习题课: Riemann 积分的定义 3

我们沿用上次习题课的记号.

高维的 Lebesgue 定理

假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是子集, 对任意的函数 $f:A\to \mathbb{C}$ 和 $x\in A$, 我们定义 $f$ 在 $x$ 处的振幅为$$\omega (f,x)=\underset{\delta >0}{\inf }\left(\underset{y,z\in B_x(\delta )\cap A}{\sup }|f(y)-f(z)|\right),$$其中, $B_x(\delta )$ 为中心在 $x$ 处半径为 $\delta$ 的闭球.

R51)	证明, $f$ 在 $x$ 处连续当且仅当 $\omega (f,x)=0$. (这个性质对于 $A$ 是任意的距离空间都成立)
R52)	我们现在假设 $A=P$ 是矩形, $f\in \mathcal{R}(P)$ 是 Riemann 可积的函数. 证明, 对任意的 $\alpha >0$, 集合$$A_{\alpha }=\{x\in P\mid \omega (f,x)⩾\alpha \}$$是 (Lebesgue 意义下的) 零测集. (请参考上学期第二十二次课的讲义中在 $1$ 维时的证明)
R53)	(Lebesgue 定理) 假设 $f$ 是矩形 $P$ 上的有界函数. 证明, $f$ 是 Riemann-可积的当且仅当 $f$ 的不连续点集是零测集 (Lebesgue 意义下) . (请参考上学期第二十二次课的讲义中在 $1$ 维时的证明)
R54)	我们现在假设 $A=P$ 是矩形并且 Riemann-可积的函数 $f\in \mathcal{R}(P)$ 的取值是非负的. 证明, ${\int }_{P}f=0$ 当且仅当 $\{x\in P|f(x)\ne 0\}$ 是 (Lebesgue 意义下的) 零测集.
R55)	(Lebesgue 定理) 假设 $f$ 是有界集合 $A$ 上的有界函数, $\tilde{f}$ 是 $f$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上用 $0$ 所做的延拓 (请参考上次习题课中的构造) . 证明, $f$ 在 $A$ 上是 Riemann 可积的当且仅当 $\tilde{f}$ 的不连续点集是 (Lebesgue 意义下的) 零测集.
R56)	假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 有界并且 $\partial A$ 是 (Lebesgue 意义下的) 零测集. 证明, $A$ 上的连续函数在 $A$ 上 Riemann 可积.

抽象可铺集上的积分

R57)	假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是 $\mathcal{R}$-零测集, $f$ 是 $A$ 上的有界函数. 证明, $f\in \mathcal{R}(A)$ 并且$${\int }_{A}f=0.$$
R58)	假设 $A$ 和 $B$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中两个有界集, $A\cap B$ 是 $\mathcal{R}$-零测集, $f$ 是定义在 $A\cup B$ 上复值函数. 证明, 如果在 $A$, $B$ 和 $A\cup B$ 这三个集合中的任意两个上面, $f$ 是 Riemann-可积的, 那么它在第三个集合上也是 Riemann-可积的并且下面的等式成立: $${\int }_{A\cup B}f={\int }_{A}f+{\int }_{B}f.$$
R59)	假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界集并且 $f\in \mathcal{R}(A)$. 证明, 如果 $B\subset A$ 是抽象可铺的, 那么 $f{|}_B$ 是 $B$ 上的 Riemann-可积函数.
R60)	假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是抽象可铺集, $f\in \mathcal{R}(A)$, $\overline{f}$ 是 $f$ 在 $\overline{A}$ ($A$ 的闭包) 上的一个有界的延拓 (即 $\overline{f}$ 是 $\overline{A}$ 上的有界函数并且 $\overline{f}{|}_A=f$) . 证明, 对任意的 $B$, 满足 $\mathring{A}\subset B\subset \overline{A}$, $\overline{f}{|}_B$ 在 $B$ 上是 Riemann 可积的并且$${\int }_B\overline{f}={\int }_{A}f.$$
R61)	假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是抽象可铺集. 证明, 每个满足 $\mathring{A}\subset B\subset \overline{A}$ 的集合 $B$ 都是抽象可铺集并且 $m(B)=m(A)$.
R62)	(Chasles 定理) 给定有限个抽象可铺集 $A_1,\cdots ,A_N\subset {\mathbb{R}}^n$, 其中对任意的 $i\ne j$, $A_i\cap A_j$ 是 $\mathcal{R}$-零测集, 给定函数$$f:\bigcup _{i=1}^N{A}_i\to \mathbb{C}.$$证明, $f\in \mathcal{R}\left(\bigcup _{i=1}^N{A}_i\right)$ 当且仅当对每个 $i$, 我们都有 $f\in \mathcal{R}(A_i)$. 如果上述成立, 进一步证明$${\int }_{{\cup }_{i⩽N}{A}_i}f=\sum _{i=1}^N{\int }_{A_i}f.$$
R63)	假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是抽象可铺集, $A$ 上定义的有界函数 $f$ 在 $\mathring{A}$ 上连续. 证明, $f$ 在 $A$ 上是 Riemann-可积的.
R64)	假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是紧的抽象可铺集, $f$ 是 $A$ 上的连续函数. 证明, $f\in \mathcal{R}(A)$.

与 Lebesgue 积分的联系

R65)	假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是抽象可铺集. 证明, $A$ 是 Lebesgue 可测集 (按定义, 一个集合 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是 Lebesgue 可测的指的是存在 Borel 集 $B_1$ 和 $B_2$, 使得 $B_1\subset A\subset B_2$ 并且 $m(B_1)=m(B_2)$. Borel 集未必是 Lebesgue 可测集. Lebesgue 可测集是 Borel 代数对于 Lebesgue 测度的完备化. )
R66)	假设 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是抽象可铺集, $f\in \mathcal{R}(A)$. 证明, $f$ 在 $A$ 上是 Lebesgue 可积的并且$${\int }_{A}f={\int }_{A}fdm,$$其中后者是 Lebesgue 积分.

寄语. One should never try to prove anything that is not almost obvious.

—— Alexandre Grothendieck