g(x_j))=g(x_{j+1}),x_{k+1}=x_1.$$
•	$x\notin \{x_1,\cdots ,x_k\}$. 此时, $$(g\cdot \sigma \cdot g^{-1})(g(x))=g(x).$$

综上所述, 我们得到共轭公式: $$g\cdot (x_1,\cdots ,x_k)\cdot g^{-1}=(g(x_1),\cdots ,g(x_k)).$$

练习 2.6.7. 证明, 若 $n⩾3$, 则 ${\mathfrak{S}}_n$ 的中心是平凡的, 即 $\mathrm{Z}({\mathfrak{S}}_n)=1$.

命题 2.6.8. ${\mathfrak{S}}_n$ 中的元素 $\alpha$ 和 $\beta$ 共轭 (即有 $g\in {\mathfrak{S}}_n$, 使得 $g\alpha g^{-1}=\beta$) 当且仅当它们具有相同的型.

证明. 对于 $(k_1,\cdots ,k_m)$-型的 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, 有 $\sigma ={\sigma }_1\cdot {\sigma }_2\cdots {\sigma }_m$, 其中, ${\sigma }_i$ 为 $k_i$-循环. 我们计算其共轭: $$\mathrm{Int}(g)(\sigma )=g{\sigma }_1{g}^{-1}\cdot g{\sigma }_2{g}^{-1}\cdots g{\sigma }_m{g}^{-1}.$$上述公式表明 $g{\sigma }_i{g}^{-1}$ 仍为 $k_i$-循环, 从而, $\mathrm{Int}(g)(\sigma )$ 与 $g$ 具有相同的型. 反之, 任给两个 $(k_1,\cdots ,k_m)$-型的元素: $$\{\begin{array}{l}\alpha =(x_1,\cdots ,x_{k_1})(x_{k_1+1},\cdots ,x_{k_1+k_2})\cdots (x_{k_1+\cdots +k_{m-1}+1},\cdots ,x_n),\\ \beta =(y_1,\cdots ,y_{k_1})(y_{k_1+1},\cdots ,y_{k_1+k_2})\cdots (y_{k_1+\cdots +k_{m-1}+1},\cdots ,y_n),\end{array}$$我们定义 $g\in {\mathfrak{S}}_n$ 使得对 $i=1,\cdots ,n$, $g(x_i)=y_i$. 根据上述公式, $g\alpha g^{-1}=\beta$. 从而,

$\square$

注记 2.6.9. 对于群 $G$ 以及 $x,y\in G$, 如果存在 $g\in G$, 使得 $gx{g}^{-1}=y$, 就称 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 共轭并记作 $x\sim y$. 这显然是 $G$ 上的一个等价关系. 给定 $g\in G$, 用 $\mathrm{Conj}(g)$ 表示与 $g$ 共轭的元素的集合. 据此, 我们可以把 $G$ 分划成如下的共轭类的无交并: $$G=\coprod _{[g]\in G}\mathrm{Conj}(g).$$

根据上述命题, ${\mathfrak{S}}_n$ 的共轭类由其型决定, 从而, 其共轭类的个数是将 $n$ 分拆成若干个不同的正整数之和的方式的个数.

当 $n=4$ 时, 由于 $4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1$, 从而 ${\mathfrak{S}}_4$ 有 $5$ 个共轭类.

本节之末我们会用 ${\mathfrak{S}}_n$ 的共轭类来研究其自同构群 $\mathbf{Aut}({\mathfrak{S}}_n)$.

注记 2.6.10 (对称群的共轭映射的意义). 给定 $n$ 元集合 $X$ 和 $Y$ 并考虑相应的对称群 ${\mathfrak{S}}_X$ 和 ${\mathfrak{S}}_Y$, 它们分别是 $X$ 和 $Y$ 到自身的双射在映射复合作为乘法下所构成的群.

现在任意指定双射 $f:X\to Y$, 据此可以构造 ${\mathfrak{S}}_X$ 与 ${\mathfrak{S}}_Y$ 之间的群同构, 由如下交换图定义: 即定义映射$$F_f:{\mathfrak{S}}_X\to {\mathfrak{S}}_Y,\sigma \mapsto F_f(\sigma )=f\circ \sigma \circ f^{-1}.$$容易证明 $F_f$ 是群同构.

作为例子, 选取 $X=Y=\{1,2,\cdots ,n\}$, $f=g\in {\mathfrak{S}}_n$, 则 $g$ 可被视为 ${\mathfrak{S}}_n$ 中的元素并具有明显的意义: 将 $1,2,\cdots ,n$ 重新标号. 此时, 上述 $F_f$ 就是共轭 $\mathrm{Int}(g)$, 它的含义是将 $\{1,2,\cdots ,n\}$ 重新标注顺序后对 ${\mathfrak{S}}_n$ 的影响.

定理 2.6.11. 对换的集合 $\{(x,y)|1⩽x<y⩽n\}$ 生成 ${\mathfrak{S}}_n$, 即每个 ${\mathfrak{S}}_n$ 可以写成对换之积. 进一步, 对于 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, 若$$\sigma ={\sigma }_1^{\prime }\cdot {\sigma }_2^{\prime }\cdots {\sigma }_k^{\prime }={\sigma }_1^{\prime \prime }\cdot {\sigma }_2^{\prime \prime }\cdots {\sigma }_l^{\prime \prime },$$是把 $\sigma$ 写成对换之积的两种方式, 则 $k-l$ 是偶数.

证明. 只要证明轮换可被写成对换之积即可. 实际上, 我们容易验证$$(x_1,x_2,\cdots ,x_k)=(x_1,x_k)\cdots (x_1,x_3)\cdot (x_1,x_2),$$或者$$(x_1,x_2,\cdots ,x_k)=(x_1,x_2)\cdot (x_2,x_3)\cdots (x_{k-1},x_k).$$

现在证明 $k-l$ 是偶数. 将等式 ${\sigma }_1^{\prime }\cdot {\sigma }_2^{\prime }\cdots {\sigma }_k^{\prime }={\sigma }_1^{\prime \prime }\cdot {\sigma }_2^{\prime \prime }\cdots {\sigma }_l^{\prime \prime }$ 左边的元素逐一取逆, 我们得到$$1={\sigma }_1^{\prime \prime }\cdot {\sigma }_2^{\prime \prime }\cdots {\sigma }_l^{\prime \prime }\cdot {\sigma }_k^{\prime }\cdots {\sigma }_2^{\prime }\cdot {\sigma }_1^{\prime }.$$所以, 该命题等价于证明若 $1$ 可以写成对换之积 $1={\sigma }_1\cdot {\sigma }_2\cdots {\sigma }_m$, 则 $m$ 是偶数.

我们对 $n$ 进行归纳. 当 $n=1$ 或 $2$ 时, 命题是明显的. 当 $n⩾3$, $1⩽i,j,k⩽n-1$ 并且 $i,j,k$ 两两不同, 我们有如下等式: $$\{\begin{array}{ll}(a).& (i,n)(j,k)=(j,k)(i,n),\\ (b).& (i,n)(i,j)=(i,j)(j,n),\\ (c).& (i,n)(j,n)=(i,j)(i,n).\end{array}$$

1)

若 $\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_m\}$ 中没有形如 $(i,n)$ 的对换, 其中, $i<n$, 则 $\sigma$ 可以被视为 ${\mathfrak{S}}_{n-1}$ 中的元素. 根据归纳假设, $m$ 是偶数.

2)

若 $\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_m\}$ 中有形如 $(i,n)$ 的对换 (姑且称之为带 $n$ 的对换) , 我们利用 $(a)$ 和 $(b)$ 将 $(i,n)$ 型的对换挪向右边. 在这个过程中, 如果有 $(i,n)$ 与 $(j,n)$ 型的两个对换相邻, 我们就用 $(c)$ 消去其中的一个带 $n$ 的对换或者用 $(i,n)(i,n)=1$ 消去两个带 $n$ 的对换. 以上操作保证了 $\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_m\}$ 中带 $n$ 的对换的个数减少, 直至最多有一个带 $n$ 的对换并且 (若存在) 这个带 $n$ 的对换只能是 ${\sigma }_m$ (在最右边) . 现在证明, 将 $1$ 分解为对换之积, 只有 ${\sigma }_m$ 为带 $n$ 的对换是可能的. 否则, 考虑如下等式$${\sigma }_m={\sigma }_1\cdot {\sigma }_2\cdots {\sigma }_{m-1}.$$左边 $n$ 会被调到其它位置而右边所有对换都保持了 $n$, 矛盾. 此时我们回到了 1) 的情况, 可再次用归纳假设完成证明.

证毕.

$\square$

定义 2.6.12. 若 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$ 是偶数个对换之积, 就称 $\sigma$ 为偶置换; 否则称为奇置换. 据此, 我们定义指标映射: $$\epsilon :{\mathfrak{S}}_n\to \{\pm 1\},\sigma \mapsto \{\begin{array}{ll}1,& \text{σ 是偶置换；}\\ -1,& \text{σ 是奇置换}.\end{array}$$将 $\{\pm 1\}$ 等同为 $2$ 阶循环群, 则 $\epsilon$ 群同态并且当 $n⩾2$ 时是满射. 另外, $n$ 阶交错群 ${\mathfrak{A}}_n$ 被定义为: $${\mathfrak{A}}_n=\mathrm{Ker}(\epsilon :{\mathfrak{S}}_n\to \{\pm 1\}).$$这是偶置换的集合.

注记 2.6.13. 我们有如下正合列$$1\to {\mathfrak{A}}_n\stackrel{\subset }{⟶}{\mathfrak{S}}_n\stackrel{\epsilon }{⟶}\{\pm 1\}\to 1.$$特别地, 当 $n⩾2$ 时, $|{\mathfrak{A}}_n|=\frac{1}{2}n!$.

例子 2.6.14. $\sigma =(x_1,\cdots ,x_k)$ 是 $k$-循环, 则 $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{k+1}$.

命题 2.6.15. 令 $n⩾3$, ${\mathfrak{A}}_n$ 可以被如下子集生成: $$\{\begin{array}{l}A=\{(i,j)(k,l)|1⩽i,j,k,l⩽n,i\ne j,k\ne l\},\\ B=\{(i,j,k)|1⩽i,j,k⩽n,i\ne j,i\ne k,k\ne j\}.\end{array}$$

证明. 根据 ${\mathfrak{A}}_n$ 的定义, $⟨A⟩={\mathfrak{A}}_n$. 为了证明 $B$ 可以生成 ${\mathfrak{A}}_n$, 只要证明每个形如 $(i,j)(k,l)$ 的元素可被写成 $3$-循环之积即可, 其中, $1⩽i,j,k,l⩽n$ 并且 $i\ne j,k\ne l$. 我们分情形讨论:

1)	$|\{i,j\}\cap \{k,l\}|=2$. 此时, $(i,j)(k,l)=1$, 结论显然成立.
2)	$|\{i,j\}\cap \{k,l\}|=1$, 不妨设 $j=k$. 此时, $(i,j)(k,l)=(i,j)(j,l)=(i,j,l)$ 是 $3$-循环.
3)	$|\{i,j\}\cap \{k,l\}|=\varnothing$. 此时, 我们有$$(i,j)(k,l)=(i,j)(j,k)(j,k)(k,l)=(i,j)(j,k)\cdot (j,k)(k,l).$$根据 2) 的结论, 上式是两个 $3$-循环之积.

综上所述, 命题得证.

$\square$

例子 2.6.16. $(1,2,3)$ 生成了 ${\mathfrak{A}}_3$. 特别地, ${\mathfrak{A}}_3\simeq \mathbb{Z}$.

命题 2.6.17. 假设 $n⩾2$, 则 ${\mathfrak{S}}_n$ 可以被以下子集生成:

•	$S_{\ast }=\{(k,k+1)|k=1,\cdots ,n-1\}$, 其中, $S_{\ast }$ 中的元素被称作是基本对换;
•	$S_1=\{(1,k)|k=2,\cdots ,n\}$;
•	$S_2=\{(1,2),(1,2,\cdots ,n)\}$.

证明. 对于 $S_1$, 根据共轭公式, 对任意的 $i<j$, $(i,j)=(1,i)(1,j)(1,i)$, 从而, $⟨S_1⟩$ 包含了所有对换, 所以, $⟨S_1⟩={\mathfrak{S}}_n$.

对于基本对换的集合 $S_{\ast }$, 对 $k$ 归纳来证明 $(1,k)\in ⟨S_{\ast }⟩$. 首先, $k=1,2$ 时结论显然成立. 假设 $(1,k)\in ⟨S_{\ast }⟩$, 根据共轭公式, 有 $(k,k+1)(1,k)(k,k+1)=(1,k+1)$, 这就完成了归纳证明. 所以, $S_1\subset ⟨S_{\ast }⟩$, 根据上面的结论, $⟨S_{\ast }⟩={\mathfrak{S}}_n$

对于 $S_2$, 令 $g=(1,2,\cdots ,n)$. 对任意则 $k⩽n-2$, 我们有$$g^k(1)=k+1,g^k(2)=k+2.$$利用共轭公式, 我们有$$g^k\cdot (1,2)\cdot g^{-k}=(k,k+1),k=0,1,\cdots ,n-2.$$所以, $S_{\ast }\subset ⟨S_2⟩$, 从而 $⟨S_2⟩={\mathfrak{S}}_n$

$\square$

例子 2.6.18 (逆序对与最短的基本对换之积). 假设 $n⩾2$, 对任意 $g=\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & n\\ g(1)& \cdots & g(n)\end{array}\right)\in {\mathfrak{S}}_n$, 定义$$\ell (g)=|\{(i,j)|1⩽i<j⩽n,g(i)>g(j)\}|.$$如果 $1⩽i<j⩽n$ 而 $g(i)>g(j)$, 我们就说 $(i,j)$ 是 $g$ 的一个逆序对. 以上, $\ell (g)$ 为所有 $g$ 的逆序对的个数.

任意 $g\in {\mathfrak{S}}_n$, 我们将 $g={\sigma }_1\cdots {\sigma }_m$ 写成基本对换的积, 即要求 ${\sigma }_i\in S_{\ast }$. 那么, $m⩾\ell (g)$ 并且可以将 $g$ 写成 $\ell (g)$ 个基本对换之积.

如果 $\ell (g)=0$, 只能有 $g=1$, 以上结论显然成立. 如果 $\ell (g)>0$, 必然存在 $k$, 使得 $g(k)>g(k+1)$, 此时, $g\cdot (k,k+1)$ 与 $g$ 相比, 逆序对恰好减少 $1$. 重复以上操作, 就得到 $m⩾\ell (g)$ 并给出了将 $g$ 写成 $\ell (g)$ 个基本对换之积的构造.

特别地, $g\in {\mathfrak{A}}_n$ 当且仅当 $\ell (g)$ 是偶数.

练习 2.6.19. 当 $n⩾3$ 时, 证明, $|i_0-j_0|$ 与 $n$ 互素, 则 $\{(i_0,j_0),(1,2,\cdots ,n)\}$ 生成 ${\mathfrak{S}}_n$.

例子 2.6.20 ($n\ne 2,6$, $\mathbf{Out}({\mathfrak{S}}_n)=1$).

假设 $n⩾3$. 由于 $\mathrm{Z}({\mathfrak{S}}_n)=1$, 根据正合列 (2.3.1), ${\mathfrak{S}}_n$ 的内自同构群与 ${\mathfrak{S}}_n$ 同构. 我们现在研究 ${\mathfrak{S}}_n$ 的外自同构, 请参考正合列 (2.3.2).

任意选定 $\phi \in \mathbf{Aut}({\mathfrak{S}}_n)$, $\phi$ 将共轭的元映成共轭的元素, 将 ${\mathfrak{S}}_n$ 的共轭类映成共轭类: 对于共轭类 $\mathrm{Cong}(g)$, $\phi (\mathrm{Cong}(g))$ 可能与 $\mathrm{Cong}(g)$ 不同; 对不同的共轭类 $\mathrm{Cong}(g)$ 和 $\mathrm{Cong}(h)$, 一定有 $\phi (\mathrm{Cong}(g))\ne \phi (\mathrm{Cong}(h))$.

考虑如下特殊的共轭类: $$T_k=\{g\in {\mathfrak{S}}_n|g\sim (1,2)(3,4)\cdots (2k-1,2k)\},$$其中, $2k⩽n$, $\sim$ 表示共轭关系. 对任意 $\sigma \in T_1$, ${\sigma }^2=1$, 从而 $\phi (\sigma {)}^2=1$. 通过考虑将 $\phi (\sigma )$ 分解为轮换: $$\phi (\sigma )=(x_1,x_2,\cdots ,x_k)(x_{k+1},x_{k+2},\cdots ,x_{k+l})\cdots (x_s,\cdots ,x_n),$$容易看出只有每个循环的长度至多是 $2$ 时, $\phi (\sigma {)}^2=1$. 从而, $\phi (\sigma )$ 落在某个 $T_k$ 中. 据此, 我们有双射 $\phi :T_1\to T_k$. 现在来计算 $T_k$ 中的元素个数: $$|T_k|=\frac{1}{k!}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2k+2}{2}\right)=\frac{n(n-1)\cdots (n-2k+1)}{2^{k}k!}.$$我们现在考虑方程 $|T_1|=|T_k|$: $$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)\cdots (n-2k+1)}{2^{k}k!}\iff 2^{k-1}=(n-2)(n-3)\cdots (n-k+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k}\right).$$除 $1,2$ 之外, 任何两个连续整数之积有奇素数因子, 上式要求 $n-2=n-k+1$, 即 $k=3$, 此时, $$2^2=(n-2)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3}{3}\right)\Rightarrow n=6.$$所以, 当 $n\ne 6$ 时, $|T_1|=|T_k|$ 等价于 $k=1$, $\phi$ 将对换映射为对换. 考虑 ${\mathfrak{S}}_n$ 的生成元的集合$$\{{\sigma }_1=(1,2),{\sigma }_2=(2,3),\cdots ,{\sigma }_{n-1}=(n-1,n)\}$$并称 ${\sigma }_{k-1}$ 和 ${\sigma }_k$ 是相邻的. 若以上两元素不相邻, 则它们交换. 假设$$\phi ((1,2))=(x_1,x_2),\phi ((2,3))=(y_1,y_2).$$由于 $(1,2)$ 和 $(2,3)$ 不交换, 所以 $(x_1,x_2)$ 和 $(y_1,y_2)$ 不交换. 那么, $\{x_1,x_2\}\cap \{y_1,y_2\}\ne \varnothing$. 通过重新标记, 可以假设$$\phi ((1,2))=(x_1,x_2),\phi ((2,3))=(x_2,x_3).$$再考虑 $\phi ((3,4))=(z_1,z_2)$. 类似的推理给出 $\{x_2,x_3\}\cap \{z_1,z_2\}\ne \varnothing$. 另外, $(1,2)$ 和 $(3,4)$ 交换, 所以 $(x_1,x_2)$ 和 $(z_1,z_2)$ 交换. 据此, $\{x_2,x_3\}\cap \{z_1,z_2\}=\{x_3\}$. 通过重新标号, 我们有 $\phi ((3,4))=(x_3,x_4)$, 其中, $x_1,x_2,x_3,x_4$ 两两不同. 如此往复, 我们最终得到$$\phi ((1,2))=(x_1,x_2),\phi ((2,3))=(x_2,x_3),\cdots ,\phi ((n-1,n))=(x_{n-1},x_n).$$所以可选取$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right)\in {\mathfrak{S}}_n,$$使得, $\phi ((k-1,k))=\mathrm{Int}(\sigma )((k-1,k))$. 这些关系在 ${\mathfrak{S}}_n$ 的生成元集合上成立, 从而, $\phi =\mathrm{Int}(\sigma )$. 综上所述, 若 $n\ne 6$, 则 ${\mathfrak{S}}_n$ 的每个自同构都是内自同构, 即 $\mathrm{Out}({\mathfrak{S}}_n)=1$.

注记 2.6.21. 当 $n=6$ 时, 公式$$2^{k-1}=(n-2)(n-3)\cdots (n-k+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k}\right)$$给出 $k=3$. 此时, 可能存在 $\phi$, 使得 $\phi (T_1)=T_3$. 此时, 必然有 $\phi (T_3)=T_1$. 通过复合, ${\phi }^2(T_1)=T_1$. 以上的推导对于 ${\phi }^2$ 仍成立, 从而 ${\phi }^2$ 是内自同构.

进一步, 任给 $\phi ,{\phi }^{\prime }\in \mathbf{Aut}({\mathfrak{S}}_6)$, 若 $\phi (T_1)=T_3$ 和 ${\phi }^{\prime }(T_1)=T_3$, 则 $(\phi \cdot {\phi }^{\prime })(T_1)=T_1$, 同样的理由表明 $\phi \cdot {\phi }^{\prime }$ 是内自同构. 这说明 $\mathbf{Aut}({\mathfrak{S}}_6)$ 中至多有两个元素. 从而, $\mathbf{Out}({\mathfrak{S}}_6)=1$ 或者 $\mathbb{Z}$.

我们之后会构造 ${\mathfrak{S}}_6$ 的非共轭自同构, 从而证明 $\mathbf{Out}({\mathfrak{S}}_6)\simeq \mathbb{Z}$.