作业: Émile Borel 引理, Peano 的证明

基本习题

习题 A: 中值定理和 Taylor 展开

如果不额外说明, $f$ 总代表一个区间 $I$ 上定义的函数.

A1)	设 $f$ 在点 $x$ 处有二阶导数. 证明, 下面的极限给出了二阶导数: $$\begin{array}{r}{f}^{\prime \prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}\end{array}$$
A2)	(Taylor 展开式的唯一性, Peano 余项) . 假设 $f$ 在 $x_0$ 附近的函数, 并且当 $x\to x_0$ 是, 满足$$\begin{array}{rl}f(x)& =a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+o(|x-x_0{|}^n)\\ & =b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0{)}^2+\cdots +b_n(x-x_0{)}^n+o(|x-x_0{|}^n)\end{array}$$其中 $a_i,b_i,i=0,\cdots ,n$ 是实数, 那么, 对任意的 $i$, 我们都有 $a_i=b_i$.
A3)	假设 $f$ 在 $0$ 处有 $n$ 阶导数. 证明, 如果 $f(x)$ 是偶函数 (奇函数) , $f$ 在 $0$ 处的 Taylor 展开式 (Peano 余项) 中只有 $x$ 的偶次项 (奇数项) .
A4)	(Rolle 定理的简单推广) 设函数在有限或无穷的区间 $(a,b)$ 上可微并且 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$. 证明, 存在 $x_0\in (a,b)$, 使得 $f^{\prime }(x_0)=0$.
A5)	设函数 $f\in C^0([a,b])$ 并且在 $(a,b)$ 上可微. 证明, $f$ 在 $[a,b]$ 上严格递增的充分必要条件是对任意 $x\in (a,b)$, $f^{\prime }(x)⩾0$ 并且在任意子区间 $(c,d)\subset (a,b)$ 上, $f^{\prime }(x)$ 不恒等于 $0$.
A6)	$g\in C(\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}$ 上可微. 假设存在常数 $M$, 使得 $\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|g^{\prime }(x)|⩽M$. 对任意的 $\epsilon >0$, 我们定义$$f_{\epsilon }(x)=x+\epsilon g(x).$$证明, 存在仅依赖于 $M$ 的常数 $\delta =\delta (M)>0$, 使得当 $\epsilon <\delta$ 时, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是双射.
A7)	设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有两阶导数并且 $f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)=0$. 证明, 存在 $c\in (a,b)$ 使得$$|f^{\prime \prime }(c)|⩾\frac{4}{(b-a{)}^2}|f(b)-f(a)|$$
A8)	假设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上二次可导, 对 $k=0,1,2$, 我们假设 $M_k=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|f^{(k)}(x)|$ 都是有限的. 证明, $M_1^2\le 2M_0{M}_2$.
A9)	假设 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上二次可导, $f^{\prime \prime }$ 在 $(0,+\infty )$ 上有界并且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$. 证明, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=0$.

习题 B: L’Hôpital 法则

用 L’Hôpital 法则求极限: $$\begin{array}{rlrlrl}(1)& \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\log x}{x^a},a>0& & (2)\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^a}{b^x},a>0,b>1& & (3)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-e^{bx}}{\sin ax-\sin bx}\\ (4)& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x-\sin x}& & (5)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x^2}{x^2\sin x^2}& & (6)\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{2x-x^4}-\sqrt[3]{x}}{1-x^{4/3}}\\ (7)& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\log (x)\log (1-x)& & (8)\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\log \sin ax}{\log \sin bx},a,b>0& & (9)\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x\\ (10)& \underset{x\to 1}{\lim }{x}^{\frac{1}{1-x}}& & (11)\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{1}{\log x}-\frac{1}{x-1}\right)& & (12)\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\sin x{)}^x\\ (13)& \underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/(1-\cos x)}& & (14)\underset{x\to a}{\lim }\frac{a^x-x^a}{x-a},a>0& & (15)\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(1+1/x{)}^x-e}{1/x}\\ (16)& \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{\log x}}{(\log x{)}^x}& & (17)\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[(x+a{)}^{1+1/x}-x^{1+\frac{1}{x+a}}\right]& & \end{array}$$$$(18)\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\cdot \frac{\log (e^x+x)}{x}\right]$$

习题 C: 函数最值

求下列函数在给定区间上的最大值和最小值:

1)	$f(x)=x^4-2x^2+5$, $x\in [-2,2]$;   2) $f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$, $x\in \mathbb{R}$;
3)	$f(x)=\arctan x-\frac{1}{2}\log (1+x^2)$;   4)  $f(x)=x\log x$, $x\in (0,+\infty )$;
5)	$f(x)=\sqrt{x}\log x$, $x\in (0,+\infty )$;   6) $f(x)=2\tan x-{\tan }^{2}x$, $x\in [0,\frac{\pi }{2})$.

习题 D: 极大值的判定, 重要

$f$ 在 $(a,b)$ 上可微. 假设对于 $x_0\in (a,b)$, 我们有 $f^{\prime }(x_0)=0$.

D1)	证明, $f$ 在 $x_0$ 处取局部极大值的一个充分条件是: 存在某一邻域 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )\subset (a,b)$, 使得$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{l}>0,\text{对所有的}x\in (x_0-\delta ,x_0);\\ <0,\text{对所有的}x\in (x_0,x_0+\delta ).\end{array}$$
D2)	(最重要的判别方法, 有很多应用) 证明, 如果 $f^{\prime \prime }(x_0)$ 存在并且 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, 那么 $f$ 在 $x_0$ 处取局部极大值.
D3)	假定 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数, $f^{\prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$ 并且 $f^{(n)}(x_0)\ne 0$, 试讨论 $f$ 在 $x_0$ 处取局部极大值的条件 (对 $n$ 分奇偶讨论) .

习题 E: 多项式的根

(提示: 利用中值定理和 $n$-次多项式的至多 (恰好) 有 $n$ 个根)

E1)	证明, 如果实系数多项式 $P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ 的根都是实数 (不妨设 $a_n\ne 0$) , 那么它的逐次导函数 $P_n^{\prime }(x)$, $P_n^{\prime \prime }(x)$ , $\cdots$, $P_n^{(n-1)}(x)$ 的根也都是实数.
E2)	证明, Legendre 多项式 $P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$ 的根都是实数并且包含于区间 $(-1,1)$ 中.
E3)	证明, $L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(e^{-x}{x}^n)$ 是多项式 (被称作是 Laguerre 多项式) 并且它所有的根都是正实数.
E4)	证明, $H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}(e^{-x^2})$ 是多项式 (被称作是 Hermite 多项式) 并且它所有的根都是实数.

习题 F: Émile Borel 引理

第一部分: 截断函数的构造

F1)	定义函数 $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$: $$\varphi (x)=\{\begin{array}{l}{e}^{-\frac{1}{x^2}},x>0;\\ 0,x⩽0.\end{array}$$证明, $\varphi \in C^{\infty }(\mathbb{R})$.
F2)	定义函数 $\chi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$: $$\chi (x)=\frac{\varphi (2-|x|)}{\varphi (2-|x|)+\varphi (|x|-1).}$$证明, $\chi (x)\in C^{\infty }(\mathbb{R})$ 并且 $\chi {|}_{[-1,1]}\equiv 1$, $\chi {|}_{(-\infty ,-2]\cup [2,\infty )}\equiv 0$, $0⩽\chi (x)⩽1$ 并且是偶函数.
F3)	证明, 对任意的 $0<a<b$, 存在光滑偶函数 $\rho (x)\in C^{\infty }(\mathbb{R})$, 使得 $\rho {|}_{[-a,a]}\equiv 1$, $\rho {|}_{(-\infty ,-b]\cup [b,\infty )}\equiv 0$, $0⩽\rho (x)⩽1$.
F4)	证明, 存在偶函数 $\psi \in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 使得 $\psi {|}_{\{x\mid |x|⩽1\}}\equiv 1$, $\psi {|}_{\{x\mid |x|⩾2\}}\equiv 0$, $0⩽\psi (x)⩽1$.

第二部分: 逐项求导定理

$I=[a,b]$ 是闭区间, $\{f_k{\}}_{k⩾0}$ 是 $C^1(I)$ 的一列函数, 我们假设 $\sum _{k=0}^{\infty }{f}_k$ 在 $I$ 上逐点收敛, 即对任意的 $x\in I$, $\sum _{k=0}^{\infty }{f}_k(x)$ 收敛, 我们记 $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{f}_k(x)$.

F5)	我们假设函数级数 $\sum _{k=0}^{\infty }{f}_k^{\prime }(x)$ 在 $I$ 上绝对收敛, 即数项的级数 $\sum _{k=0}^{\infty }\Vert f_k^{\prime }{\Vert }_{\infty }$ 收敛, 其中 $\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{x\in I}{\sup }|f(x)|$. 证明, $f$ 是可导的并且 $f^{\prime }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{f}_k^{\prime }(x)$. (提示: 设法将求和拆 $\sum _{k=0}^{\infty }=\sum _{k=0}^N+\sum _{k=N+1}^{\infty }$)
F6)	(逐项求导定理) $I=[a,b]$ 是闭区间, $\{f_k{\}}_{k⩾0}$ 是 $C^1(I)$ 的一列函数, 我们假设 $\sum _{k=0}^{\infty }{f}_k$ 在 $I$ 上逐点收敛. 如果函数级数 $\sum _{k=0}^{\infty }{f}_k^{\prime }(x)$ 在 $I$ 上一致收敛, 那么 $f$ 是可导的并且 $f^{\prime }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{f}_k^{\prime }(x)$.
F7)	试利用逐项求导定理计算 $e^x$ 的导数.

第三部分: Borel 引理的证明

我们现在任意给定一个数列 $\{a_k{\}}_{k⩾0}$.

F8)	对任意给定的正数 $t_k>0$, 试计算函数 $f_k(x)=\frac{a_k}{k!}{x}^k\chi (t_{k}x)$ 在 $x=0$ 处的任意阶导数 (包括零阶) .
F9)	证明, 当 $k⩾2n$ 时, 我们有$$f_k^{(n)}(x)=a_k\sum _{\ell =0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\ell }\right)\frac{t_k^{n-\ell }}{(k-\ell )!}{x}^{k-\ell }{\chi }^{(n-\ell )}(t_{k}x).$$
F10)	(Borel 引理) 任意给定一个数列 $\{a_k{\}}_{k⩾0}$, 证明, 存在 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数 $f$, 使得对任意的 $k⩾0$, $f^{(k)}(0)=a_k$. (提示: 略难. )

第四部分: Peano 对 Borel 引理的证明  (选做部分, 不交作业)

F11)	$\{c_k{\}}_{k⩾0}$ 和 $\{b_k{\}}_{k⩾0}$ 是两个序列, 其中 $b_k$ 都是正数. 证明, $$(\frac{c_k{x}^k}{1+b_k{x}^2}{)}^{(n)}(0)=\{\begin{array}{l}n!(-1{)}^j{c}_{n-2j}{b}_{n-2j}^j,\text{若}k=n-2j,j\in {\mathbb{Z}}_{⩾0};\\ 0,\text{其它情形}.\end{array}$$
F12)	证明, 存在常数 $C$, 对任意的 $k⩾n+2$, 对任意的 $x$, 我们有$$\left|\right(\frac{c_k{x}^k}{1+b_k{x}^2}{)}^{(n)}(x)|⩽C(n+1)!\frac{|c_k|k!}{b_k}|x{|}^{k-n-2}.$$
F13)	证明, 当 $\{c_k{\}}_{k⩾0}$ 给定的时候, 我们可以选取 $b_k$, 使得 $b_k$ 仅依赖于 $c_k$ 的选取, 并且函数级数 $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{c_k{x}^k}{1+b_k{x}^2}$ 是无限次可微分的.
F14)	证明, $f(0)=c_0$, $f^{\prime }(0)=c_1$, 并且当 $n⩾2$ 时, 我们有$$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=c_n+\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(-1{)}^j{c}_{n-2j}{b}_{n-2j}^j.$$
F15)	证明, 我们可以通过恰当的选取 $\{c_k{\}}_{k⩾0}$ 和 $\{b_k{\}}_{k⩾0}$ 来证明 Borel 引理.

期中考试题目 B

以下为上学期期中考试的 B 部分, 供同学参考, 不交作业

考虑在整个实数上定义的函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

•	如果存在正实数 $A$ (不是无穷) , 使得对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 都有 $|f(x)|⩽A$, 我们就称 $f$ 是有界的. 我们将 $\mathbb{R}$ 上定义的所有有界函数的集合记作 $\mathcal{B}$.
•	如果存在正实数 $B$ (不是无穷) , 使得对任意的 $x,y\in \mathbb{R}$, 都有 $|f(x)-f(y)|⩽B|x-y|$, 我们就称 $f$ 是 Lipschitz 函数. 我们将 $\mathbb{R}$ 上定义的所有 Lipschitz 函数的集合记作 $\mathcal{L}$.

假设 $a,\lambda \in \mathbb{R}$, $f\in \mathcal{B}\cap \mathcal{L}$, 这个问题的目的是找到一个函数 $F\in \mathcal{L}$ 来解下面的函数方程: $$F(x)-\lambda F(x+a)=f(x),x\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(⋆)}$$

第一部分: Lipschitz 函数的基本性质

B1)	证明, 如果 $f,g\in \mathcal{B}\cap \mathcal{L}$, 那么它们的乘积 $fg\in \mathcal{L}$.
B2)	证明, 如果 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可微函数并且 $f\in \mathcal{L}$, 那么 $f^{\prime }\in \mathcal{B}$.
B3)	证明, 如果 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可微函数并且 $f^{\prime }\in \mathcal{B}$, 那么 $f\in \mathcal{L}$.
B4)	如果 $f\in \mathcal{B}$ 并且存在正实数 $B$, 使得对任意的 $x,y\in \mathbb{R}$, $|x-y|⩽1$, 我们都有 $|f(x)-f(y)|⩽B|x-y|$, 证明, $f\in \mathcal{L}$.

第二部分: $|\lambda |<1$ 时方程 $(\star )$ 的解

此后我们设 $f\in \mathcal{B}\cap \mathcal{L}$. 我们在这一部分假设 $|\lambda |<1$.

B5)	假设 $F$ 满足 $(\star )$, 证明, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$ 和 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$, 我们都有$$F(x)={\lambda }^{n}F(x+na)+\sum _{k=0}^{n-1}{\lambda }^{k}f(x+ka)\text{和}F(x)={\lambda }^{-n}F(x-na)-\sum _{k=1}^n{\lambda }^{-k}f(x-ka).$$请任选其一来证明即可.
B6)	证明, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 级数 $\sum _{k⩾0}{\lambda }^{k}f(x+ka)$ 是收敛的.
B7)	根据上述, 对每个 $x\in \mathbb{R}$, 我们定义 $F(x)=\sum _{k⩾0}{\lambda }^{k}f(x+ka)$. 证明, $F\in \mathcal{L}$ 并且解方程 $(\star )$.
B8)	证明, 如果 $F_1,F_2\in \mathcal{L}$ 都满足方程 $(\star )$, 那么 $F_1=F_2$.
B9)	在 $(\star )$ 中取函数 $f(x)\equiv 1$, 试求方程的解 $F_1$; 在 $(\star )$ 中取函数 $f(x)=\cos (x)$, 证明, $F_2(x)=\frac{\cos (x)-\lambda \cos (x-a)}{1-2\lambda \cos (a)+{\lambda }^2}$ 是 $(\star )$ 的解.

第三部分: $|\lambda |>1$ 时方程 $(\star )$ 的解

B10)	参照第二部分的结论, 试陈述当 $|\lambda |>1$ 时应当如何来解方程. 你的陈述不要超过 100 个汉字.
B11)	当 $|\lambda |>1$ 时, 在 $(\star )$ 中取函数 $f(x)\equiv 1$, 试求方程的解 $F_1$; 当 $|\lambda |>1$ 时, 在 $(\star )$ 中取函数 $f(x)=\cos (x)$, 试求 $(\star )$ 的解 $F_2(x)$.

第四部分: $|\lambda |=1$ 时的情形.

B12)	假设 $\lambda =1$. 证明, 存在非零的函数 $F\in \mathcal{L}$, 使得对任意的 $x$, 我们都有 $F(x)-F(x+a)=0$.
B13)	假设 $\lambda =1$. 在 $(\star )$ 中取函数 $f(x)=\cos (x)$. 证明, 如果 $\cos (a)\ne 1$, 那么存在 $F\in \mathcal{L}$ 是 $(\star )$ 的解. 进一步阐述这个解是否唯一?
B14)	假设 $\lambda =1$. 在 $(\star )$ 中取函数 $f(x)=\cos (x)$. 证明, 如果 $a=2\pi$, 那么我们不能在 $\mathcal{L}$ 中找到 $F$, 使得 $F$ 是 $(\star )$ 的解.
B15)	假设 $\lambda =-1$. 证明, 存在非零的函数 $F\in \mathcal{L}$, 使得对任意的 $x$, 我们都有 $F(x)+F(x+a)=0$.
B16)	假设 $\lambda =-1$, $a=1$, $f\in \mathcal{L}$, $f$ 是递减的并且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$, $f$ 可微并且 $f^{\prime }$ 是递增的. 证明, 存在 $F\in \mathcal{L}$, 解如下方程: $$F(x)+F(x+1)=f(x),x\in \mathbb{R}.$$进一步, 如果我们要求 $F\in \mathcal{L}$ 并且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=0$, 那么这样的解是存在唯一的.