2.2. 群同态

定义 2.2.1 (群同态). $(G_{1}, \cdot_{_{1}})$ 和 $(G_{2}, \cdot_{_{2}})$ 是群, $φ : G_{1} \to G_{2}$ 是映射. 如果 $φ$ 保持乘法, 即对任意 $g, h \in G_{1}$ , 有 $φ (g \cdot_{_{1}} h) = φ (g) \cdot_{_{2}} φ (h),$ 就称 $φ$ 是 $(G_{1}, \cdot_{_{1}})$ 到 $(G_{2}, \cdot_{_{2}})$ 的群同态. 我们用 $Hom (G_{1}, G_{2})$ 表示群同态组成的集合.

如果群同态 $φ$ 是双射, 就称 $φ$ 是 $G_{1}$ 到 $G_{2}$ 的群同构.

注记 2.2.2. 同构的群首先作为集合是同构的 (之间存在双射) , 进一步它们具有同样的乘法结构.

注记 2.2.3. 对于群同态 $φ : G_{1} \to G_{2}$ , 通过考虑 $φ (1_{_{G_{1}}} \cdot 1_{_{G_{1}}}) = φ (1_{_{G_{1}}})$ 即知 $φ (1_{_{G_{1}}}) = 1_{_{G_{2}}}$ . 另外, 对任意 $g \in G_{1}$ , $φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}$ .

注记 2.2.4. 假设 $φ \in Hom (G_{1}, G_{2})$ 是群同构, 那么 $φ^{- 1} \in Hom (G_{2}, G_{1})$ 也是群同构.

注记 2.2.5. 若有 $G_{1}$ 到 $G_{2}$ 的群同构, 就称它们是同构的并记作是 $G_{1} ≃ G_{2}$ . 注意到这个符号并不精确, 因为没说明 $φ$ 是如何定义的. 实际上, 群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 同构而它们之间的同构映射 $φ$ 可能不唯一.

假设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 均为 $C^{\times}$ , 对任意的 $λ \in C^{\times}$ , 映射 $z \mapsto λ \cdot z$ 均为 $G_{1}$ 到 $G_{2}$ 的同构.

注记 2.2.6 (同态的复合). 群同态的复合仍为群同态, 即有映射 $Hom (G, G^{'}) \times Hom (G^{'}, G^{''}) ⟶ Hom (G, G^{''}), (φ, ψ) \mapsto ψ \circ φ .$ 其中, $G, G^{'}, G^{''}$ 是群. 换而言之, 若 $φ \in Hom (G, G^{'})$ , $ψ \in Hom (G^{'}, G^{''})$ , 则 $ψ \circ φ$ 也是群同态. 用 $Aut (G)$ 表示 $G$ 到自身的群同构的集合, 配有映射的复合作为 $Aut (G)$ 上的乘法, 那么 $Aut (G)$ 是群. 我们称 $Aut (G)$ 是 $G$ 的自同构群.

考虑集合 $G$ (忘掉其群结构) 的对称群 $S_{G}$ , 它由所有 $G$ 到自身的双射构成. $Aut (G)$ 中的元素还要尊重 $G$ 的群结构, 从而 $Aut (G) < S_{G}$ 是子群.

注记 2.2.7 (群同态的像与核). 给定群同态 $φ \in Hom (G_{1}, G_{2})$ , 定义 $φ$ 的像 $Im (φ)$ 和核 $Ker (φ)$ 分别为 $Im (φ) = {φ (g) ∣ ∣ g \in G_{1}}, Ker (φ) = {g \in G_{1} ∣ ∣ φ (g) = 1_{_{G_{2}}}} .$ 那么, $Ker (φ) < G_{1}$ 是子群, $Im (φ) < G_{2}$ 也是子群.

注意到 $φ$ 是单射当且仅当 $Ker (φ) = {1}$ ; $φ$ 是满射当且仅当 $Im (φ) = G_{2}$ . 在群论中常用一个结论是为说明 $φ$ 是单射只要验证 $1 \in G_{2}$ 的原像唯一.

实际上, 如果 $Ker (φ) = {1}$ , 假设 $g, h \in G$ 使得 $φ (g) = φ (h)$ , 那么, $φ (g h^{- 1}) = φ (g) φ (h)^{- 1} = 1$ , 即 $g h^{- 1} \in Ker (φ)$ . 这表明 $g h^{- 1} = 1$ , 即 $g = h$ . 所以, $φ$ 是单射.

例子 2.2.8. 我们有几个经典的群同态:

•	$K$ 是域, $n ⩾ 1$ 行列式映射 $det : GL (n; K) \to K^{\times}$ 是群同态. 令 $SL (n; K) = Ker (det)$ , 这是行列式为 $1$ 的 $n \times n$ 的矩阵构成的群, 被称为 $K$ 上的特殊线性群.
•	指数映射 $exp : C \to C^{\times}$ 是群同态, $Ker (exp) = 2 πi Z$ .
•	对数映射 $lo g : R^{\times} \to R$ 是群同态, $Ker (lo g) = {1}$ .
•	$mod n$ 映射. 考虑除 $n$ 的余数给出自然的群同态它的核是能被 $n$ 整除的整数, 即 $Ker (Z \to Z ╱ n Z) = n Z$ .

例子 2.2.9. $G$ 是群, $g \in G$ , 则映射 $φ_{g} : Z \to G, n \mapsto g^{n}$ 是群同态, 其像 $Im (φ_{g})$ 为 $⟨ g ⟩$ .

例子 2.2.10. $G$ 是群, 对任意 $g \in G$ , 定义共轭映射 $Int (g)$ : $Int (g) : G \to G, h \mapsto Int (g) (h) = g h g^{- 1} .$ 对任意 $h_{1}, h_{2} \in G$ , 有 $g h_{1} h_{2} g^{- 1} = g h_{1} g^{- 1} \cdot g h_{2} g^{- 1}$ , 从而 $Int (g) \in Hom (G, G)$ ; 由于 $Int (g)$ 可逆, 其逆为 $Int (g^{- 1})$ , 从而 $Int (g) \in Aut (G)$ . 所以, 我们定义了映射: $Int : G \to Aut (G), g \mapsto Int (g) .$ 对任意 $h, g_{1}, g_{2} \in G$ , 我们有 $Int (g_{1} g_{2}) (h) = g_{1} (g_{2} h g_{2}^{- 1}) g_{1}^{- 1} = Int (g_{1}) (g_{2} h g_{2}^{- 1}) = Int (g_{1}) \circ Int (g_{2}) (h) .$ 所以, $Int : G \to Aut (G)$ 是群同态. 我们显然有 $Ker (Int) = Z (G)$ . 我们称像 $Int (G) < Aut (G)$ 是 $G$ 的内自同构群.

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