作业: 反函数和隐函数定理

注记. 本次作业除了问题 $C$ 之外, 都与反函数定理相关.

A. 微分同胚与反函数定理的基本习题

A1)	考虑映射函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 其中$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+x^2\sin \left(\frac{\pi }{x}\right),& x\ne 0;\\ 0,& x=0.\end{array}$$证明, $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可微分并且 $df(0)\ne 0$ 但是在 $0$ 附近任意小的邻域上 $f$ 都不是单射. 请对比反函数定理说明反函数定理中哪一个条件没有被满足.
A2)	考虑映射$$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(x,y)\mapsto (e^x\cos (y),e^x\sin (y)).$$证明, $f$ 在每个 $(x,y)\ne (0,0)$ 处都满足反函数定理的要求但是 $f$ 不是单射也不是满射.
A3)	我们考虑映射$$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(x,y)\mapsto (2x-y+x^{2}y-2y^5,x+3y-4x^2{y}^2).$$ ∘ 证明, 存在 $0$ 的开邻域 $U$ 和 $V$, 使得 $f:U\to V$ 是微分同胚. ∘ 假设 $W=f({\mathbb{R}}^2)$ 为 $f$ 的像, 试问 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 是否为微分同胚?
A4)	假设 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是连续可微的. 如果存在 $a>0$, 使得对任意的 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$, 我们都有$$|f(x)-f(y)|⩾a|x-y|,$$那么, $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是 $C^1$ 的微分同胚. (注意: 反函数定理只给出局部的同胚)
A5)	假设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是 $C^{\infty }$ 的并且存在 $0⩽\alpha <1$, 使得 $|f^{\prime }(x)|⩽\alpha$. 定义$$F:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(x,y)\mapsto (x+f(y),y+f(x)).$$ ∘ 证明, $F$ 是 $C^{\infty }$ 的映射并且对任意的 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, $dF(x,y)$ 可逆. ∘ 证明, 对任意的 $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$, 映射$$g_{a,b}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(x,y)\mapsto (a-f(y),b-f(x))$$是压缩映像. (提示: 请仔细研究反函数定理的证明) ∘ 证明, $F:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 是微分同胚.

B. 从局部微分同胚到整体微分同胚

B1)	$f,g\in C^1(\mathbb{R})$ 是实值函数, 我们假设对任意的 $x,y\in \mathbb{R}$, 都有 $f^{\prime }(x)\ne g^{\prime }(y)$. 我们定义 $F:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$: $$F:(x,y)\mapsto (x+y,f(x)+g(y))$$ ∘ 证明, $F$ 的像 $U=F({\mathbb{R}}^2)\subset {\mathbb{R}}^2$ 是开集. ∘ 证明, $F:{\mathbb{R}}^2\to U$ 是微分同胚.
B2)	$\Omega =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x>0\}\subset {\mathbb{R}}^2$ 是开集, $(x_0,y_0\in \Omega )$, $p:\Omega \to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 的函数, $p_0=p(x_0,y_0)$. 我们定义函数$$F:\Omega \to \mathbb{R},(x,y)\mapsto y-y_0+\frac{p(x,y)+p_0}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}).$$ ∘ 证明, 存在 $p_0$ 点处的一个开邻域 $U$ 以及 $U$ 上的 $C^1$ 函数 $\varphi$, 使得$$F(x,y)=0\text{等价于}y=\varphi (x).$$ ∘ 假设 $p(x,y)=\alpha xy$, $\alpha >0$. 证明下面极限的存在性并计算它 (这个极限的几何意义是什么? ) : $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{p(x,\phi (x))-p_0}{x-x_0}.$$
B3)	考虑映射$$\phi :{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(x,y)\mapsto \left(\sin \left(\frac{y}{2}\right)-x,\sin \left(\frac{x}{2}\right)-y\right)$$ 1) 证明, 这是一个光滑的单射. 2) 计算并证明在任何一个 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ 处, 映射的 Jacobi 矩阵 $\mathrm{Jac}(\phi )(x,y)$ 都是可逆的. 3) 证明, 对任意的 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, 总能开集 $U$ 和 $V$, 使得 $(x,y)\in U$, $f(x,y)\in V$, $f:U\to V$ 是光滑的微分同胚. 4) 证明, $\phi$ 的像是闭集. (提示: 假设 $\{\phi (x_n,y_n){\}}_{n⩾1}$ 是一个收敛的点列, 证明可以找到 $\{(x_n,y_n){\}}_{n⩾1}$ 的子列也收敛) . 5) 证明, $\phi$ 是光滑的微分同胚. 6) 证明, ${\phi }^{-1}$ 是 Lipschitz 的映射, 即存在 $C>0$, 使得对任意的 $(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^2$, 我们有$$|{\phi }^{-1}(x,y)-{\phi }^{-1}(x^{\prime },y^{\prime })|⩽C\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2}.$$(提示: 先证明 $d{\phi }^{-1}$ 是有界的)

C. 实数上 $C^1$ 群结构的分类

对于实数集 $\mathbb{R}$, 我们考虑上面的一个 $C^1$ 的群结构 $(\mathbb{R},\star )$. 按照定义, 所谓的群结构指的是存在 $\mathfrak{e}\in \mathbb{R}$ 和 $C^1$ 的映射$$f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto x\star y,$$满足

a)	对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 都有 $\mathfrak{e}\star x=x\star \mathfrak{e}=x$;
b)	对任意的 $x,y,z\in \mathbb{R}$, 都有 $(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$;
c)	对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 存在唯一的 $y\in \mathbb{R}$, 使得 $x\star y=y\star x=\mathfrak{e}$.

我们习惯上把 $\mathfrak{e}$ 称作是单位元并且把 $c)$ 中的 $y$ 记作是 $x^{-1}$ (请不要和倒数搞混) . 我们在 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 上用 $(x_1,x_2)$ 作为坐标并用 ${\partial }_{1}f$ 和 ${\partial }_{2}f$ 来简记 $f$ 的偏导数. 另外, 在 $\mathbb{R}$ 上我们所熟知的加法和乘法我们用符号 $+$ 和 $\times$ 来表示.

C1)	证明, 对任意的 $x,y,z\in \mathbb{R}$, 我们有$$({\partial }_{2}f)(x\star y,\mathfrak{e})=({\partial }_{2}f)(x,y)\times ({\partial }_{2}f)(y,\mathfrak{e})$$
C2)	证明, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$, $({\partial }_{2}f)(x,\mathfrak{e})>0$.
C3)	假设 $\phi$ 是 $(\mathbb{R},\star )$ 和 $(\mathbb{R},+)$ 这两个群之间的 $C^1$-群同态, 即$$\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$是 $C^1$ 的并且对于任意的 $x,y\in \mathbb{R}$, 我们都有$$\phi (x\star y)=\phi (x)+\phi (y).$$证明, 存在常数 $a\in \mathbb{R}$, 使得$$\phi (x)=a{\int }_{\mathfrak{e}}^x\frac{d\tau }{({\partial }_{2}f)(\tau ,\mathfrak{e})}.$$
C4)	证明, 对任意的 $a\ne 0$, 映射$${\phi }_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto a{\int }_{\mathfrak{e}}^x\frac{d\tau }{({\partial }_{2}f)(\tau ,\mathfrak{e})},$$从 $(\mathbb{R},\star )$ 到 $(\mathbb{R},+)$ 的 $C^1$-群同构, 即 $\phi$ 是群同态并且是 $C^1$-的微分同胚 (它的逆仍然是群同态) .
C5)	证明, $\mathbb{R}$ 上任何一个 $C^1$ 的群结构 $(\mathbb{R},\star )$ 都是交换的, 即对任意的 $x,y\in \mathbb{R}$, $x\star y=y\star x$.
C6)	证明, 映射$$f:{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,((x_1,y_1),(x_2,y_2))\mapsto x\star y=(x_1+x_2,y_1+e^{x_1}{y}_2),$$是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的 $C^1$ 的群结构 $(\mathbb{R},\star )$, 它并不交换.

D. 一个矩阵问题的研究

假设 ${\mathbf{M}}_n$ 为 $n\times n$ 的实系数矩阵的全体. 对于 $A\in {\mathbf{M}}_n$, 我们定义$$\Vert A\Vert =\underset{x\in {\mathbb{R}}^n,x\ne 0}{\sup }\frac{|A\cdot x|}{|x|}.$$其中 $|x|=\sqrt{|x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2}$. 假设 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的特征值.

D1)	试证明, $\Vert A\Vert ={\sup }_{k=1,\cdots ,n}|{\lambda }_k|$. 进一步证明这是一个范数并且和之前定义的 $\Vert \cdot {\Vert }_1$, $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 都等价.
D2)	令 ${\mathbf{GL}}_n(\mathbb{R})$ 是 ${\mathbf{M}}_n$ 中可逆矩阵的全体. 证明, ${\mathbf{GL}}_n(\mathbb{R})$ 是 ${\mathbf{M}}_n$ (这是一个 ${\mathbb{R}}^{n^2}$) 中的开集并且映射$$\mathrm{inv}:{\mathbf{GL}}_n(\mathbb{R})\to {\mathbf{GL}}_n(\mathbb{R}),A\mapsto A^{-1}$$是 $C^1$ 的映射. 进步一证明, 对于 $X\in {\mathbf{M}}_n$, $$d\mathrm{inv}(A)(X)=-A^{-1}\cdot X\cdot A^{-1},$$(你可以将 $d\mathrm{inv}(A)$ 想象成是 $n^2\times n^2$ 的矩阵, 为什么)
D3)	我们定义立方运算 $\mathcal{C}:{\mathbf{M}}_n\to {\mathbf{M}}_n,A\mapsto A^3$. 证明 $\mathcal{C}$ 是连续可微的并计算它的微分 $d\mathcal{C}(A)$. 将 $d\mathcal{C}(A)$ 视为是 $n^2\times n^2$ 的矩阵, 进一步证明$$\Vert d\mathcal{C}(A)-{\mathbf{I}}_{n^2\times n^2}\Vert ⩽6\Vert A-{\mathbf{I}}_{n\times n}\Vert +3\Vert A-{\mathbf{I}}_{n\times n}{\Vert }^2.$$
D4)	令 $B_{\frac{1}{3}}({\mathbf{I}}_{n\times n})=\{X\in {\mathbf{M}}_n|\Vert X-{\mathbf{I}}_{n\times n}\Vert <\frac{1}{3}\}$. 证明, $\mathcal{C}(B_{\frac{1}{3}}({\mathbf{I}}_{n\times n}))$ 是 ${\mathbf{M}}_n$ 中的开集并且$$\mathcal{C}:B_{\frac{1}{3}}({\mathbf{I}}_{n\times n})\to \mathcal{C}(B_{\frac{1}{3}}({\mathbf{I}}_{n\times n}))$$是微分同胚. (提示: 为了证明 $\mathcal{C}$ 是单射, 可以考虑 $\mathcal{D}(A)=\mathcal{C}(A)-3A$ 并证明 $\Vert \mathcal{D}(A)-\mathcal{D}(B)\Vert ⩽\frac{7}{3}\Vert A-B\Vert$)
D5)	我们定义平方运算 $\Theta :{\mathbf{M}}_n\to {\mathbf{M}}_n,A\mapsto A^2$. 证明 $\Theta$ 是连续可微的并计算它的微分 $d\mathcal{C}(A)$. 据此证明, 存在 $\epsilon >0$, 当 $\Vert B-{\mathbf{I}}_{n\times n}\Vert <\epsilon$ 时, 存在 $A\in {\mathbf{M}}_n$, 使得 $A^2=B$.
D6)	假设 $n=2$, $U=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, 是否存在 ${\mathbf{I}}_{2\times 2}$ 的邻域 $\mathcal{I}\subset {\mathbf{M}}_2$, $U$ 的邻域 $\mathcal{U}\subset {\mathbf{M}}_2$ 以及连续可微的映射 $\Psi :\mathcal{I}\to \mathcal{U}$, 使得 $\Psi ({\mathbf{I}}_{2\times 2})=U$ 并且对任意的 $A\in \mathcal{I}$, 都有 $\Psi (A{)}^2=A$? (提示: 考虑 $H=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ 并计算 $d\Theta (U)H$)

E. 利用反函数定理来证明一个和隐函数定理相关的命题

令 $E={\mathbb{R}}^m$, $F={\mathbb{R}}^n$, 其中 $m,n⩾1$. 我们考虑如下的连续可微的映射$$f:F\times E\to E,(\lambda ,x)\mapsto f(\lambda ,x).$$我们假设存在非负常数 $k<1$, 使得对任意的 $(\lambda ,x)\in F\times E$, 我们都有 $\Vert d_{2}f(\lambda ,x)\Vert <k$, 其中, 我们认为 $\lambda$ 是固定的, $d_2$ 代表对后面 $E$ 的变量求微分.

E1)	利用 Banach 不动点定理证明, 对任意的 $\lambda \in F$, 存在唯一的 $x_{\lambda }\in E$, 使得 $f(\lambda ,x_{\lambda })=x_{\lambda }$. 这定义出映射: $$\phi :F\to E,\lambda \mapsto x_{\lambda }.$$
E2)	选定 ${\lambda }_0\in F$, 令 $x_0=\phi ({\lambda }_0)$, 证明, 存在 ${\lambda }_0$ 在 $F$ 中的邻域 $U$ 和 $C^1$ 的映射 $\psi :U\to E$, 使得对任意的 $\lambda \in U$, 我们都有 $f(\lambda ,\psi (\lambda ))=\psi (\lambda )$. (提示: 考虑映射 $g:F\times E\to E,(\lambda ,x)\mapsto x-f(\lambda ,x)$. )
E3)	证明, 第一步定义的 $\phi$ 是 $C^1$ 的并计算它的微分.
E4)	证明, 对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 存在唯一的 $C^1$ 映射 $t\mapsto (x(t),y(t))\in {\mathbb{R}}^2$, 使得$$\{\begin{array}{ll}x& =\frac{1}{2}\sin (x+y)+t-1,\\ y& =\frac{1}{2}\cos (x-y)-t+\frac{1}{2}.\end{array}$$进一步证明 $(x(t),y(t))=(0,0)$ 当且仅当 $t=1$ 并计算 $x^{\prime }(1)$ 和 $y^{\prime }(1)$.

寄语. Technical skill is mastery of complexity while creativity is mastery of simplicity.

E.C. Zeeman, Catastrophe Theory, 1977