作业: 分布的例子, 位势方程

习题 A. (课堂细节的补充) 我们总假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空的开集.

A0)	假设 $K\subset \Omega$ 是紧集, 那么, 存在 $\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ 和开集 $V$, 使得$$K\subset V\subset U;\phi {|}_V\equiv 1.$$这是课上用到的一个技术性引理. 如果你觉得不安心的话, 请证明它.
A1)	证明如下两个常用的收敛定理: ∘ 假设 $\{f_p{\}}_{p⩾1}$ 是 $\Omega$ 上的一列局部可积的函数, $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$. 如果对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 我们有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{f}_p{|}_K\stackrel{L^1(K)}{=}f{|}_K,$$那么, 作为分布, 我们有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{f}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f.$$ ∘ 假设 $\{u_p{\}}_{p⩾1}$ 是 $\Omega$ 上分布的序列, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$. 如果$$\underset{p\to \infty }{\lim }{u}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}u.$$那么, 对任意的多重指标 $\alpha$, 在分布的意义下, 我们有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{\partial }^{\alpha }{u}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\partial }^{\alpha }u.$$
A2)	证明, ${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 和 ${\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 是线性空间. 如果你认为这是显然的, 可以跳过它的证明.
A3)	证明分布的支撑集所满足的性质, 其中 $u$, $u_1$, $u_2$ 都是 $\Omega$ 上的分布. ∘ 两个分布的和的支集: $$\mathrm{supp}(u_1+u_2)\subset \mathrm{supp}(u_1)\cup \mathrm{supp}(u_2).$$ ∘ 对任意的多重指标 $\alpha$, 我们有$$\mathrm{supp}\left({\partial }^{\alpha }u\right)\subset \mathrm{supp}(u).$$ ∘ 对任意的 $f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$\mathrm{supp}(f\cdot u)\subset \mathrm{supp}(u)\cap \mathrm{supp}(f).$$
A4)	证明如下几个精神上类似的命题: 分布是传统意义上函数的推广. ∘ 假设 $\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上两个开集之间的微分同胚. 证明, 对任意的 $u\in L_{\mathrm{loc}}^1({\Omega }_2)$, 如果我们用 ${\Phi }^{\ast }u$ 表示 $u$ 在分布的意义下被 $\Phi$ 所拉回的像, 那么, 在分布的意义下, 我们有$${\Phi }^{\ast }u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}u(\Phi (x)),$$其中, 我们把复合函数 $u(\Phi (x))$ (仍然局部可积) 看作是分布. ∘ 假设 $u\in C^1(\Omega )$. 证明, $u$ 作为分布的导数和它通常意义下导数 (作为分布) 是一致的. ∘ 假设 $u\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$, $f\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$. 证明, 在分布意义下的乘积 $f\cdot u$ (先把 $u$ 视作是分布) 等于现在传统意义下得到 $f\cdot u$ 然后再把这个乘积函数看作是分布.
A5)	对于任意的 $f\in C^{\infty }(\Omega )$ 和 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 对任意的 $k⩽n$, 证明, $${\partial }_k(f\cdot u)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\partial }_{k}f\cdot u+f\cdot {\partial }_{k}u.$$
A6)	((重要的计算) , 参考第五次课第一个定理的证明) 对任意的 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 对任意的 $x_0,a\in {\mathbb{R}}^n$, $\epsilon \in (0,1)$, $|a|=1$, 根据 Taylor 公式, 我们有$$\phi (x_0-y+\epsilon a)-\phi (x_0-y)=\epsilon \sum _{j=1}^n{a}_j{\partial }_j\phi (x_0-y)+{\epsilon }^{2}r(y,\epsilon ,a),$$其中, $$r(y,\epsilon ,a)=2\sum _{|\alpha |=2}\frac{a^{\alpha }}{\alpha !}{\int }_0^1(1-t){\partial }^{\alpha }\phi (x_0-y+t\epsilon a)dt.$$给定分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 通过对上面的式子作用, 我们得到$$u\ast \phi (x_0+\epsilon a)-u\ast \phi (x_0)-\epsilon \sum _{j=1}^n{a}_{j}u\ast {\partial }_j\phi (x_0)={\epsilon }^2⟨u,r(\cdot ,\epsilon ,a)⟩.$$证明, 存在不依赖于 $\epsilon$ 的常数 $C$, 使得$$|⟨u,r(\cdot ,\epsilon ,a)⟩|⩽C.$$
A7)	(重要) 我们选取最心爱的截断函数 $\chi$. 证明, 当 $\epsilon \to 0$ 时, 对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^b)$, 我们都有$${\chi }_{\epsilon }\ast \phi \stackrel{\mathcal{D}}{⟶}\phi .$$
A8)	假设 $f$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的光滑函数, $c\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 证明, 函数$$x\mapsto ⟨c,f(x-\cdot )⟩$$是光滑函数, 其中, 上面的配对是一个有紧支集的分布与一个光滑函数的配对.
A9)	(重要) 证明, ${\mathbb{R}}_t\times {\mathbb{R}}_x^n$ 上定义的函数$$E(t,x)=\frac{1_{t>0}}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{|x{|}^2}{4t}},$$在 $(t,x)=(0,0)$ 之外是光滑的并且满足$$({\partial }_t-△)(E(t,x))=0,\text{对任意的}(t,x)\ne (0,0).$$
A10)	利用卷积的连续性, 重新证明 (概念上更清晰简洁) 关于分布的链式求导法则: 假设 $\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上两个开集之间的微分同胚. 证明, 对任意的 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_2)$, $${\partial }_j({\Phi }^{\ast }u)=\sum _{k=1}^n{\partial }_j{\Phi }_k\cdot {\Phi }^{\ast }\left({\partial }_{k}u\right),$$其中 ${\Phi }_k$ 是 $\Phi$ 的第 $k$ 个分量.
A11)	证明如下几个关于复解析函数的命题: ∘ 计算下列的等式: $$\overline{\partial }(\overline{z})=1;\overline{\partial }\left(\frac{1}{z}\right)=0,z\ne 0.$$ ∘ 假设 $F(z)$ 单位圆盘上的复解析函数, 那么, 对任意的 $0<r<1$, 我们都有$${\int }_{|z|=r}F(z)dz=0.$$ ∘ 证明, 对任意的 $z_0\in \mathbb{C}$ 和 $r>0$, 我们都有$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z-z_0|=r}\frac{1}{z-z_0}dz=1.$$

习题 B (分布的计算) .

B1)	证明, 当 $\epsilon \to 0+$ 时, 如下分布的极限 (在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中收敛) 定义了 $\mathbb{R}$ 上的分布: $$\begin{gathered} \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\epsilon \to 0}{ \\ \epsilon >0}}{\lim }\frac{1}{x+i\epsilon }. \end{gathered}$$我们把这个分布记作$$\begin{gathered} \frac{1}{x+i0}:=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\epsilon \to 0}{ \\ \epsilon >0}}{\lim }\frac{1}{x+i\epsilon }. \end{gathered}$$
B2)	试找一个 $u_{\epsilon }\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得$$u_{\epsilon }^{\prime }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\frac{1}{x+i\epsilon }.$$(你需要小心定义 $\log$ 函数)
B3)	证明, 分布 $\frac{1}{x+i0}$ 有如下的表达式: $$\frac{1}{x+i0}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\mathrm{vp}\frac{1}{x}-i\pi {\delta }_0.$$
B4)	证明, 当 $\epsilon \to 0+$ 时, 如下分布的极限 (在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中收敛) 定义了 $\mathbb{R}$ 上的分布: $$\begin{gathered} \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\epsilon \to 0}{ \\ \epsilon >0}}{\lim }\frac{1}{x-i\epsilon }. \end{gathered}$$我们把这个分布记作$$\begin{gathered} \frac{1}{x-i0}:=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\epsilon \to 0}{ \\ \epsilon >0}}{\lim }\frac{1}{x-i\epsilon }. \end{gathered}$$
B5)	证明, 分布 $\frac{1}{x-i0}$ 有如下的表达式: $$\frac{1}{x-i0}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\mathrm{vp}\frac{1}{x}+i\pi {\delta }_0.$$
B6)	证明, 在分布的意义下, 我们有$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\epsilon }{\pi (x^2+{\epsilon }^2)}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})}{=}{\delta }_0.$$
B7)	当 $n\to \infty$ 时, 试计算下面分布序列 $\{u_n{\}}_{n⩾1}$ 在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中的极限: ∘ $u_n(x)=\sin (nx)$; ∘ $u_n(x)=x^{-1}\sin (nx)$; ∘ $u_n(x)=n\sin (nx)1_{x⩾0}$.

习题 C  (Laplace 算子、位势方程与分布) (这是分布理论乃至微积分中最重要的习题)

假设 $n⩾2$, 我们在 ${\mathbb{R}}^n$ 上考虑问题. 令$$r=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$$为标准的半径函数. 我们用 ${\mathbf{S}}^{n-1}$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的单位球面, 即$${\mathbf{S}}^{n-1}=\{x\in {\mathbb{R}}^n|r(x)=1\}.$$我们用 $d\sigma$ 表示 ${\mathbf{S}}^{n-1}$ 上的曲面测度并用 $\vartheta =\frac{x}{|x|}$ 表示单位球面上的一个点. 我们回忆 Laplace 算子的定义: $$△=\sum _{i=1}^n{\partial }_{x_i}^2.$$

C1)	证明, 对任意 $\phi (x)\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\phi (x)dx={\int }_0^{+\infty }{r}^{n-1}\left({\int }_{{\mathbf{S}}^{n-1}}\phi (r\cdot \vartheta )d\sigma (\vartheta )\right)dr.$$
C2)	当 $n=2$ 时, 我们令$$E=\frac{1}{2\pi }\log (r).$$对任意的 $\epsilon >0$, 定义$$f_{\epsilon }(x)=\{\begin{array}{ll}\log |x|,& x⩾\epsilon ;\\ \log \epsilon ,& |x|<\epsilon .\end{array}$$试利用 $f_{\epsilon }$ 证明: $$△E\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_0$$
C3)	当 $n=2$ 时, 令$$g_{\epsilon }(x)=\{\begin{array}{ll}\log |x|,& x⩾\epsilon ;\\ a_{\epsilon }|x{|}^2+b_{\epsilon },& |x|<\epsilon .\end{array}$$证明, 存在常数 $a_{\epsilon }$ 和 $b_{\epsilon }$, 使得函数 $g_{\epsilon }$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上连续可微.
C4)	当 $n=2$ 时, 试利用函数 $g_{\epsilon }$ 证明: $$△E\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_0$$
C5)	当 $n⩾3$ 时, 我们用 $\left|{\mathbf{S}}^{n-1}\right|$ 表示 ${\mathbf{S}}^{n-1}$ 的测度. 令$$E=\frac{|x{|}^{2-n}}{(2-n)\left|{\mathbf{S}}^{n-1}\right|}.$$证明, $E\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^n)$ 并且作为分布, 我们有$${\partial }_{j}E=\frac{x_j}{\left|{\mathbf{S}}^{n-1}\right||x{|}^n}\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^n).$$
C6)	(接 C6)) 证明, $$△E\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_0$$
C7)	(作为常识) 试计算 (或者查出) $\left|{\mathbf{S}}^{n-1}\right|$ 的数值.

在后面的习题中, 我们假设 $n=3$ (这些结论对 $n⩾3$ 稍作明显的改动也成立, 但是我们更关心具有物理意义的情形) . 此时, $△$ 的一个基本解可以写成: $$E(x)=-\frac{1}{4\pi |x|}\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^3),$$

C8)	对任意的 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$ 和 $f\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$, 如果它们满足方程$$△u=f,$$证明, $u$ 在 $\mathrm{supp}(f)$ 之外是光滑的, 即 $u\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^3-\mathrm{supp}(f))$.
C9)	将 C8) 中的假设放松为 $f\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$. 证明同样的结论: $u\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^3-\mathrm{supp}(f))$.
C10)	证明 Laplace 算子的椭圆正则性定理: 假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 是开集, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 满足$$△u=f,$$其中 $f\in C^{\infty }(\Omega )$ 是光滑函数, 那么, $u\in C^{\infty }(\Omega )$. (通常要得到 $u$ 的正则性需要知道 $u$ 的各个方向的导数, 但是椭圆正则性定理说只要知道一个特殊的二阶导数即可! )
C11)	假定 $f\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$. 证明, 当 $|x|\to \infty$ 时, 存在 $C_1>0$ (依赖于分布 $f$) , 使得$$|E\ast f(x)|⩽\frac{C_1}{|x|}.$$
C12)	假定 $f\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$. 证明, $u=E\ast f$ 是下面的位势方程的解: $$△u=f.$$并且存在常数 $C_2>0$, 使得当 $|x|\to \infty$ 时, 我们有$$\left|u(x)+\frac{⟨f,1⟩}{4\pi |x|}\right|⩽\frac{C_2}{|x{|}^2}.$$根据不同的物理情景, $⟨f,1⟩$ 表示的是 $u$ 的总质量或者总电量.
C13)	假定 $u\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^3;\mathbb{R})$ 是实值函数. 我们定义符号函数 $\mathrm{sign}(u)$ 为$$\mathrm{sign}(u)(x)=\{\begin{array}{ll}& 1,u(x)>0;\\ & 0,u(x)=0;\\ & -1,u(x)<0.\end{array}$$证明, 在分布的意义下, 我们有$$△|u|\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⩾}△u\cdot \mathrm{sign}(u),$$即对任意的 (实值) 非负的 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^3)$, 我们都有$$⟨△|u|,\phi ⟩⩾⟨△u\cdot \mathrm{sign}(u),\phi ⟩,$$(提示: 先在分布的意义下用 $\sqrt{u^2+{\epsilon }^2}$ 来逼近 $u$)

寄语. The topology in $C^{\infty }(X)$ is the inductive limit of the topology in $C_0^{\infty }(K)$ when the compact set $K$ increases to $X$, so it is a LF topology¹. We have avoided this terminology in order not to encourage the once current misconception that familiarity with LF space is essential for the understanding of distribution theory.

—— Lars Hörmander

1.	^ LF 指的是 limit of Fréchet, 这是一列 Fréchet 空间的极限.