63. 微分方程的基本解

解析函数的正则性

我们已经证明了, 在分布的意义下, 有如下的等式$$\overline{\partial }\left(\frac{1}{\pi z}\right)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_0.$$其中, $$\overline{\partial }=\frac{\partial }{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}\right).$$另外, 对于 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 上的复值连续可微的函数 $f$, 如果它满足 $\overline{\partial }f\equiv 0$, 我们就称 $f$ 是复解析的函数. 我们下面证明, 复解析的函数一定是光滑函数. 这是一个不平凡的事实, 因为我们一开始只假设了它是 $C^1$ 的. 事实上, 我们有更强的结论:

定理 63.1 (椭圆正则性). 给定非空的开区域 $\Omega \subset \mathbb{C}$. 假设分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 满足 Cauchy-Riemann 方程$$\overline{\partial }u=0.$$那么, $u$ 是光滑函数, 即 $u\in C^{\infty }(\Omega )$.

在证明 Cauchy-Riemann 方程的椭圆正则性定理之前, 我们先证明如下的引理:

引理 63.2. 给定有紧支集的分布 $c\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^2)={\mathcal{E}}^{\prime }(\mathbb{C})$, 那么, $\frac{1}{z}\ast c$ 在 $c$ 的支集之外是光滑的, 即$$\frac{1}{z}\ast c\in C^{\infty }\left({\mathbb{R}}^2-\mathrm{supp}(c)\right).$$

证明. 我们选取非负的 $\chi$, 使得它的支集在半径为 $1$ 的小球之内并且其积分恰好等于 $1$. 利用这个截断函数, 我们把 $\frac{1}{z}\ast c$ 写成两部分: $$u=\frac{1}{z}\ast c=\underset{\text{支集}\subset B_{\epsilon }+\mathrm{supp}(c)}{\underbrace{\left(\frac{{\chi }_{\epsilon }}{z}\right)\ast c}}+\underset{\text{光滑}}{\underbrace{\left(\frac{1-{\chi }_{\epsilon }}{z}\right)\ast c}}.$$

第一部分中, 根据支集在卷积下的关系, 我们有$$\mathrm{supp}\left[\left(\frac{{\chi }_{\epsilon }}{z}\right)\ast c\right]\subset \mathrm{supp}\left(\frac{{\chi }_{\epsilon }}{z}\right)+\mathrm{supp}\left(c\right)\subset B_{\epsilon }+\mathrm{supp}\left(c\right),$$其中, $B_{\epsilon }$ 是中心在原点半径为 $\epsilon$ 的开球.

第二部分中, 由于 $\frac{1-{\chi }_{\epsilon }}{z}$ 是光滑函数, 所以, 这一部分的卷积实际上是光滑函数, 它对问题本身没有影响, 可以忽略.

综合上面的叙述, $u$ 至少在第一部分的支集之外 (等于 $0$ 加上一个光滑函数) 是光滑的. 也就是说, $u$ 在 ${\mathbb{R}}^2-B_{\epsilon }-\mathrm{supp}(c)$ 上光滑. 令 $\epsilon \to 0$, 我们就说明了 $u$ 在 ${\mathbb{R}}^2-\mathrm{supp}(c)$ 上光滑.

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椭圆正则性定理的证明. 光滑性是一个局部性质, 所以我们只要证明 $u$ 在每个点的附近为光滑函数即可: 我们任选点 $z_0\in \Omega$ 以及 $z_0$ 处的一个小开球 $B(z_0,2\epsilon )$, 使得 $B(z_0,2\epsilon )\subset \Omega$, 其中 $\epsilon >0$. 然后, 选取 $\mathbb{C}$ 上的光滑函数 $\theta (z)$, 使得$$\{\begin{array}{ll}& 0⩽\theta (z)⩽1,\text{对任意的}z\in \mathbb{C}；\\ & \theta {|}_{B(z_0,\epsilon )}\equiv 1;\\ & \theta {|}_{\mathbb{C}-B(z_0,2\epsilon )}\equiv 0.\end{array}$$根据上面的构造, 我们知道, $${\partial }_x\theta {|}_{B(z_0,\epsilon )}\equiv {\partial }_y\theta {|}_{B(z_0,\epsilon )}\equiv 0.$$我们只需要证明 $\theta \cdot u$ 光滑即可, 因为这就说明 $u$ 在 $B(z_0,\epsilon )$ 上光滑.

利用卷积的基本性质, 我们有如下的计算$$\begin{array}{rl}\theta \cdot u& ={\delta }_0\ast (\theta \cdot u)=\overline{\partial }(\frac{1}{\pi z})\ast (\theta \cdot u)\\ & =\frac{1}{\pi z}\ast (\overline{\partial }(\theta \cdot u))\\ & =\frac{1}{\pi z}\ast (\overline{\partial }\theta \cdot u)\end{array}$$根据上面的引理, $\theta \cdot u$ 在 $\mathrm{supp}(\overline{\partial }\theta \cdot u)$ 之外是光滑的. 由于 $\overline{\partial }\theta \cdot u{|}_{B(z_0,\epsilon )}\equiv 0$, 从而, $\theta \cdot u$ 在 $B(z_0,\epsilon )$ 上光滑, 这就证明了定理.

$\square$

线性微分算子与基本解

给定区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$. 给定非负整数 $m⩾0$. 对每个满足 $|\alpha |⩽m$ 的多重指标 $\alpha$, 我们指定一个复值的光滑函数 $a_{\alpha }(x)\in C^{\infty }(\Omega )$ (关于这些函数的光滑性在很多应用中可能会放松为其他的条件, 比如说, 只要求它们是 $L^{\infty }$ 的函数等) . 我们还要求至少有一个 $a_{\alpha }(x)\ne 0$, 其中, $|\alpha |=m$. 此时, 我们称如下的算子$$P=\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }$$为一个次数为 $m$ 的线性微分算子. 如果 $a_{\alpha }(x)$ 均为常数, 我们就把 $P$ 称作是常系数 (线性) 微分算子. 另外, 如果对所有的 $|\alpha |<m$, $a_{\alpha }(x)\equiv 0$, 我们就说 $P$ 是 $\mathbf{m}$-次齐次的线性微分算子.

作为例子, 我们上面研究的 $P=\overline{\partial }$ 就是常系数微分算子.

很明显, 对任意的分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 我们可以用 $P$ 来作用: $$P:{\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )\to {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega ),u\mapsto Pu=\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }u.$$我们定义 $P$ 的伴随算子为 ${}^{t}P$, 其中, 按照定义, 它写为$${}^{t}P=\sum _{|\alpha |⩽m}(-1{)}^{|\alpha |}{\partial }^{\alpha }\circ a_{\alpha }(x).$$也就是说, 对任意的分布 $u$, 我们有$${}^{t}Pu=\sum _{|\alpha |⩽m}(-1{)}^{|\alpha |}{\partial }^{\alpha }\left(a_{\alpha }(x)u\right)$$通过 Leibniz 公式, 我们很容易验证这也是一个线性微分算子, 并且其次数也是 $m$. 很明显, 对任意的分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 我们都有$$⟨Pu,\phi ⟩=⟨u,{}^{t}P\phi ⟩.$$

定义 63.3. 给定 ${\mathbb{R}}^n$ 上的常系数微分算子 $P$. 如果分布 $E\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 满足$$P(E)={\delta }_0,$$我们就称 $E$ 是 $P$ 的一个基本解.

注记. 在上个世纪 50 年代末, B.Malgrange 和 L.Ehrenpreis 各自独立证明了: ${\mathbb{R}}^n$ 每一个常数系数的微分算子都有基本解. 我们在课程上不去证明这个定理.

例子. 我们先给出三个例子:

1)	Cauchy-Riemann 算子 $\overline{\partial }$. 这是 $\mathbb{C}$ 上的线性微分算子, 我们已经证明了 $\frac{1}{\pi z}$ 是 $\overline{\partial }$ 的一个基本解.
2)	Laplace 算子 $△$. 按照定义, $$△=\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_k^2}.$$我们将在作业中证明, 如下的函数是 $△$ 的基本解: $$\{\begin{array}{ll}E(x)=-\frac{1}{2\pi }\log |x|,& n=2;\\ E(x)=\frac{1}{(2-n)|{\mathbf{S}}^{n-1}|}\frac{1}{|x{|}^{n-2}},& n⩾3.\end{array}$$在上式中, $|{\mathbf{S}}^{n-1}|$ 表示的是 ${\mathbb{R}}^n$ 中单位球面的测度. 这些函数都是局部可积的. 我们将在作业中重点研究这个例子.
3)	热算子 ${\partial }_t-△$. 热算子是定义在 $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ 上的算子, 其中, 第一个坐标是时间 $t$ 的坐标. 它作用在以 $(t,x)\in \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ 为变量函数上的. 如果用 $H(t)$ 表示 Heaviside 函数 (即 $1_{{\mathbb{R}}_{⩾0}}$) , 那么如下的热核函数是 ${\partial }_t-△$ 的基本解: $$E(t,x)=\frac{H(t)}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{|x{|}^2}{4t}}.$$

热算子基本解的研究

我们来研究热算子 ${\partial }_t-△$ 的基本解 $E(t,x)$ 的性质, 其中$$E(t,x)=\frac{H(t)}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{|x{|}^2}{4t}}.$$至于如何找到 $E$ 的表达式, 同学们要稍有耐心: 我们将从 Fourier 变换的观点来给出 $E$ 的构造. 历史上, Fourier 也正是为了研究热传导才发明了 Fourier 变换这个工具.

首先, 我们证明 $E(t,x)\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n)$, 从而, 这是一个良好定义的分布, 即 $E(t,x)\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n)$.

实际上, 我们观察到这时一个正函数并且在 $t<0$ 处恒为零; 在 $t>0$ 处光滑. 我们在 $t=0$ 附近研究它的性质即可. 实际上, 对于任意的 $t>0$, 做变量替换 $x=\sqrt{t}y$ 我们知道$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}E(t,x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{1}{(4\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{\frac{|y{|}^2}{4}}dy$$是常数. 所以, $E(t,x)$ 在 $[-A,A]\times {\mathbb{R}}^n$ 上可积分, 这说明 $E$ 是局部可积的.

另外, 我们知道对任意的 $t\ne 0$, $E(t,x)$ 是光滑的. 所以, 通过直接计算, 我们就有$$({\partial }_t-△)(E(t,x))=0,t\ne 0.$$另外, 固定 $(0,x_0)$, 其中, $x_0\ne 0$, 此时, 由于当 $t$ 从 $>0$ 的地方趋向于 $0$ 时, $e^{-\frac{|x_0{|}^2}{4t}}$ 趋于 $0$ 的速度比任意的 $t$ 的幂次都要快, 所以, $E(0,x_0)$ 在这个点处的 $t$ 的所有阶的偏导数都是 $0$. 据此, 不难说明, $E(t,x)$ 实际上在 $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^2-\{(0,0)\}$ 上是光滑的. 利用连续性以及上面的计算, 我们得到$$({\partial }_t-△)(E(t,x))=0,\text{对任意的}(t,x)\ne (0,0).$$我们把这个细节留作作业 (这是一个经典的求导数题目, 每位学过微积分的同学都应该掌握. )

为了证明在分布的意义下有$$({\partial }_t-△)(E(t,x))\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_{(0,0)},$$我们对任意的试验函数 $\phi (t,x)\in \mathcal{D}(\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n)$, 计算$$\begin{array}{rl}⟨({\partial }_t-△)(E(t,x)),\phi (t,x)⟩& =-{\int }_0^{\infty }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}E(t,x){\partial }_t\phi (t,x)dtdx-{\int }_0^{\infty }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}E(t,x)△\phi (t,x)dtdx\\ & =-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{I_{\epsilon }}{\underbrace{{\int }_{\epsilon }^{\infty }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}E(t,x){\partial }_t\phi (t,x)dtdx}}-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{J_{\epsilon }}{\underbrace{{\int }_{\epsilon }^{\infty }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}E(t,x)△\phi (t,x)dtdx}}.\end{array}$$在上面的极限中, 我们用到了 $E(t,x)⩾0$ 在 $[0,A]$ 上是可积分的, 从而 (乘以一个常数) 可以作为控制函数来用 Lebesgue 控制收敛定理.

我们来计算 $I_{\epsilon }$. 这里, 最重要的想法是一旦我们在 $t>0$ 处, 这些计算实际上是光滑的, 从而, 我们可以利用 $E(t,x)$ 所满足的方程: $$\begin{array}{rl}{I}_{\epsilon }& \stackrel{Funibi}{=}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{\epsilon }^{\infty }E(t,x){\partial }_t\phi (t,x)dt\right)dx\\ & =-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{\epsilon }^{\infty }{\partial }_{t}E(t,x)\phi (t,x)dt\right)dx-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}E(\epsilon ,x)\phi (\epsilon ,x)dx\\ & \stackrel{\text{热方程}}{=}-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{\epsilon }^{\infty }△E(t,x)\phi (t,x)dt\right)dx-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}E(\epsilon ,x)\phi (\epsilon ,x)dx\\ & \stackrel{Funibi}{=}-J_{\epsilon }-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}E(\epsilon ,x)\phi (\epsilon ,x)dx.\end{array}$$所以, $$\begin{array}{rl}{I}_{\epsilon }+J_{\epsilon }& =-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}E(\epsilon ,x)\phi (\epsilon ,x)dx\\ & =-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{1}{(4\pi \epsilon {)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{|x{|}^2}{4\epsilon }}\phi (\epsilon ,x)dx\\ & =-\frac{1}{(4\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-\frac{|y{|}^2}{4}}\phi (\epsilon ,\sqrt{\epsilon }y)dy.\end{array}$$由于$$\frac{1}{(4\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-\frac{|y{|}^2}{4}}dy=1,$$所以, $$\begin{array}{rl}-(I_{\epsilon }+J_{\epsilon })& =-\frac{1}{(4\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-\frac{|y{|}^2}{4}}\left(\phi (\epsilon ,\sqrt{\epsilon }y)-\phi (0,0)\right)dy+\phi (0,0).\end{array}$$根据 Lagrange 中值定理, 我们就有$$\begin{array}{rl}\left|\phi (\epsilon ,\sqrt{\epsilon }y)-\phi (0,0)\right|& ⩽2\Vert \nabla \phi {\Vert }_{L^{\infty }}\left(\epsilon +\sqrt{\epsilon }|y|\right).\end{array}$$所以, $$\begin{array}{rl}& \left|\frac{1}{(4\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-\frac{|y{|}^2}{4}}\left(\phi (\epsilon ,\sqrt{\epsilon }y)-\phi (0,0)\right)dy\right|\\ ⩽& 2\Vert \nabla \phi {\Vert }_{L^{\infty }}\left(\frac{\epsilon }{(4\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-\frac{|y{|}^2}{4}}dy+\frac{\sqrt{\epsilon }}{(4\pi {)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|y|e^{-\frac{|y{|}^2}{4}}dy\right)\end{array}$$由于上面两个积分都有有限的, 所以上面的式子是一个 $O(\sqrt{\epsilon })$ 项, 从而$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }-(I_{\epsilon }+J_{\epsilon })=\phi (0,0)=⟨{\delta }_{0.0},\phi ⟩.$$这就证明了$$({\partial }_t-△)(E(t,x))\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_{(0,0)}.$$

利用基本解和卷积, 我们可以解常系数的偏微分方程:

定理 63.4. 给定 ${\mathbb{R}}^n$ 上的常数系数微分算子 $P$, 我们假设它有基本解 $E\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$. 那么, 对任意的 $c\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 存在分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 使得$$P(u)=c.$$

证明. 我们定义 $u=E\ast c$, 这是一个分布. 利用基本解的定义以及卷积的性质, 我们有$$P(u)=P(E\ast c)=(P(E))\ast c={\delta }_0\ast c=c.$$这表明, $u$ 是一个解.

$\square$