习题课: 拓扑空间

定义 1 (拓扑空间). $X$ 是集合, $T = {U ∣ U \subset X}$ 是 $X$ 的某些子集所组成的集合. 如果下面三个条件成立

1.	$\emptyset \in T$ , $X \in T$ .
2.	对任意的 ${U_{α}}_{α \in A} \subset T$ , 其中 $A$ 为指标集合, 我们有 $α \in A ⋃ U_{α} \in T$ .
3.	对任意有限个 $U_{1}, U_{2}, \dots, U_{m} \in T$ , 我们有 $1 ⩽ i ⩽ m ⋂ U_{i} \in T$ .

我们就称 $T$ 是 $X$ 上的一个拓扑, 每个 $U \in T$ 都被称作是 (拓扑 $T$ 下的) 开集. 我们把二元组 $(X, T)$ 称作是一个拓扑空间.

给定拓扑空间

(X, T)

, 考虑子集

F \subset X

, 如果其补集

X - F

是开集 (即

X - F \in T

) , 我们就称

F

是在拓扑

T

下的) 闭集. 对于闭集, 我们有如下的性质:

1.	$\emptyset$ 和 $X$ 都是闭集.
2.	任意多闭集的交集是闭集.
3.	有限个闭集的并集是闭集.

例子 (距离空间). $(X, d)$ 是距离空间, 对任意的 $x \in X$ , 以 $x$ 为中心以 $r$ 为半径的开球我们记作 $B (x, r) = {y \in X ∣ d (y, x) < r} .$ 如果 $U \subset X$ 是若干开球的并, 我们就称 $U$ 是 $(X, d)$ 中 $\underline{开集}$ . 一个等价的说法是对任意的 $x \in U$ , 都存在 $δ > 0$ , 使得 $B (x, δ) \subset U$ . 我们用 $T_{d}$ 表示按照这种特定方式所定义的开集所组成的集合. 我们上学期已经说明了 $\emptyset$ 和 $X$ 都是开集; 任意多开集的并集还是开集; 有限个开集的交集还是开集. 换而言之, $(X, T_{d})$ 是拓扑空间. 我们将 $T_{d}$ 称作是由距离函数 $d$ 所定义的标准拓扑. 距离空间的例子是我们唯一关心的拓扑空间.

我们引入两个拓扑空间之间的连续映射的概念. 从范畴论的观点来看, 连续映射是拓扑空间之间最自然的映射, 这个与我们学过的其它空间之间的映射非常相似: 在线性空间之间应该考虑线性映射, 在群之间应该考虑群同态或者这个学期在两个微分子流形之间应该考虑光滑映射.

定义 2 (连续映射: 开集的逆像是开集). 假设 $(X, T)$ 和 $(X^{'}, T^{'})$ 是拓扑空间, $f : X \to X^{'}$ 是映射. 如果对每个 $U^{'} \in T^{'}$ , 我们有 $f^{- 1} (U^{'}) \in T$ , 我们就称 $f$ 是连续映射.

练习. 连续映射的复合是连续的, 即若 $(X, T)$ , $(X^{'}, T^{'})$ 和 $(X^{''}, T^{''})$ 是拓扑空间, $f : X \to X^{'}$ 和 $f^{'} : X^{'} \to X^{''}$ 是连续映射, 那么 $f^{'} \circ f : X \to X^{''}$ 是连续映射.

练习. $(X, d)$ 和 $(X^{'}, d^{'})$ 是距离空间, $T_{d}$ 和 $T_{d^{'}}$ 分别是 $X$ 和 $X^{'}$ 上由其距离函数所定义的拓扑. 假设 $f : X \to X^{'}$ 是映射, 那么下面两个概念是等价的:

1.	$f : (X, d) \to (X^{'}, d^{'})$ 是距离空间之间的连续映射. (由点列的收敛定义的)
2.	$f : (X, T_{d}) \to (X^{'}, T_{d^{'}})$ 是拓扑空间之间的连续映射.

我们引入拓扑子空间的概念. 这学期课程中将要研究 $R^{n}$ 中曲线与曲面等都是这样的例子.

练习. $(X, T)$ 是拓扑空间, $Y \subset X$ 是子集. 我们考虑 $X$ 上的开集与 $Y$ 的交所构成的集合: $T ∣ ∣_{Y} = {U \cap Y ∣ ∣ U \in T} .$

1.	证明, $T ∣ ∣_{Y}$ 是 $Y$ 上的一个拓扑. 我们称 $(Y, T_{Y})$ 是 $(X, T)$ 的子 (拓扑) 空间.
2.	证明, 包含映射 $ι : Y \to X, y \mapsto y$ 是 $(Y, T_{Y})$ 与 $(X, T)$ 之间的连续映射.
3.	假设 $(Y, T)$ 是拓扑空间, 即 $T$ 是 $Y$ 上的拓扑, 使得包含映射 $ι : Y \to X, y \mapsto y$ 是连续的, 那么 $T \supset T_{Y}$ . 换而言之, $T_{Y}$ 是使得包含映射为连续映射的最小的拓扑.

关于距离空间我们也有子空间的概念: 若 $(X, d)$ 是距离空间, $Y \subset X$ 是子集, 对任意的 $y_{1}, y_{2} \in Y$ , 我们定义 $d_{Y} (y_{1}, y_{2}) = d (y_{1}, y_{2}) .$ 这个 $d_{Y} : Y \times Y \to R_{⩾ 0}$ 定义出了 $Y$ 上的距离函数. 我们将 $(Y, d_{Y})$ 称作是 $(X, d)$ 的子 (距离) 空间

练习. $(X, d)$ 是一个度量空间, $(Y, d_{Y})$ 是 $(X, d)$ 的子距离空间. 那么, 集合 $Y$ 上有两种拓扑:

•	拓扑 $T_{d} ∣ ∣_{Y}$ : 先用 $X$ 的距离函数给出 $X$ 上的开集从而使得 $X$ 成为一个拓扑空间 $(X, T_{d})$ , 然后将这个拓扑限制到 $Y$ 上.
•	拓扑 $T_{d_{Y}}$ : 先用 $X$ 上的距离函数限制到 $Y$ 上使得 $Y$ 成为距离空间, 然后用个距离来定义拓扑.

证明, $T_{d} ∣ ∣_{Y} = T_{d_{Y}}$ . 换而言之, 为了得到距离空间的子集上的拓扑, 我们可以先将它视作是距离空间再取距离所诱导的拓扑, 也可以先将全空间视作是拓扑空间然后取子空间拓扑, 这两种操作是交换的.

最后我们引入同胚的概念:

定义 3. 假设 $(X, T)$ 和 $(X^{'}, T^{'})$ 是拓扑空间, $f : X \to X^{'}$ 是连续的双射. 如果逆映射 $f^{- 1} : X^{'} \to X$ 也是连续的, 我们就称 $f$ 是 $(X, T)$ 与 $(X^{'}, T^{'})$ 之间的同胚. 此时, 我们通常说 $X$ 和 $X^{'}$ 是同胚的.

同胚是拓扑空间之间的等价性. 如果两个拓扑空间同胚, 除非在某些特定的场合, 我们将不再区分它们. 如果我们考虑的是距离空间之间的等价性, 我们通常要求距离空间之间是等距同构的, 即若

(X, d)

与

(\overline{X}, \overline{d})

是距离空间, 如果存在双射

f : (X, d) \to (\overline{X}, \overline{d})

, 使得对任意的

x, y \in X

,

\overline{d} (ι (x), ι (y)) = d (x, y),

我们就称

f

是等距同构.

练习. 我们考虑几个拓扑空间之间的连续映射的例子:

1.	$R$ 和 $(0, 1)$ 上我们给定最常见的绝对值定义的距离, 证明, 它们不等距同构但是它们是同胚的. 简单来说, 拓扑同胚是比等距同构要松散的多的一个等价性.
2.	考虑单位圆周 $S^{1} = {(x, y) \in R^{2} ∣ ∣ x^{2} + y^{2} = 1}$ 并将它视作是拓扑空间. 证明, 映射 $f : [0, 1) \to S^{1}, x \mapsto (cos (2 π x), sin (2 π x)),$ 是连续的双射但是不是同胚.
3.	证明, $S^{1}$ 不于任何一个 $R^{1}$ 的子集 (作为拓扑子空间) 同胚.

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