3.1. 基本定义

定义 3.1.1 (群作用). 群 $G$ 在集合 $X$ 上的一个 (左) 作用指的是映射: $$G\times X⟶X,(g,x)\mapsto g\cdot x,$$它满足:

1)	对任意 $x\in X$, 对任意的 $(g,g^{\prime })\in G\times G$, 有 $g\cdot (g^{\prime }\cdot x)=(g{\cdot }_{{}_G}{g}^{\prime })\cdot x$.
2)	对任意 $x\in X$, $1_{{}_G}\cdot x=x$.

为了书写方便, 通常用如下符号来记以上的群作用: ${}^{G\curvearrowright }X$.

注记 3.1.2. 我们可以类似地定义群的右作用. 要求存在映射$$X\times G⟶X,(x,g)\mapsto x\cdot g,$$并满足

1)	对任意 $x\in X$ 和 $(g,g^{\prime })\in G\times G$, 有 $(x\cdot g)\cdot g^{\prime }=x\cdot (g{\cdot }_{{}_G}{g}^{\prime })$.
2)	对任意 $x\in X$, $x\cdot 1_{{}_G}=x$.

右作用可以被简记为 $X^{\curvearrowleft G}$.

例子 3.1.3. 给定群作用 ${}^{G\curvearrowright }X$ 和 $Y\subset X$, 如果对任意 $g\in G,y\in Y$, $g\cdot y\in Y$, 那么, $$G\times Y⟶Y,(g,y)\mapsto g\cdot y,$$是 $G$ 在 $Y$ 上的作用.

例子 3.1.4. 给定群作用 ${}^{G\curvearrowright }X$ 和子群 $H<G$, 则$$H\times X⟶X,(h,x)\mapsto h\cdot x,$$是 $H$ 在 $X$ 上的作用.

注记 3.1.5. 给定 $G$ 在 $X$ 上的作用等价于给定从 $G$ 到 ${\mathfrak{S}}_X$ 的群同态 $\tau$.

一方面, 对任意 $x\in X$ 和 $g\in G$, 定义 $\tau (g)(x)=g\cdot x$. 这是 $X$ 到自身的双射, 其逆为 $\tau (g^{-1})$. 根据群作用的定义, $$\tau :G\to {\mathfrak{S}}_X,g\mapsto \tau (g)$$是群同态.

另一方面, 给定群同态 $\tau :G\to {\mathfrak{S}}_X$, 定义映射$$G\times X⟶X,(g,x)\mapsto \tau (g)(x).$$容易验证, 这是 $G$ 在 $X$ 上的作用.

注记 3.1.6 (轨道分解).

对于 $x,x^{\prime }\in X$, 若存在 $g\in G$, 使得 $x=g\cdot x^{\prime }$, 则称 $x,x^{\prime }$ 属于同一轨道. 这里, 我们把 $x\in X$ 的轨道定义为$$\mathrm{orb}(x)=G\cdot x=\{g\cdot x|g\in G\}.$$很明显, 如果 $x,x^{\prime }$ 属于同一轨道, 则 $\mathrm{orb}(x)=\mathrm{orb}(x^{\prime })$ (参考以下证明) .

群 $G$ 对集合 $X$ 的作用的一个重要性质就是它将 $X$ 分解为不同轨道的无交并.

考虑 $x,y\in G$ 的轨道 $\mathrm{orb}(x)$ 和 $\mathrm{orb}(y)$, 若 $\mathrm{orb}(x)\cap \mathrm{orb}(y)\ne \varnothing$, 则 $\mathrm{orb}(x)=\mathrm{orb}(y)$. 因为我们可以选 $g_1,g_2\in G$, 使得 $g_1\cdot x=g_2\cdot y$, 从而, $g_2^{-1}{g}_{1}x=y$. 据此, $$\mathrm{orb}(y)=G\cdot y=(G\cdot g_2^{-1}{g}_1)x=G\cdot x=\mathrm{orb}(x).$$

我们将 $G$ 在 $X$ 上 (左) 作用的轨道集合记为 $G$ (右作用情形记为 $X$) .

作为总结, 我们有$$X=\coprod _{g\in G}\mathrm{orb}(x)=\coprod _G\mathrm{orb}(x),$$并且当 $X$ 是有限集时, 有如下计数公式: $$|X|=\sum _G|\mathrm{orb}(x)|.$$

注记 3.1.7. 如果 $X$ 中的点都在同一个轨道里, 即 $\left|G\right|=1$, 就称 $G$ 在 $X$ 上的作用是传递的.

考虑轨道 $\mathrm{orb}(x)\in G$, 由于 $G\cdot \mathrm{orb}(x)=\mathrm{orb}(x)$, $G$ 在该轨道上有自然的作用. 这个作用明显是传递的.

根据轨道分解 $X=\coprod _G\mathrm{orb}(x)$, 通过研究传递的群作用可以理解 $G$ 在 $X$ 上的作用.

注记 3.1.8. 对任意 $g\in G$, 如果 $g\cdot x=x$, 就称 $x$ 是 $g$ 的一个不动点. 对任意 $x\in X$, $G$ 中使 $x$ 不动的元构成子群, 它被称作是 $x$ 的稳定化子并记作 ${\mathrm{Stab}}_G(x)$ 或 $\mathrm{Stab}(x)$: $${\mathrm{Stab}}_G(x)=\{g\in G|g\cdot x=x\}.$$

如果对任意 $x\in X$, $\mathrm{Stab}(x)=1$, 就称 $G$ 的作用是自由的, 也就是说除了单位元外, 任何的 $g\in G$ 都没有不动点.

另外, 若对任意 $g\in G-\{1\}$, 存在 $x\in X$, 使得 $g\cdot x\ne x$, 就称 $G$ 的作用是忠实的. ${}^{G\curvearrowright }X$ 是忠实的等价于对应的群同态 $G\to {\mathfrak{S}}_X$ 是单射.

例子 3.1.9. 给定群作用 ${}^{G\curvearrowright }X$, 即给定群同态 $\tau :G\to {\mathfrak{S}}_X$, 我们自然有单的群同态$$G⟶{\mathfrak{S}}_X.$$这给出忠实的群作用 ${}^{G\curvearrowright }X$.

定义 3.1.10 (群作用之间的态射). 群 $G$ 在 $X$ 上以及群 $G^{\prime }$ 在 $X^{\prime }$ 上的作用分别由如下映射给出: $$\{\begin{array}{ll}& F:G\times X⟶X,(g,x)\mapsto g\cdot x,\\ & F^{\prime }:G^{\prime }\times X^{\prime }⟶X^{\prime },(g^{\prime },x^{\prime })\mapsto g^{\prime }\cdot x^{\prime },\end{array}$$如果存在群同态 $\phi :G\to G^{\prime }$ 和映射 $\psi :X\to X^{\prime }$, 使得对任意 $g\in G$ 和 $x\in X$, 有$$\psi (g\cdot x)=\phi (g)\cdot \psi (x),$$就称 $(\phi ,\psi )$ 是 ${}^{G\curvearrowright }X$ 到 ${}^{G^{\prime }\curvearrowright }{X}^{\prime }$ 的态射.

当 $\phi$ 为群同构并且 $\psi$ 为双射时, 就称 $(\phi ,\psi )$ 是 ${}^{G\curvearrowright }X$ 到 ${}^{G^{\prime }\curvearrowright }{X}^{\prime }$ 的同构并说 ${}^{G\curvearrowright }X$ 和 ${}^{G^{\prime }\curvearrowright }{X}^{\prime }$ 是同构的.

以上定义中的态射可以用如下交换图来表示: