2.3. 正规子群与商群

定义 2.3.1. $G$ 是群 $G$, $H<G$ 是子群. 对任意 $g\in G$, 称如下集合为一个左陪集: $$gH=\left\{gh\right|h\in H\}.$$

由于 $H$ 是子群, 所以对任意 $h\in H$, $hH=1\cdot H=H$. 我们说明 $g_{1}H\cap g_{2}H\ne \varnothing$ 当且仅当 $g_{1}H=g_{2}H$. 实际上, 如果 $g_{1}H\cap g_{2}H\ne \varnothing$, 那么存在 $h_1,h_2\in H$, 使得 $g_1{h}_1=g_2{h}_2$. 所以, $g_2=g_1{h}_1{h}_2^{-1}$. 此时, $$g_{2}H=g_1{h}_1{h}_2^{-1}H=g_1\left(h_1{h}_2^{-1}H\right)=g_{1}H.$$这表明 $\{gH{\}}_{g\in G}$ 是 $G$ 的一个划分, 从而定义出等价关系 $\sim$. 实际上, $g_1\sim g_2$ 等价于 $g_1^{-1}{g}_2\in H$.

我们定义左陪集的集合$$G=\left\{gH\right|g\in G\},$$并称 $[G:H]=\left|G\right|$ 为 $H$ 在 $G$ 中的指标.

类似地, 定义右陪集为: $$Hg=\left\{gh\right|h\in H\}.$$同样可以证明 $\{Hg{\}}_{g\in G}$ 是 $G$ 的一个划分并定义了等价关系 ${\sim }_{{}_r}$. 实际上, $g_1{\sim }_{{}_r}{g}_2$ 等价于 $g_1{g}_2^{-1}\in H$. 为了区别于左陪集的空间, 右陪集的集合记作: $$H=\left\{Hg\right|g\in G\}.$$

我们今后基本上只处理左陪集的情形.

注记 2.3.2 (左陪集的元素个数). 对任意的 $gH$ 和 $g^{\prime }H$, 如下映射为双射: $$gH\to g^{\prime }H,x\mapsto g^{\prime }{g}^{-1}x.$$特别地, 若 $H$ 是有限子群, 则其每个左陪集的元素个数均为 $|H|$. 如果进一步 $G$ 是有限群, 我们就有$$|G|=[G:H]|H|.$$

命题 2.3.3 (Lagrange). 若 $G$ 是有限群, 则其子群的元素个数整除 $|G|$. 特别的, 对任意 $g\in G$, $\mathrm{ord}(g)\mid |G|$.

证明. 以上注记已经给出了第一部分的证明. 为了证明 $\mathrm{ord}(g)||G|$, 只要考虑子群 $H=\{1,g,\cdots ,g^{\mathrm{ord}(g)-1}\}$ 即可.

$\square$

注记 2.3.4. 如果 $G$ 是有限群, 则对任意的 $g\in G$, $g^{|G|}=1$.

特别的, 考虑乘法群 ${\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }$, 其中, $\overline{k}\cdot \overline{l}=\overline{kl}$. 那么, 对任意的 $k\in \mathbb{Z}$ ($(k,p)=1$) , 由于 $\left|{\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }\right|=p-1$, 在 ${\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }$ 中我们有 ${\overline{k}}^{p-1}=\overline{1}$, 即对任意的与 $p$ 互素的整数 $k$, 有 $k^{p-1}\equiv 1\mathrm{mod}p$. 这是初等数论中的 Fermat 小定理.

定义 2.3.5. $H$ 是群 $G$ 的子群. 如果对任意 $g\in H$, $gH{g}^{-1}=H$, 其中, $gH{g}^{-1}=\left\{gh{g}^{-1}\right|h\in H\}$, 就称 $H$ 是正规子群并记作 $H⊲G$.

注记 2.3.6. 为了验证 $H$ 是正规子群, 只要对任意 $h\in H,g\in G$, 验证 $gh{g}^{-1}\in H$: 因为我们显然有 ${\bigcup }_{g\in G}gH{g}^{-1}\supset H$.

例子 2.3.7. $G$ 是交换群, 其所有子群都是正规子群.

例子 2.3.8. $n⩾3$, $G={\mathfrak{D}}_n$. 那么, $⟨r⟩$ 是正规子群而 $⟨s⟩$ 不是正规子群.

例子 2.3.9. 群同态的核是正规子群, 即若 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是群同态, 则 $\mathrm{Ker}(\phi )⊲G$.

对任意 $g\in G$ 和 $h\in \mathrm{Ker}(\phi )$, 我们验证$$\phi (gh{g}^{-1})=\phi (g)\phi (h)\phi (g^{-1})=\phi (g)\cdot 1\cdot \phi (g{)}^{-1}=1.$$所以, $gh{g}^{-1}\in \mathrm{Ker}(\phi )$.

例子 2.3.10. $H$ 是群 $G$ 的子群, 定义 $H$ 在 $G$ 中的正规化子为: $${\mathrm{N}}_G(H)=\{g\in G|gH{g}^{-1}=H\}.$$容证 ${\mathrm{N}}_G(H)$ 是 $G$ 的子群. 按定义, 我们有$$H⊲{\mathrm{N}}_G(H)<G.$$这是 $G$ 的使得 $H$ 在其中为正规子群的最大子群.

注记 2.3.11. $G$ 是群, $K<H$ 是 $G$ 的子群, 我们有$$[G:K]=[G:H][H:K].$$以上公式的证明是简单的集合计数.

$G$ 是群, $H$ 为子群, 我们希望在 $G$ 上面定义乘法. 对左陪集 $g_{1}H$ 和 $g_{2}H$, 自然的尝试是要求$$g_{1}H\cdot g_{2}H:=g_1{g}_{2}H.$$我们必须验证以上是良好定义的. 假设 $g_1^{\prime }=g_{1}h$, 其中, $h\in H$, 那么, $g_{1}H=g_1^{\prime }H$. 所以, 上述直观的定义还应该给出$$g_{1}H\cdot g_{2}H=g_1^{\prime }H\cdot g_{2}H:=g_1^{\prime }{g}_{2}H=g_{1}h{g}_{2}H.$$为了保证两个公式给出了同样的陪集, 我们要保证 $(g_1{g}_2{)}^{-1}{g}_{1}h{g}_2=g_2^{-1}h{g}_2\in H$. 根据以上元素选择的任意性, 这等价于 $H$ 是正规子群.

定理 2.3.12. $H⊲G$ 是正规子群. 在 $G$ 存在唯一的群结构, 使得自然的商映射$$\pi :G⟶G$$是群同态. 另外, $\mathrm{Ker}(\pi )=H$.

实际上, 左陪集的乘法定义为 $g_{1}H\cdot g_{2}H=g_1{g}_{2}H$.

证明. 定义 $G$ 上乘法为 $g_{1}H\cdot g_{2}H=g_1{g}_{2}H$, 这是良好定义的: 假设 $g_1^{\prime }H=g_{1}H$, $g_2^{\prime }H=g_{2}H$, 则存在 $h_1,h_2\in H$, 使得 $g_1^{\prime }=g_1{h}_1,g_2^{\prime }=g_2{h}_2$, 从而$$g_1^{\prime }{g}_2^{\prime }H=g_1{h}_1{g}_2{h}_{2}H=g_1{g}_2\cdot \underset{\in H}{\underbrace{g_2^{-1}{h}_1{g}_2}}\cdot h_{2}H=g_1{g}_{2}H.$$此时, $$\pi (g_1\cdot g_2)=(g_1\cdot g_2)H=g_{1}H\cdot g_{2}H=\pi (g_1)\pi (g_2)$$所以, $\pi$ 是群同态.

唯一性是明显的: 为了保证 $\pi$ 是群同态, 必须有 $\pi (1_{{}_G})=1_{{}_G}$, 即 $H$ 是 $G$ 中的单位元. 另外, $$\pi (g_1\cdot g_2)=\pi (g_1)\cdot \pi (g_2)\iff g_{1}H\cdot g_{2}H=g_1{g}_{2}H.$$这表明群的乘法结构由同态决定.

$\square$

定理 2.3.13. $G$ 是群, $H⊲G$ 是正规子群, $\phi :G\to G^{\prime }$ 是群同态. 若 $H<\mathrm{Ker}(\phi )$, 则存在唯一的群同态 $\overline{\phi }:G\to G^{\prime }$, 使得 $\overline{\phi }\circ \pi =\phi$, 其中, $\pi :G\to G$ 是自然的同态. 进一步, 我们还有群同构 $\overline{\phi }:G\stackrel{\simeq }{⟶}\mathrm{Im}(\phi )$.

证明. 对任意的左陪集 $gH$, 定义$$\overline{\phi }(gH)=\phi (g).$$对于 $g^{\prime }H=gH$, 由于 $g^{-1}{g}^{\prime }\in H\subset \mathrm{Ker}(\phi )$ 以及 $H<\mathrm{Ker}(\phi )$, 有 $\phi (g^{-1}{g}^{\prime })=1$, 即 $\phi (g)=\phi (g^{\prime })$, 这表明 $\overline{\phi }$ 是良好定义的. 映射 $\overline{\phi }$ 是群同态. 另外, 我们显然有 $\overline{\phi }\circ \pi =\phi$.

选取 $H=\mathrm{Ker}(\phi )$, 我们显然有满射$$\overline{\phi }:G\twoheadrightarrow \mathrm{Im}(\phi ).$$根据定义, $\phi (g)=1$ 当切仅当 $g\in \mathrm{Ker}(\phi )$, 所以该同态是单射, 从而为同构.

$\square$

注记 2.3.14. 这是本课程中最基本和最经常用到的定理. 作为一个典型的应用, 我们证明

推论 2.3.15. $G$ 是群, $g\in G$, 那么 $⟨g⟩$ 要么与 $\mathbb{Z}$ 同构, 要么与 $\mathbb{Z}$ 同构, 其中, $n=\mathrm{ord}(g)$.

证明. 考虑群同态 $\phi :\mathbb{Z}\to G$, 其中, $\phi (m)=g^m$, $m\in \mathbb{Z}$. 那么, $\phi (\mathbb{Z})=⟨g⟩$. 如果 $\mathrm{Ker}(\phi )=\{0\}$, 根据以上定理, $\mathbb{Z}\simeq ⟨g⟩$; 否则, $\mathrm{Ker}(\phi )=n\mathbb{Z}$, 其中, $n$ 是 $\mathrm{Ker}(\phi )$ 最小的正整数, 从而, $\mathbb{Z}\simeq ⟨g⟩$.

$\square$

我们把与 $\mathbb{Z}$ 同构的群称为 $\mathbf{n}$-阶循环群, 把与 $\mathbb{Z}$ 同构的群称为无限循环群. 上面的证明表明循环群 (即由一个元素生成的群) 只有这两种.

注记 2.3.16 (短正合列的记号). 给定群同态 $\phi :H\to G$ 和 $\psi :G\to G^{\prime }$. 如果 $\phi$ 为单射, 把它记作是$$1\to H\stackrel{\phi }{⟶}G;$$如果 $\psi$ 为满射, 把它记作是$$G\stackrel{\psi }{⟶}{G}^{\prime }\to 1;$$如果 $\mathrm{Im}(\phi )=\mathrm{Ker}(\psi )$, 把它记作是$$H\stackrel{\phi }{⟶}G\stackrel{\psi }{⟶}{G}^{\prime }.$$我们将经常用如下群同态的短正合列: $$1\to H\stackrel{\phi }{⟶}G\stackrel{\psi }{⟶}{G}^{\prime }\to 1,$$它表明 $\phi$ 是单射, $\psi$ 是满射并且 $\mathrm{Im}(\phi )=\mathrm{Ker}(\psi )$. 比如说, 给定群同态 $\phi :G\to G^{\prime }$, 我们有$$1\to \mathrm{Ker}(\phi )\to G\stackrel{\phi }{⟶}\mathrm{Im}(\phi )\to 1.$$

例子 2.3.17. $G$ 是群, 考虑内自同构映射 $\mathrm{Int}:G\to \mathbf{Aut}(G)$. $\mathbf{Aut}(G)$ 中形如 $\mathrm{Int}(g)$ 形式的同构称作是 $G$ 的内自同构, 它们组成的集合为 $\mathrm{Int}(G):=\mathrm{Im}(\mathrm{Int})⊲\mathbf{Aut}(G)$ 是正规子群. 实际上, 对任意的 $g,h\in G,\phi \in \mathbf{Aut}(G)$, 我们有$$(\phi \circ {\mathrm{Int}}_g\circ {\phi }^{-1})(h)=\phi (g{\phi }^{-1}(h)g^{-1})=\phi (g)h\phi (g{)}^{-1}={\mathrm{Int}}_{\phi (g)}(h)。$$我们定义群 $G$ 的外自同构群为: $$\mathrm{Out}(G)=\mathrm{Aut}(G).$$从而, 我们得到下述正合列$$1\to \mathrm{Z}(G)⟶G\stackrel{\mathrm{Int}}{⟶}\mathrm{Int}(G)\to 1,$$(2.3.1)以及$$1\to G\stackrel{\mathrm{Int}}{⟶}\mathbf{Aut}(G)\to \mathrm{Out}(G)\to 1.$$(2.3.2)