作业: 可数与不可数, Schröder–Bernstein 定理

基本习题

习题 A: 课堂内容的补充

A1)	假设非空集合 $X\subset \mathbb{R}$ 有上界并且实数 $M$ 是 $X$ 的上界. 证明, 如下两个命题等价: ∘ $M=\sup X$. ∘ 对任意的 $\epsilon >0$, 都存在 $x\in X$, 使得 $x>M-\epsilon$.
A2)	证明, 每个非空开区间都包含无限多个有理数.
A3)	$(X,d)$ 是距离空间, $Y\subset X$. 我们定义 $Y$ 上的距离函数:$$d_Y:Y\times Y\to \mathbb{R},(y_1,y_2)\mapsto d_Y(y_1,y_2)=d(y_1,y_2).$$证明, $d_Y$ 是 $Y$ 上的距离函数, 从而 $(Y,d_Y)$ 是度量空间. 我们称 $d_Y$ 是 $d$ 在 $Y$ 上的诱导度量, $(Y,d_Y)$ 称作是 $(X,d)$ 的子 (度量) 空间. (提示: 直接验证定义)
A4)	${\mathbb{R}}^n=\underset{n\text{个}}{\underbrace{\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \cdots \times \mathbb{R}}}=\{(x_1,\cdots ,x_n)|x_1\in \mathbb{R},\cdots ,x_n\in \mathbb{R}\}$. 对于 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$, 我们定义$$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2},x=(x_1,\cdots ,x_n),y=(y_1,\cdots ,y_n).$$证明, $({\mathbb{R}}^n,d)$ 是度量空间. (我们默认开方运算和中学的一致, 尽管我们现在没有定义开方运算)
A5)	(重要) 给定距离空间 $(X,d)$, $Y\subset X$ 是子集. 如果对任意的 $x\in X$ 和任意的 $\epsilon >0$, 都存在 $y\in Y$, 使得 $d(y,x)<\epsilon$, 我们就称 $Y$ 在 $X$ 中是稠密的. 证明, 有理数在 $\mathbb{R}$ 中 (距离函数由两个数的差的绝对值定义) 是稠密的.
A6)	对于 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, 如果它的坐标 $x$ 和 $y$ 都是有理数, 我们就称这个点是有理点. 证明, $({\mathbb{R}}^2,d)$ (参见习题 A4)) 中的有理点是稠密的.
A7)	证明, 假定域公理 (F) 和序公理 (O), 确界原理可以推出 Archimedes 公理 (A).
A8)	(无理数的存在性) 令 $X=\{x\in \mathbb{Q}|x^2⩽2\}$, 这是一个有界的集合. 令 $\sqrt{2}=\sup X$. 证明, $\sqrt{2}$ 不是有理数.
A9)	证明, 每个开区间总包含无限多个无理数.

习题 B: 可数集和不可数集

(鼓励同学们查找图书或者资料来完成这一部分) 令 $\mathbb{N}$ 表示自然数的集合 (包括 $0$) . $X$ 是一个集合, 如果存在单射 $f:X\to \mathbb{N}$, 我们就称 $X$ 是可数的. 如果 $X$ 不是可数的, 我们就称它是不可数的.

B1)	证明, 有限集是可数的.
B2)	证明, 可数集合的子集是可数的.
B3)	证明, 如果 $X$ 是可数集, 那么我们总可以将 $X$ 写成 $X=\{x_1,x_2,x_3,\cdots \}$ (即可以把 $X$ 中的元素用自然数来标号) . (我们可以从一个开始一个一个的数下去把这些元素都罗列出来, 所以叫做可数集)
B4)	证明, 有理数 $\mathbb{Q}$ 是可数集.
B5)	证明, 可数个可数集合的并集也是可数集, 也就是说, 如果 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 都是可数集合, 那么它们的并集 $\bigcup _{n⩾1}{X}_n$ 也是可数集合. (提示: 这是一个需要记住的经典证明, 请查阅参考书或者网络)
B6)	$X$ 是可数的, 映射 $f:X\to Y$ 是满射. 证明, $Y$ 是可数的.
B7)	按照以下步骤证明 $\mathbb{R}$ 是不可数的 (同学们可以查阅一个用所谓对角线法则的经典证明, 我们的证明基于区间套原理) : B7-1) 若 $J\subset \mathbb{R}$ 是闭区间并且它的长度 $|J|>0$. 证明, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 总存在闭区间 $I$, 使得 $I\subset J$, $|I|>0$ 且 $x\notin I$. B7-2) 证明, 如果 $\{x_1,x_2,\cdots \}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个可数子集, 那么存在闭区间套 $I_1\supset I_2\supset \cdots$, 使得对任意的 $n$, $x_n\notin I_n$. B7-3) 证明, $\mathbb{R}$ 不可数.
B8)	证明, 如果 $X$ 是不可数集, $A$ 是 $X$ 的可数子集, 那么 $X-A$ 是不可数的.
B9)	证明, 任意的长度不为 $0$ 的区间 (无论开或闭) 都是不可数的.
B10)	证明, 复数 $\mathbb{C}$ 是不可数的.
B11)	假设 $\mathcal{I}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的某些开区间组成的集合, 它满足如下性质: 对任意的 $I,J\in \mathcal{I}$, $I\ne J$, 那么它们的交集是空集, 即 $I\cap J=\varnothing$. 证明, $\mathcal{I}$ 是可数集.

习题 C: Schroeder-Bernstein 定理

假设 $X$ 和 $Y$ 是两个集合, 映射 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to X$ 都是单射. 我们令 $X^{\prime }=X-g(Y)$.

C1)	如果 $X$ 是有限集, 证明, 存在 $\phi :X\to Y$, 使得 $\phi$ 是双射.
C2)	如果 $X$ 是可数集, 证明, 存在 $\phi :X\to Y$, 使得 $\phi$ 是双射.

从现在开始, 对 $X$ 不加任何的限制. 我们令 $h:X\to X$ 是复合映射 $h=g\circ f$: $$XYXfhg$$

C3)	考虑 $X$ 的子集的集合 $\mathcal{F}=\{A\subset X\mid X^{\prime }\cup h(A)\subset A\}$. 证明, $\mathcal{F}$ 非空.
C4)	证明, 如果 $A\in \mathcal{F}$, 那么 $X^{\prime }\cup h(A)\in \mathcal{F}$.
C5)	我们定义$$A_0=\bigcap _{A\in \mathcal{F}}A=\{x\in X\mid \text{对任意的}A\in \mathcal{F},\text{都有}x\in A\}.$$证明, $A_0\in \mathcal{F}$.
C6)	证明, $X^{\prime }\cup h(A_0)=A_0$.
C7)	令 $B_0=X-A_0$. 证明, $f(A_0)\cap g^{-1}(B_0)=\varnothing$ 并且 $f(A_0)\cup g^{-1}(B_0)=Y$.
C8)	我们定义映射 $\phi :X\to Y$: 对于 $x\in X$, 我们要求$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& \text{如果}x\in A_0;\\ g^{-1}(x),& \text{如果}x\in B_0.\end{array}$$证明, 这是双射.

根据上述, 我们证明了

定理 (Schroeder-Bernstein). 如果有单射 $f:X\to Y$ 和单射 $g:Y\to X$, 那么存在着两个集合之间的双射 $\phi :X\to Y$.

习题 D: Dedekind 分割证明的细节

这一部分习题的目标是完成课堂上关于 Dedekind 分割乘法结构的部分, 从而给出了实数域的构造完整证明.

D1)	证明, 如果 $X$ 和 $Y$ 都是 Dedekind 分割, 那么讲义中定义的 $X\cdot Y$ 也是 Dedekind 分割, 即乘法$$\mathbb{R}\times \mathbb{R}\stackrel{\cdot }{⟶}\mathbb{R},(X,Y)\mapsto X\cdot Y,$$是良好定义的. (提示: 只要对 $X>0$, $Y>0$ 这一种情形证明即可, 当然你需要用到课上的练习和结论)
D2)	证明, $(X\cdot Y)\cdot Z=X\cdot (Y\cdot Z)$. ($\Rightarrow$(F5))
D3)	证明, $X\cdot Y=Y\cdot X$. ($\Rightarrow$(F6))
D4)	证明, $X\cdot (Y+Z)=X\cdot Y+X\cdot Z$. ($\Rightarrow$(F9)) (提示: 略难)
D5)	证明, $\overline{1}\cdot X=X$ 并且 $\overline{1}\ne \overline{0}$. ($\Rightarrow$(F7))
D6)	证明, 如果 $X\cdot Y=\overline{0}$, 那么 $X=\overline{0}$ 或者 $Y=\overline{0}$; 再证明, 如果 $X⩾\overline{0}$, $Y⩾\overline{0}$, 那么 $X\cdot Y⩾\overline{0}$. ($\Rightarrow$(O5))
D7)	(技术工具) $X$ 是一个正的 Dedekind 分割. 证明, 对任意的正整数 $n$, 总存在 $x\in X$, $x^{\prime }\in X^{\prime }$, 使得$$1<\frac{x^{\prime }}{x}<1+\frac{1}{n}.$$
D8)	证明, 对任意的 Dedekind 分割 $X$ 和 $Y$, 其中 $Y\ne \overline{0}$, 存在唯一的 Dedekind 分割 $Z$, 使得$$Y\cdot Z=X.$$我们将 $Z$ 记作 $\frac{X}{Y}$. 当 $X=\overline{1}$ 时, 我们也将它记作 $Y^{-1}$. ($\Rightarrow$(F8))
D9)	请检验, 我们已经完整的证明了域公理 (F) 和序公理 (O).