2.5. 模的定义

模可以被视作是环上的线性空间:

定义 2.5.1. $A$ 是环, $(M, +)$ 是交换群. 如果存在映射 $A \times M \to M, (a, m) \mapsto a \cdot m,$ 使得对任意 $a, a^{'} \in A, m, m^{'} \in M$ , 有 $⎩ ⎨ ⎧ 1 \cdot m = m, a \cdot (a^{'} \cdot m) = (a \cdot a^{'}) \cdot m, a \cdot (m + m^{'}) = a \cdot m + a \cdot m^{'}, (a + a^{'}) \cdot m = a \cdot m + a^{'} \cdot m,$ 就称 $(M, +)$ 或 $M$ 是 (左) $A$ -模.

如果 $N < M$ 是 $M$ 的加法子群并且对上述乘法封闭, 即对任意 $a \in A$ 和 $n \in N$ , 有 $a \cdot n \in N$ , 就称 $(N, +)$ 是 $M$ 的一个子 $A$ -模或子模. 在 $A$ 对 $M$ 的乘法下, $N$ 是 $A$ -模.

例子 2.5.2. $K$ 是域, 则 $K$ -模是 $K$ -线性空间.

例子 2.5.3. 对于整数环 $Z$ , $Z$ -模 $M$ 是交换群, 其中, 对于 $a \in Z, m \in M$ , $a \cdot m = a 次 m + m + \dots + m .$

例子 2.5.4. $A$ 和 $B$ 是环, $φ : A \to B$ 是环同态, 则 $B$ 具有自然的 $A$ -模结构: $A \times B \to B, (a, b) \mapsto a \cdot b := φ (a) \cdot_{_{B}} b .$

例子 2.5.5. $K$ 是域, $A = K [X]$ 为 $K$ 上的多项式环, $V$ 是 $K$ -线性空间. 给定线性映射 $T \in End_{K} (V)$ , 这定义出 $V$ 上的 $K [X]$ -模的结构: $K [X] \times V \to V, (P (X), v) \mapsto P (X) \cdot v = P (T) \cdot v .$ 即对任意 $P (X) = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0} \in K [X]$ , 其中, $a_{i} \in K$ , 要求 $P (T) \cdot v = a_{n} \cdot T^{n} (v) + \dots + a_{1} \cdot T (v) + a_{0} \cdot v .$ 很显然, 我们有 $(P + Q) (T) \cdot v = P (T) \cdot v + Q (T) \cdot v, (P \cdot Q) (T) \cdot v = P (T) \cdot (Q (T) \cdot v) .$ 这是最重要的一类 $K [X]$ -模 (由线性映射 $T$ 决定) .

定义 2.5.6 ( $A$ -模同态). $(M_{1}, +_{_{1}})$ 和 $(M_{2}, +_{_{2}})$ 是 $A$ -模, $φ : M_{1} \to M_{2}$ 是加法群同态并且保持乘法, 即对任意的 $a \in A$ 和 $m, m^{'} \in M_{1}$ , 有 $φ (m +_{_{1}} m^{'}) = φ (m) +_{_{2}} φ (m^{'}), φ (a \cdot_{_{1}} m) = a \cdot_{_{2}} φ (m),$ 就称 $φ$ 是从 $M_{1}$ 到 $M_{2}$ 的 $A$ -模同态或 $A$ -线性映射. 我们用 $Hom_{A} (M_{1}, M_{2})$ 表示从 $M_{1}$ 到 $M_{2}$ 的模同态的集合. 如果 $φ$ 是双射, 称 $φ$ 是它们之间的 $A$ -模同构. 如果 $M_{1}$ 与 $M_{2}$ 之间存在 $A$ -模同构, 就称 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 是同构的并记为 $M_{1} ≃ M_{2}$ .

注记 2.5.7. $A$ 是交换环, 则 $Hom_{A} (M_{1}, M_{2})$ 具有自然的 $A$ -模结构: $A \times Hom_{A} (M_{1}, M_{2}) \to Hom_{A} (M_{1}, M_{2}), (a, φ) \mapsto (a \cdot φ : m_{1} \mapsto a \cdot_{_{2}} φ (m_{1})) .$

例子 2.5.8. 给定 $A$ -模之间的同态 $φ \in Hom_{A} (M_{1}, M_{2})$ , 它的核定义为: $Ker (φ) := {m \in M_{1} ∣ ∣ φ (m) = 0} .$ 这是 $M_{1}$ 的子模.

另外, $φ$ 是单射当且仅当 $Ker (φ) = {0}$ .

例子 2.5.9. 给定 $A$ -模 $M$ 及其子模 $M$ , 我们可以构造其商模 $M ╱ N$ .

首先将 $M$ 视为交换群, 其所有子群均为正规子群, 从而, 我们可以定义商群: $M ╱ N = {m + N ∣ ∣ m \in M} .$ 这自然也是交换群, 其 $A$ -模结构由如下公式给出: $A \times M ╱ N \to M ╱ N, (a, m + N) \mapsto a (m + N) := am + N .$ 这个乘法的定义不依赖于 $m + N$ 中代表元的选取, 即若 $m + N = m^{'} + N$ , 则 $am + N = a m^{'} + N$ , 这是因为 $m - m^{'} \in N$ , 从而, $am - a m^{'} \in N$ . 至此, 我们定义了商模 $M ╱ N$ . 另外, 自然的投影映射是 $A$ -模同态: $π : M \to M ╱ N, m \mapsto m + N .$ 这个同态是满射.

命题 2.5.10. $M$ 和 $M^{'}$ 是 $A$ -模, $N \subset M$ 是子模, $φ : M \to M^{'}$ 是 $A$ -模同态. 如果 $N \subset Ker (φ)$ , 那么存在唯一的 $A$ -模同态 $\overline{φ} : M ╱ N \to M^{'}$ , 使得 $\overline{φ} \circ π = φ$ , 其中, $π : M \to M ╱ N$ 是自然的同态. 进一步, 我们还有 $A$ -模同构 $\overline{φ} : M ╱ Ker (φ) ⟶ ≃ Im (φ)$ .

证明. 对任意 $m + N$ , 定义 $\overline{φ} (m + N) = φ (m) .$ 现在验证这是良好定义的: 对 $m + N = m^{'} + N$ , $m - m^{'} \in N \subset Ker (φ)$ , 从而, $φ (m) = φ (m^{'})$ . 容易看出, 映射 $\overline{φ}$ 是 $A$ -模同态并且 $\overline{φ} \circ π = φ$ .

选取

N = Ker (φ)

, 我们显然有满射

\overline{φ} : M ╱ Ker (φ) ↠ Im (φ) .

根据定义,

φ (m + N) = 1

当且仅当

m \in Ker (φ)

, 所以该同态是单射, 从而为同构.

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