作业: 波动方程的局部能量估计

课堂补充

A1)	(闭子空间) $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是 Hilbert 空间, $V\subset H$ 是其线性子空间. 我们假设 $V$ 是 $H$ 中的闭集 (相对于 $H$ 上由内积所定义的距离函数而言) . 证明, 对任意的 $v_1,v_2\in V$, 如果我们仍用 $⟨v_1,v_2⟩$ 作为 $V$ 上的内积, 那么 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是 Hilbert 空间. 证明, 对于 $H=L^2({\mathbb{R}}^n)$, $V=C({\mathbb{R}}^n)\cap L^2({\mathbb{R}}^n)$ 不是闭子空间.
A2)	给定 $L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 中的函数序列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$, 我们假设它们在 $L^2$ 范数下收敛到 $f$, 即$$f_i\stackrel{L^2(X,\mathcal{A},\mu )}{⟶}f,i\to \infty .$$那么, 存在子函数序列 $\{f_{i_p}{\}}_{p⩾1}$, 使得对几乎处处的 $x\in X$, 我们都有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{f}_{i_p}(x)=f(x).$$
A3)	证明, $(L^1({\mathbb{R}}^n),\ast )$ 中没有单位元, 即不存在 $e\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 使得对任意的 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 都有 $e\ast f=f$.
A4)	证明, $C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 是 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 的稠密子空间.
A5)	举例说明 $C({\mathbb{R}}^n)\subset L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 不是稠密的.
A6)	证明, $C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)\cap L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 在 $C({\mathbb{R}}^n)\cap L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 中稠密 (对 $\Vert \cdot {\Vert }_{L^{\infty }}$ 而言) .
A7)	假设 $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是 Hilbert 空间, $V\subset H$ 是线性子空间. 证明, $V$ 在 $H$ 中稠密当且仅当对任意的 $x\perp V$ 一定有 $x=0$.
A8)	试证明, $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 是可分的. (可以参考讲义中的提示)
A9)	(重要) 假设 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ 并且 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)dx=1$, 我们定义$$f_{\epsilon }(x)=\frac{1}{{\epsilon }^n}f\left(\frac{x}{\epsilon }\right).$$证明, 对任意的有紧支集的连续函数 $\phi$, 我们都有如下的一致收敛: $$f_{\epsilon }\ast \phi \to \phi ,\epsilon \to 0.$$

控制收敛与 Fubini 定理的复习

含参数积分的研究

B1)	证明, 对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 如下积分是良好定义的: $$F(t)={\int }_0^{\infty }\frac{1+t{x}^5+t^2{x}^{11}}{1+t^4+x^{13}}dx.$$
B2)	证明, $F(t)$ 是 $t\in \mathbb{R}$ 的连续函数.
B3)	证明, $F(t)$ 是可导的.
B4)	试计算 $\underset{t\to +\infty }{\lim }F(t)$.
B5)	证明, 对 $t\ne 0$, 如下的积分是发散的: $${\int }_0^{\infty }\frac{1+t{x}^5+t^2{x}^{11}}{1+t^4+x^{12}}dx$$
B6)	证明, 对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 如下在 Riemann 意义下的反常积分是良好定义的: $$G(t)={\int }_0^{\infty }\frac{1+t{x}^5+t^2{x}^{11}}{1+t^4+x^{12}}{e}^{ix}dx,$$即 $\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_0^T\frac{1+t{x}^5+t^2{x}^{11}}{1+t^4+x^{12}}{e}^{ix}dx$ 存在.
B7)	证明, $G(t)$ 是 $t\in \mathbb{R}$ 的连续函数.
B8)	试计算 $\underset{t\to +\infty }{\lim }G(t)$.

Laplace 变换的基本性质

C1)	假设 $f(t)$ 是 ${\mathbb{R}}_{>0}$ 上定义的 Lebesgue 可积函数. 我们定义它的 Laplace 变换为: $$(\mathcal{L}f)(x)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-xt}dt,$$其中 $x>0$. 证明, $(\mathcal{L}f)(x)$ 是 $C^{\infty }$ 的函数.
C2)	证明, 对任意的 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 我们都有$${\left(\frac{d}{dx}\right)}^n(\mathcal{L}f)(x)={\int }_0^{\infty }(-t{)}^{n}f(t)e^{-xt}dt.$$
C3)	假设 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 ${\mathbb{R}}_{>0}$ 上定义的 Lebesgue 可积函数, 我们定义它们的 “卷积” 为$$(f\bullet g)(t)={\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau .$$证明, $f\bullet g=g\bullet f$.
C4)	假设 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 ${\mathbb{R}}_{>0}$ 上定义的 Lebesgue 可积函数. 证明, $$\mathcal{L}(f\bullet g)(x)=(\mathcal{L}f)(x)(\mathcal{L}g)(x).$$

Stokes 公式的应用: 波动方程的局部能量估计

假设 $u(t,x)$ 是 $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^3$ 上的光滑函数, 这里空间变量 $x\in {\mathbb{R}}^3$, 时间变量 $t\in \mathbb{R}$. 我们假设 $u$ 满足波动方程: $$\square u=0,$$其中波动算子的定义如下: $$\square =-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}+△=-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_3^2}.$$我们令 $u_0(x)=u(0,x)$, $u_1(x)=\frac{\partial u}{\partial t}(0,x)$, 这样的一对函数 $(u_0,u_1)$ 被称作是波动方程的初始值.

我们做如下的假设: 对任意的时间 $t\in \mathbb{R}$, $u(t,x)$ 对 $x$ 而言有紧支集.

D1)	我们定义波动方程的能量函数$$E(t)=\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}|\frac{\partial u}{\partial t}(t,x){|}^2+|\nabla u(t,x){|}^{2}dx.$$证明能量守恒定律: 对任意的时刻 $t\in \mathbb{R}$, 有$$E(t)=E(0).$$
D2)	对于 $i=1,2,3$, 我们定义波动方程的动量函数$$P_i(t)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial x_i}dx.$$证明动量守恒定律: 对任意的时间 $t$, 有$$P_i(t)=P_i(0).$$
D3)	(解的唯一性) 假设 $u(t,x)$ 和 $v(t,x)$ 都满足波动方程以及上面的假设. 证明, 如果它们具有相同的初始值, 即 $u_0(x)=v_0(x)$, $u_1(x)=v_1(x)$, 那么 $u(t,x)\equiv v(t,x)$.
D4)	任意给定 $R>0$, 假设 $r⩽R$. 我们在时空 $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^3$ 中定义如下的几何对象: ∘ 实心锥 $\mathbf{D}=\{(t,x)\mid t\in [0,R],|x|⩽R-t\}$. 这是顶点在 $(t,x)=(R,0)$ 处的一个实心锥. ∘ 实心圆台 ${\mathbf{D}}_{0⩽t⩽r}=\{(t,x)\mid t\in [0,r],|x|⩽R-t\}$ (图中两个淡蓝色圆盘之间的区域) . ∘ 圆锥截面 ${\mathbf{C}}_{0⩽t⩽r}=\{(t,x)\mid t\in [0,r],|x|=R-t\}$ (图中的灰色区域所代表的表面) . ∘ 不同时刻的球面 ${\mathbf{B}}_t=\{(t,x)\mid |x|⩽R-t\}$ (图中淡蓝色的圆盘区域) . 给定 $(t_0,x_0)\in {\mathbf{C}}_{0⩽t⩽r}$. 证明, ${\mathbf{C}}_{0⩽t⩽r}$ 在这一点处的切空间由以下三个向量张成 (球坐标系) $$L=\frac{\partial }{\partial t}-\frac{\partial }{\partial r},e_1=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \vartheta },e_2=\frac{1}{r\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \phi }.$$作为传统的记号, 我们记 $|/\nabla u{|}^2=|{\nabla }_{e_1}u{|}^2+|{\nabla }_{e_2}u{|}^2$.
D5)**	我们定义局部能量$$E_{\mathrm{loc}}(t)=\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbf{B}}_t}|\frac{\partial u}{\partial t}(t,x){|}^2+|\nabla u(t,x){|}^{2}dx.$$证明, 对任意的 $r⩽R$, 我们都有$$E_{\mathrm{loc}}(0)=E_{\mathrm{loc}}(r)+{\int }_{{\mathbf{C}}_{0⩽t⩽r}}|{\nabla }_{L}u{|}^2+|/\nabla u{|}^{2}d\sigma .$$(提示: 对 $\square u=0$ 两边同时乘以 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 并在区域 ${\mathbf{D}}_{0⩽t⩽r}$ 上积分, 你需要运用 Stokes 公式来得到边界上的积分)
D6)*	(波方程的有限传播速度) 我们现在只假设 $u(t,x)$ 是光滑的. 证明, 如果 $u_0$ 和 $u_1$ 有紧支集, 那么对任意的时刻 $t$, $u(t,x)$ 对 $x$ 有紧支集.
D7)*	假设 $u(t,x)$ 是光滑函数并且满足非线性波动方程$$-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}u+△u=u^3.$$证明, 如果 $u_0$ 和 $u_1$ 有紧支集, 那么对任意的时刻 $t$, $u(t,x)$ 对 $x$ 有紧支集.

寄语. In order to solve this differential equation you look at it until a solution occurs to you.

—— George Pólya