3.2. 群作用的基本例子

3.2.1几何上的例子

例子 3.2.1. 给定集合 $X$ 及其对称群 ${\mathfrak{S}}_X$, 则$${\mathfrak{S}}_X\times X⟶X,(g,x)\mapsto g(x),$$是群作用. 这个作用是传递的也是忠实的. 对任意的 $x\in X$, $\mathrm{Stab}(x)$ 可以被看作是 ${\mathfrak{S}}_{X-\{x\}}$.

特别地, ${\mathfrak{S}}_n$ 自然地作用在 $\{1,2,\cdots ,n\}$ 上, 即对任意的 $k$, $g\cdot k=g(k)$ 并且每个 $\mathrm{Stab}(k)$ 可以被看作是 ${\mathfrak{S}}_{n-1}$.

例子 3.2.2. $K$ 是域, $V$ 是有限维 $K$-线性空间, $\mathbf{GL}(V)$ 是 ${\mathbf{End}}_K(V)$ 中可逆 $K$-线性映射构成的群. 那么, $\mathbf{GL}(V)$ 自然地作用在 $V$ 上: $$\mathbf{GL}(V)\times V\to V,(g,v)\mapsto g\cdot v=g(v).$$我们还考虑 $\mathbf{GL}(V)$ 的子群, 它们也自然地作用在 $V$ 上.

在应用时, 通常考虑 $V=K^n$, 此时 $\mathbf{GL}(V)=\mathbf{GL}(n;K)$. 当 $K={\mathbb{F}}_q$ ($q$ 个元素的有限域) 时, $\mathbf{GL}(V)=\mathbf{GL}(n;{\mathbb{F}}_q)$ 是有限群.

例子 3.2.3 (群的表示). $K$ 是域, $V$ 是 $K$-线性空间, $G$ 在 $V$ 上的一个线性表示或表示指的是群同态$$\rho :G\to \mathbf{GL}(V).$$其中, ${\dim }_{K}V$ 被称为该表示的次数. 线性空间 $V$ 也被称作是 $G$ 的表示空间或者简称为 $G$ 的表示.

表示 $\rho$ 给出了 $G$ 在 $V$ 上的作用: $$G\times V\to V,(g,v)\mapsto g\cdot v=\rho (g)(v).$$我们注意到对任意的 $g\in G$, $$g:V\to V,v\mapsto g(v),$$是 $K$-线性同构.

简要回顾群代数 $K[G]$ 的概念, $K[G]$ 是 $K$ 线性空间并有基 $\{e_g{\}}_{g\in G}$ 满足 $e_g\cdot e_{g^{\prime }}=e_{g{g}^{\prime }}$. 用 $g$ 代替 $e_g$, 可以更简便地书写 $K[G]$ 的元素及其乘法: $$x=\sum _{g\in G}x(g)\cdot g,y=\sum _{h\in G}y(h)\cdot h,x\cdot y=\sum _{g\in G}\sum _{h\in G}x(g)y(h)g\cdot h.$$其中, $x(g),h(g)\in K$.

如果 $V$ 是 $G$ 的表示, 我们定义$$K[G]\times V\to K[G],(x,v)\mapsto x\cdot v=\sum _{g\in G}x(g)g\cdot v,$$其中, $x={\sum }_{g\in G}x(g)\cdot g$. 从而, $V$ 成为 $K[G]$-模.

例子 3.2.4 (射影空间 $\mathbf{P}(V)$). 给定 $K$-线性空间 $V$ (这里我们假设其维数为 $n+1$) , $\mathbf{P}(V)$ 是 $V$ 中过原点的线的集合. 当 $V=K^{n+1}$ 时, $\mathbf{P}(V)$ 被记作 ${\mathbf{P}}^n(K)$. 对任意的齐次坐标 $[k_0:k_1:\cdots :k_n]$, 它对应着 $K^{n+1}$ 中过 $(k_0,k_1,\cdots ,k_n)$ 的直线.

对任意 $g\in \mathbf{GL}(V)$, $g:V\to V$ 将过原点的线映射为过原点的线. 据此, 我们定义$$\mathbf{GL}(V)\times \mathbf{P}(V)⟶\mathbf{P}(V),(g,\ell )\mapsto g\cdot \ell =g(\ell ).$$这是 $\mathbf{GL}(V)$ 在 $\mathbf{P}(V)$ 上的作用.

根据例子 3.1.9, 我们考虑$$\tau :\mathbf{GL}(V)⟶{\mathfrak{S}}_{\mathbf{P}(V)}.$$此时, $\mathrm{Ker}(\tau )=\{g\in \mathbf{GL}(V)|g(\ell )=\ell ,\ell \in \mathbf{P}(V)\}$. 对任意 $V$ 的基 $\{e_i{\}}_{i=1,\cdots ,n+1}$, $g\in \mathrm{Ker}(\tau )$ 意味着对每个 $i$, 都有 $g(e_i)={\lambda }_i\cdot e_i$, 其中, ${\lambda }_i\in K^{\times }$. 现在说明这些 ${\lambda }_i$ 均相等: 考虑 $e_1+e_2$ 在 $V$ 中对应的直线, 根据 $g$ 的定义, $$g(e_1+e_2)={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2={\lambda }_1\left(e_1+\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}{e}_2\right)$$与 $e_1+e_2$ 是共线的, 从而, ${\lambda }_1={\lambda }_2$.

通过以上讨论, 我们得到 $\mathrm{Ker}(\tau )=K^{\times }\cdot \mathbf{I}$, 其中, $\mathbf{I}$ 是单位映射. 据此, 我们有$$1\to K^{\times }\stackrel{k\mapsto k\cdot \mathbf{I}}{⟶}\mathbf{GL}(V)\stackrel{\tau }{⟶}{\mathfrak{S}}_{\mathbf{P}(V)}.$$于是, 我们定义$$\mathbf{PGL}(V):=\mathbf{GL}(V)=\mathbf{GL}(V).$$那么, $\mathbf{PGL}(V)$ 可以忠实地作用在 $\mathbf{P}(V)$ 上. 当 $V=K^{n+1}$ 时, 我们记$$\mathbf{PGL}(n+1;K):=\mathbf{GL}(n+1;K),$$其中, ${\mathbf{I}}_{n+1}$ 是 $(n+1)\times (n+1)$ 的单位矩阵.

我们还考虑 $\mathbf{GL}(n+1;K)$ 的子群 $\mathbf{SL}(n+1;K)$, 此时显然有 $\mathbf{SL}(n+1;K)$ 在 $K^{n+1}$ 上的作用: $$\mathbf{SL}(n+1;K)\times {\mathbf{P}}^n(K)⟶{\mathbf{P}}^n(K),(g,\ell )\mapsto g\cdot \ell =g(\ell ).$$此时, 我们有$$\mathrm{Ker}(\mathbf{SL}(n+1;K)⟶{\mathfrak{S}}_{{\mathbf{P}}^n(K)})=\mathbf{SL}(n+1;K)\cap K^{\times }\cdot {\mathbf{I}}_{n+1}={\mu }_{n+1}(K),$$其中, ${\mu }_{n+1}(K)$ 为 $K$ 中的 $n$-次单位根的子群 (因为要求 $\det (\xi \cdot {\mathbf{I}}_{n+1})=1$) . 据此, 我们定义$$\mathbf{PSL}(n+1;K):=\mathbf{SL}(n;K),$$此时, $\mathbf{PSL}(n+1;K)$ 可以忠实地作用在 ${\mathbf{P}}^n(K)$ 上.

例子 3.2.5 ($1$ 维仿射变换). $K$ 是域, 定义如下 $K$ 到自身的映射的集合: $${\mathbf{Aff}}_1(K)=\{f_{a,b}:x\mapsto ax+b|a\in K^{\times },b\in K\}.$$集合 ${\mathbf{Aff}}_1(K)$ 配上映射的复合作为乘法构成群, 它被称为是 $\mathbf{K}$ 上的 $1$ 维的仿射变换群. ${\mathbf{Aff}}_1(K)$ 在 $K$ 有自然的作用. 这个作用显然是传递的. 对于 $x_0\in K$, 我们有$$\mathrm{Stab}(x_0)=\{x\mapsto a(x-x_0)+x_0|a\in K^{\times }\}.$$从而, $\mathrm{Stab}(x_0)\simeq K^{\times }$. 实际上, 我们有$$K^{\times }\stackrel{\simeq }{⟶}\mathrm{Stab}(x_0)<{\mathbf{Aff}}_1(K),a\mapsto f_{a,(1-a)x_0}.$$

例子 3.2.6 (一个具体的例子). 考虑有限域 ${\mathbb{F}}_5=(\mathbb{Z},+,\cdot )$, ${\mathbf{P}}^1({\mathbb{F}}_5)$ 有 $6$ 个元素: $${\mathbf{P}}^1({\mathbb{F}}_5)=\{{\ell }_1,{\ell }_2,{\ell }_3,{\ell }_4,{\ell }_5,{\ell }_6\},$$其中, 对 $k=1,\cdots ,5$, ${\ell }_k=[1:k]$, ${\ell }_6=[0:1]$. 那么, $\mathbf{GL}(2;{\mathbb{F}}_5)$ 在 ${\mathbf{P}}^1({\mathbb{F}}_5)$ 的作用给出: 另外, 对 ${\mathbf{P}}^1({\mathbb{F}}_5)$ 中元素的标号将 ${\mathfrak{S}}_{{\mathbf{P}}^1({\mathbb{F}}_5)}$ 等同于 ${\mathfrak{S}}_6$, 上述构造给出一个单的同态: $$\overline{\tau }:\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_5)⟶{\mathfrak{S}}_6.$$根据$$|\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_5)|=\frac{1}{4}|\mathbf{GL}(2;{\mathbb{F}}_5)|=\frac{1}{4}(5^2-1)(5^2-5)=120,$$我们得到了 ${\mathfrak{S}}_6$ 的一个 $120$ 阶的子群 $H=\mathrm{Im}(\phi )<{\mathfrak{S}}_6$.

由于 $\mathbf{GL}(2;{\mathbb{F}}_5)$ 传递地作用在 ${\mathbf{P}}^1({\mathbb{F}}_5)$ 上, 作为 ${\mathfrak{S}}_6$ 的子群, $H$ 在 $6$ 个元素 $\{{\ell }_1,{\ell }_2,{\ell }_3,{\ell }_4,{\ell }_5,{\ell }_6\}$ 上的作用也是传递的.

作为总结, ${\mathfrak{S}}_6$ 有 $120$ 阶的子群 $H$, 它在 $\{{\ell }_1,\cdots ,{\ell }_6\}$ 上的自然作用是传递的. 另外, ${\mathfrak{S}}_6$ 的的子群 $\mathrm{Stab}({\ell }_k)$ (都与 ${\mathfrak{S}}_5$ 同构) 在 $\{{\ell }_1,\cdots ,{\ell }_6\}$ 上的自然作用不传递.

3.2.2群作用在由自身所构造的对象上的例子

例子 3.2.7 (作用在左陪集空间上). $G$ 是群, $H<G$ 是子群, $X=G$, $G$ 通过左乘法作用在 $X$ 上: $$G\times G⟶G,(g,g^{\prime }H)\mapsto (g\cdot g^{\prime })H.$$注意到, 以上映射是良好定义的. 因为 $((g_1\cdot g_2)\cdot g^{\prime })H=(g_1\cdot (g_2\cdot g^{\prime }))H$, 上述映射给出了群的作用. 另外, 这个作用显然是传递的.

给定子群 $H^{\prime }<G$, 我们自然有群作用 ${}^{H^{\prime }\curvearrowright }\left(G\right)$: $$H^{\prime }\times G⟶G,(h^{\prime },g^{\prime }H)\mapsto (h^{\prime }\cdot g^{\prime })H.$$我们注意到 $H^{\prime }$ 的作用未必传递的.

对任意 $g^{\prime }\in G$, 我们计算 $g^{\prime }H\in G$ 的稳定化子: $$g\cdot g^{\prime }H=g^{\prime }H\Rightarrow g^{\prime -1}g{g}^{\prime }H=H\Rightarrow g\in g^{\prime }H{g}^{\prime -1}.$$所以, 对群作用 ${}^{H^{\prime }\curvearrowright }\left(G\right)$ 而言, $$\boxed{\mathrm{Stab}(gH)=H^{\prime }\cap gH{g}^{-1}}.$$这个计算将 ${}^{H^{\prime }\curvearrowright }\left(G\right)$ 的稳定化子与子群 $H$ 的共轭关联在一起.

注记 3.2.8. 若 $G$ 传递地作用在 $X$ 上, 则对任意 $x\in X$, 映射$${\phi }_x:G⟶X,g\cdot \mathrm{Stab}(x)\mapsto g\cdot x,$$是双射, 其中 $G$ 是左陪集的集合.

${\phi }_x$ 显然是满射, 现在证明单射性: 若 ${\phi }_x(g\cdot \mathrm{Stab}(x))={\phi }_x(g^{\prime }\cdot \mathrm{Stab}(x))$, 则 $g\cdot x=g^{\prime }\cdot x$, 即 $g^{\prime -1}g\in \mathrm{Stab}(x)$, 从而, $g\in g^{\prime }\cdot \mathrm{Stab}(x)$, 所以, $g\cdot \mathrm{Stab}(x)=g^{\prime }\cdot \mathrm{Stab}(x)$.

现在研究另一点 $x^{\prime }\in X$ 的稳定化子. 根据传递性, 存在 $g\in G$ 使得 $x^{\prime }=g\cdot x$. 此时, $$h\cdot gx=gx\iff g^{-1}hgx=x.$$从而, $g^{-1}\mathrm{Stab}(x^{\prime })g\subset \mathrm{Stab}(x)$. 据此, 我们得到如下公式: $$\boxed{\mathrm{Stab}(gx)=g\cdot \mathrm{Stab}(x)\cdot g^{-1}}.$$

简而言之, 基准点 $x$ 的改变对应于其稳定化子的共轭.

上述计算表明, 用 $G$ 通过左乘法作用在 $G$ 与 ${}^{G\curvearrowright }X$ 是同构的, 请参考定义. 实际上, 这两个群作用之间的同构由如下映射给出: $$\{\begin{array}{l}\phi :G\to G,g\mapsto g,\\ \psi :G\to X,g\mathrm{Stab}(x)\mapsto g\cdot x.\end{array}$$另外, 用 $G$ 通过左乘法作用在 $G$ 与 $G$ 是同构的, 其中 $x^{\prime }=gx$. 实际上, 这两个群作用之间的同构由如下映射给出: $$\{\begin{array}{l}\phi :G\to G,g\mapsto g,\\ \psi :G\to G,h\mathrm{Stab}(x)\mapsto g^{-1}h\cdot \mathrm{Stab}(x).\end{array}$$

反之, 给定 $G$ 的子群 $H$, $G$ 通过左乘法作用在 $G$ 上, 这是传递的并且 $H=\mathrm{Stab}(H)$.

作为总结: 给定 $\mathbf{G}$ 能传递地作用于其上的集合 $\mathbf{X}$ 等价于在模掉共轭的关系下给定 $\mathbf{G}$ 的子群.

练习 3.2.9. $G$ 是有限群并且传递地作用在集合 $X$ 上. 证明, $X$ 是有限集并且 $|X|$ 整除 $|G|$.

作为上述讨论的应用, 我们证明所谓的轨道计数公式:

注记 3.2.10 (轨道计数公式). 群 $G$ 作用在集合 $X$ 上, 对任意 $x\in X$, 以下映射为双射: $$G\stackrel{\simeq }{⟶}\mathrm{orb}(x),g\mathrm{Stab}(x)\mapsto g\cdot x.$$从而, $$\left|G\right|=|\mathrm{orb}(x)|.$$假设 $G$ 是有限群并且在有限集 $X$ 上作用, 根据作用的轨道分解: $$X=\coprod _{k=1}^m\mathrm{orb}(x_k),$$其中, $m$ 为作用的轨道数目, 就得到如下公式$$\boxed{\frac{|X|}{|G|}=\sum _{k=1}^m\frac{1}{|\mathrm{Stab}(x_k)|}}.$$

例子 3.2.11. $G$ 是群, $H⊲G$ 是正规子群. $G$ 通过共轭可以作用在 $H$ 上: $$G\times H⟶H,g\mapsto (x\mapsto gx{g}^{-1})$$即$$G\to {\mathfrak{S}}_H,g\mapsto \mathrm{Int}(g).$$

当 $H=G$ 时, 以上共轭作用的轨道为恰为 $G$ 的共轭类. 给定 $x\in G$, 其稳定化子是由与 $x$ 交换的元素构成, 即其中心化子 ${\mathrm{C}}_x(G)$) . 根据轨道计数公式, 我们得到共轭类的公式: $$\boxed{\sum _i\frac{1}{|{\mathrm{C}}_{x_i}(G)|}=1},$$其中, 以上对 $G$ 的共轭类求和而 $x_i$ 为相应共轭类的代表元.

$p$ 是素数. 若群 $G$ 的阶是 $p$ 的幂, 就称 $G$ 为 $\mathbf{p}$-群. 作为以上共轭作用的应用, 我们证明

命题 3.2.12. $p$-群的中心非平凡.

证明. $G$ 为 $p$-群, 为了证明 $\mathrm{Z}(G)\ne 1$, 只要考虑 $G$ 通过共轭在 $G$ 上的作用并说明除了 $1\in G$ 的轨道, 还有轨道的恰好有一个元素即可 (这个元素显然在 $\mathrm{Z}(G)$ 里) . 根据共轭类公式: $$p^f=|G|=\sum _{i=1}^m|\mathrm{Conj}(x_i)|=1+\sum _{i=2}^m|\mathrm{Conj}(x_i)|,$$其中, $m$ 为共轭类的个数. 在共轭作用下, $\{1\in G\}$ 是一个单独的轨道, 上式右边的 $1$ 代表该轨道的元素个数. 然而, 上式左边整除 $p$ 但是右边每个 $|\mathrm{Conj}(x_i)|$ 都整除 $p^f$, 从而右边其余轨道不可能均为 $p$ 的倍数. 据此, 还有其它轨道其元素个数也是 $1$.

$\square$

例子 3.2.13 (${\mathfrak{S}}_6$ 的非平凡外自同构). 请参考例 3.2.6. 令 $H<{\mathfrak{S}}_6$ 是有 $120$ 个元素的子群并且 ${}^{H\curvearrowright }\{1,2,3,4,5,6\}$ 是传递的, $X={\mathfrak{S}}_6$, 则 $|X|=6$. 我们记$$X=\{g_{0}H,g_{1}H,\cdots ,g_{5}H\},Y=\{g_{1}H,g_{2}H,g_{3}H,g_{4}H,g_{5}H\},$$其中 $g_0\in H$. 考虑 ${\mathfrak{S}}_6$ 通过左乘法在 $X$ 上的作用, 这定义了群同态$$f:{\mathfrak{S}}_6⟶{\mathfrak{S}}_X.$$我们证明, 通过 $X$ 中的元素的标号将 ${\mathfrak{S}}_X$ 与 ${\mathfrak{S}}_6$ 等同, 则上述 $f:{\mathfrak{S}}_6\to {\mathfrak{S}}_6$ 是同构但不是内自同构.

以上群作用给出了 $H$ 在 $X$ 上的作用 ${}^{H\curvearrowright }X$. 由于 $H<\mathrm{Stab}(g_{0}H)$, ${}^{H\curvearrowright }X$ 给出了 $H$ 在 $Y$ 上的作用. 特别地, 我们有群同态$$\phi :H⟶{\mathfrak{S}}_Y\simeq {\mathfrak{S}}_5,h\mapsto (g_{i}H\mapsto h{g}_{i}H).$$我们说明 $\mathrm{Ker}(\phi )=N=1$. 实际上, 若 $h\in N<H$, 则对任意 $g_i$, $g_i^{-1}h{g}_i\in H$, 从而对任意 $g\in {\mathfrak{S}}_6$, $g^{-1}hg\in H$, 所以 ${\mathfrak{S}}_6$ 正规子群 $N^{\prime }=⟨gN{g}^{-1}|g\in {\mathfrak{S}}_6⟩<H$. 但是 ${\mathfrak{S}}_6$ 唯一非平凡的正规子群 ¹为 ${\mathfrak{A}}_6$, 其指标为 $2$, 而 $H$ 的指标为 $6$, 从而 $[{\mathfrak{S}}_6:N^{\prime }]⩾6$, 所以, $N^{\prime }=1$. 这表明 $N=1$, 即 $\phi$ 是单射. 另外, $|H|=|{\mathfrak{S}}_Y|$, 所以 $\phi$ 是群同构.

以上的讨论可交换图表示: $f$ 必为同构: 否则, $\mathrm{Ker}(f)\simeq {\mathfrak{A}}_6$, 从而, $\mathrm{Im}(f)$ 只有两个元素, 然而仅 $H$ 的像就至少 $120$ 个元素, 矛盾.

现在将 ${\mathfrak{S}}_X$ 等同为 ${\mathfrak{S}}_6$, 则 $f\in \mathrm{Aut}({\mathfrak{S}}_6)$. 我们注意到 $f^{-1}({\mathfrak{S}}_Y)=H$, 并且 ${\mathfrak{S}}_Y$ 恰为 ${\mathfrak{S}}_5$ 到 ${\mathfrak{S}}_6$ 的标准嵌入之一 (因为 ${\mathfrak{S}}_Y=\mathrm{Stab}(g_{0}H)$) . 如果 $f$ 是内自同构, 则 $f^{-1}$ 也是, 从而 $f^{-1}({\mathfrak{S}}_Y)=H$ 是固定某元素所给的 ${\mathfrak{S}}_5\hookrightarrow {\mathfrak{S}}_6$, 这与 $H$ 的作用是传递的相矛盾.

1.	^ 参考作业 3.6.2 的 B4)