4. 极限与收敛

我们通常用 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 来表示一列数 (有顺序) $x_1,x_2,\cdots ,x_m,\cdots$ 并且将它称为数列. 一个数列实际上就是一个映射$$f:{\mathbb{Z}}_{⩾1}\to \mathbb{R},k\mapsto f(k)=a_k.$$同样的, 给定一个映射$$f:{\mathbb{Z}}_{⩾1}\to X,k\mapsto f(k)=x_k,$$其中 $(X,d)$ 是一个距离空间, 我们就得到了距离空间中的一个点列. 如果把 $\mathbb{R}$ 看成是距离空间的话 (我们之前已经这样做了) , 那么数列只是点列的一个特殊情况.

定义 4.1 (极限的定义, $\epsilon -N$ 语言). 假设 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是实数序列. 如果存在 $x\in \mathbb{R}$, 使得对任意的 $\epsilon >0$, 总存在 $N⩾1$, 使得对任意的 $n⩾N$, 我们都有$$|x_n-x|<\epsilon ,$$那么, 我们就说数列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 有极限并把 $x$ 称作是数列 $\{x_n\}$ 的极限, 记作 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$. 如果数列 $\{x_n\}$ 有极限, 我们还说它是收敛的.

注记. 我们直观上总是认为 $\epsilon$ 是非常小的数, $N$ 是非常大的数

1)	上述定义中的 $N$ 是在 $\epsilon$ (任意的) 选定之后再选择的, 它通常依赖于 $\epsilon$ 的大小, 我们有时候也写成 $N=N(\epsilon )$ 来表示这种依赖性.
2)	上述定义就是想描叙下面的直观: 无论 $\epsilon$ 有多么小, 总存在很大的 $N$, 使得从数列的第 $N$ 项开始, 数列的每个数都和 $x$ 的误差不超过 $\epsilon$ (离着 $x$ 很近) .

把数列的极限的概念推广到距离空间是轻而易举的事情:

定义 4.2 (度量空间中点列的极限). $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是度量空间 $(X,d)$ 中点的序列, 如果存在 $x\in X$, 使得对任意的 $\epsilon >0$, 总存在 $N⩾1$, 使得对任意的 $n⩾N$, 我们都有$$d(x_n,x)<\epsilon ,$$那么就称点列 $\{x_n\}$ 在 $(X,d)$ 中有极限的, $x$ 称作是它的极限, 记为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$.

为了了解极限的概念, 我们从一些重要的例子入手:

例子.

1)	这是一个反面的例子. 极限是否存在将是我们的核心课题, 下面的例子可以表明这个问题的重要性与困难之处: 我们考虑实数数列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$, 其中$$x_n=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1},$$ ∘ 我们想知道这个序列是不是有极限. 然而, 根据极限的定义, 如果有极限, 我们要先验地知道极限是什么才可以利用定义来证明. 事实上, 要想猜到这个极限的值是很困难的. 通过这个例子, 我们发现极限的定义对于判断极限是否存并没有太大的帮助. ∘ 从概念上而言, 极限的定义在哲学意义上有一个先天的缺陷: 判断数列收敛与否, 应该由数列本身所决定而不需要依赖于外在的信息, 比如说事先知道极限是什么. 换句话说, 我们想要内蕴地来考虑极限问题. 这种看法和思考方式对数学的学习是大有裨益的. ∘ 假设我们已经得知上述数列的极限是 $\frac{\pi }{4}$ (注意, 目前我们还没有定义圆周率 $\pi$) . 然而, 要尝试从定义出发来证明极限就是 $\frac{\pi }{4}$, 我们目前还是无能为力, 因为我们缺乏基本的工具. 我们将学习微分和积分等基本的分析工具, 有了这些技术手段的支持, 我们才可以真正地计算类似的极限. ∘ 让我们暂且接受 $\pi$ 是无理数这个事实. 我们注意到, 这个数列的每一项都是有理数, 但是它在有理数 $\mathbb{Q}$ 中是没有极限的. 我们知道, $(\mathbb{Q},d(x,y)=|x-y|)$ 也是一个距离空间 (参见第一次作业题的 $A3)$) 可见, 一个点的序列能否收敛与这个点列所生活的空间的性质密切相关. ∘ 题外话: 我们可以把上述极限写为$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}\right)=\frac{\pi }{4}.$$等式左边每一项都是用算术来定义的, 即通过整数进行加减乘除而来. 然而, 通过取极限的过程, 右边得到了和圆周率有关的信息. 简而言之, 一个算术的对象和一个几何的对象通过极限联系在一起: 可以不夸张地说, 极限是从算术世界通往几何世界的秘密通道.
2)	如果 $x_n=x$, 那么 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$. 我们按照定义来证明: 对任意的 $\epsilon >0$, 我们取 $N=1$, 当 $n⩾1$ 时, 有 $|x_n-x|=0<\epsilon$.
3)	我们有极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$. 我们按照定义来证明: 对任意的 $\epsilon >0$, 可以选取 $N$, 使得 $N>\frac{1}{\epsilon }$, 比如说, $N=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1$. 当 $n⩾N$ 时, 有 $|x_n-0|=\frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\epsilon$.
4)	我们有极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{{\lambda }^n}=0$, 其中 $\lambda >1$. 先陈述一个技术事实: 假设 $\lambda =1+\delta$, 其中, $\delta >0$. 根据二项式的展开 (只需要乘法和加法以及各类实数的四则运算就可以证明) , 我们有$${\lambda }^n=(1+\delta {)}^n=1+n\delta +\cdots ⩾1+n\delta .$$所以, 对任意的一个数 $M$, 总能选到 $n$, 使得 ${\lambda }^n>M$ (Archimedes 原理) . 我们现在按照定义来证明: 对任意的 $\epsilon >0$, 可以选取 $N$, 使得 ${\lambda }^N>\frac{1}{\epsilon }$, 比如说, $N=\lfloor \frac{1}{\epsilon \delta }\rfloor +1$. 当 $n⩾N$ 时, 有 $|x_n-0|=\frac{1}{{\lambda }^n}<\frac{1}{{\lambda }^N}<\epsilon$.

有了极限, 我们可以定义无限个数求和这一个概念, 这也就是级数的概念. 不夸张地说, 这是极限最重要的一个应用, 因为几乎所有有意义的数和函数都是通过级数的方式来构造的. 另外, 我们还可以仿照极限的定义方式, 研究极限是 $+\infty$ 或者 $-\infty$ 的数列. 为此, 我们对极限的定义进行扩充

定义 4.3 (极限定义的补充). 我们假定 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是实数的序列.

1)	如果对任意的 $M>0$ (很大) , 总存在 $N>0$, 使得对任意的 $n⩾N$, 都有 $x_n>M$, 我们就称 $x_n$ 收敛到正无穷, 记作 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty$. 类似地, 如果对任意的 $M>0$, 总存在 $N>0$, 使得对任意的 $n⩾N$, 都有 $x_n<-M$, 我们就称 $x_n$ 收敛到负无穷, 记作 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=-\infty$. 如果上述之一发生, 我们就称 $x_n$ 是发散的.
2)	$a_1,a_2,\cdots$ 是一列实数, 令 $x_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$, 如果 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 有极限, 我们就说级数 $a_1+a_2+a_3+\cdots$ 收敛并把它的极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 记作 $\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i$; 如果 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是发散的, 我们就称级数 $a_1+a_2+a_3+\cdots$ 发散. 根据之前的定义, 我们可以想当然地定义 $\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i=+\infty$ 或者 $\sum _{i=1}^{\infty }{a}_i=-\infty$ 并称这个级数是收敛到正无穷或者负无穷的.

注记. 为了理解这几个定义, 我们再给出几个简单的例子:

1)	一个数列既没有极限也不发散, 比如说 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$, 其中 $x_n=(-1{)}^{n-1}$. 这个数列是没有极限的: 如若不然, 假设它的极限是 $x$. 根据定义, 对于 $\epsilon =0.1$ (因为对与任意的 $\epsilon$ 都成立, 特别地, 我们就取这个数) , 存在 $N_0$, 使得当 $n⩾N_0$ 时, $|x_n-x|<0.1$. 所以, 根据三角不等式, $$2=|x_{N_0}-x_{N_0+1}|⩽|x_{N_0}-x|+|x-x_{N_0+1}|<0.1+0.1=0.2,$$矛盾.
2)	在度量空间中, 我们有收敛的概念, 但是我们一般而言并没有级数的概念, 原因是对于点列 $\{a_k{\}}_{k⩾1}$, 求和 $a_1+a_2+\cdots +a_n$ 是不能被定义的 (因为我们没有加法运算 $X\times X\to X$) . 根据这个讨论, 如果 $X$ 还是一个线性空间, 那么, 我们可以定义级数 $a_1+a_2+\cdots +a_n$. 比如说, $X=\mathbb{C}$ 是复数, 我们就可以定义复数的级数.
3)	调和级数 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots$ 是最经典的发散级数的例子. 调和级数是发散的证明分析中最经典的证明之一: 考虑 $n=2^k$, 那么, 我们有$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^{n-1}\frac{1}{j}& =\underset{1\text{个},⩾\frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{1}{1}}}+\underset{2\text{个},⩾\frac{1}{4}}{\underbrace{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)}}+\underset{4\text{个},⩾\frac{1}{8}}{\underbrace{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)}}+\cdots +\underset{2^{k-1}\text{个},⩾\frac{1}{2^k}}{\underbrace{\left(\frac{1}{2^{k-1}}+\frac{1}{2^{k-1}+1}+\cdot +\frac{1}{2^k-1}\right)}}\\ & >1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{4}+4\times \frac{1}{8}+\cdots +2^{k-1}\times \frac{1}{2^k}=\frac{k}{2}.\end{array}$$所以, 对任意的 $M$, 我们总可以选取很大的 $n$, 使得 $a_n⩾M$, 这说明调和级数是发散的. 我们发现证明从技术上仍然和庄子的二分法相似, 究其根本, 是因为二分之后求和变得容易计算. 可计算性将在很多数学问题中都是头等重要的事情, 我们后面会数次遇到类似地事情.

我们收集与极限定义相关的一些简单性质, 我们对距离空间 $(X,d)$ 中的点列来陈述这些性质, 它们自然的对实数的序列也成立:

命题 4.4. 给定距离空间 $(X,d)$, $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是 $X$ 中点的序列, 我们有

1)	如果 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛, 那么它的极限唯一, 即若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$ 并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=y$, 那么 $x=y$.
2)	任意改变序列中有限项之后, 不会改变序列的极限, 即若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$, $\{y_n{\}}_{n⩾1}$ 是另外一个点列, 其中当 $n⩾N_0$ 时, $y_n=x_n$, 那么 $\{y_n{\}}_{n⩾1}$ 也收敛并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=x$.
3)	假设 $1⩽n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots$ 是一列上升的指标, 对 $k⩾1$, $y_k=x_{n_k}$, 那么点列 $\{y_k{\}}_{k⩾1}$ 称作是 $\{x_n\}$ 的子列, 子列也经常写成 $\{x_{n_k}{\}}_{k⩾1}$. 一个收敛点列的子列也收敛到同一个极限, 即若序列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是收敛的, 那么子列 $\{x_{n_k}{\}}_{k⩾1}$ 也收敛并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}$.
4)	如果实数数列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是收敛的, 那么它有界的. (在距离空间中我们也可以定义有界性, 但是这里我们只对实数陈述这个事实)
5)	(否定命题的叙述, 重要) 假设 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 的极限不是 $x$ (可以不收敛) , 这个命题用数学的语言说就是: 存在 $\epsilon >0$, 对任意的 $N>0$, 总存在 $n>N$, 使得 $d(x_n,x)⩾\epsilon$.

证明. 我们逐条的进行论证. 这些证明是简单的, 但是对于第一次接触极限的同学, 应该坚持把证明写完整以熟悉这种语言.

1)	任意给定 $\epsilon >0$, 根据极限的定义, 存在 $N_1⩾1$, 使得对任意的 $n⩾N_1$, 我们都有 $d(x_n,x)<\epsilon$, 也存在 $N_2⩾1$, 使得对任意的 $n⩾N_2$, 我们都有 $d(x_n,y)<\epsilon$. 那么, 对于 $n_0=\max (N_1,N_2)$, 我们有 $d(x_{n_0},x)<\epsilon$ 和 $d(x_{n_0},y)<\epsilon$ 同时成立. 从而, 根据三角不等式, 我们有$$d(x,y)<d(x_{n_0},x)+d(x_{n_0},y)<2\epsilon .$$由于 $\epsilon$ 是任意选取的, 所以 $d(x,y)=0$, 所以 $x=y$.
2)	对任意给定的 $\epsilon >0$, 我们想要找一个 $N⩾1$, 使得对任意的 $n⩾N$, 我们都有 $d(y_n,x)<\epsilon$. 根据极限的定义, 对于这个 $\epsilon$, 存在 $N_1⩾1$, 使得对任意的 $n⩾N_1$, 我们都有 $d(x_n,x)<\epsilon$. 我们只需要令 $N=\max (N_0,N_1)$, 此时, 当 $n⩾N$ 时, 我们有$$d(y_n,x)=d(x_n,x)<\epsilon .$$
3)	我们将 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 的极限记做 $x$, 为了证明 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=x$, 我们任选 $\epsilon >0$. 根据 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 的极限的定义, 存在 $N⩾1$, 使得对任意的 $n⩾N$, $d(x_n,x)<\epsilon$. 那么, 对任意的 $k⩾N$, 根据 $n_k⩾k⩾N$, 我们知道 $d(x_{n_k},x)<\epsilon$, 从而 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=x$.
4)	假设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$, 根据定义, 对 $\epsilon =1$, 存在 $N$, 使得当 $n⩾N$ 时, 我们有 $|x_n-x|⩽1$. 特别地, 对一切满足 $n⩾N$ 的指标 $n$, $x_n$ 都落在区间 $[x-1,x+1]$ 中, 这是有界的. 对于 $n=1,2,\cdots ,N-1$, 这是有限多个数, 它们自然有界, 所以数列本身有界.

最后一个命题 5) 是基本的 (但是别扭) 逻辑.

$\square$

注记. 对于 $4)$, 我们注意到如果一个数列是有界的, 那么它不一定是收敛的, 比如说 $x_n=(-1{)}^n$ 所给出的数列. 但是, (后面会证明) 如果一个数列是有界的, 那么它一定包含着收敛的子列.

极限是我们在高等数学学习中所最先接触的几个数学对象之一. 在数学中, 对于每一个数学对象 (例如极限) , 我们会例行公事般地考虑它的一些常见的性质. 比如说, 这个对象最基本的例子是什么, 这种对象是否存在, 如果存在的话它是否具有唯一性, 它的子对象和商对象 (如果有的话) 都具有什么性质 (比如说遗传了原来的对象的什么性质) , 这个对象的可计算性以及在特定映射下的行为等等. 作为例子, 我们刚刚见到一个点列的子对象 (即子列) 遗传了点列的收敛性 (和有界性) . 尽管这是一种八股文一般的讨论方式 (Bourbaki 学派是这种方式最忠实的实践者 ¹) , 但是是非常有效率的一种学习和记忆方式, 我们在课程上会尽量的按照这种习惯来学习. 特别要强调的是, 每一个定义大家都应该搞清楚最基本的例子是什么.

在实数 $\mathbb{R}$ 上, 我们有四则运算和序关系, 我们自然要研究它们与极限的关系

命题 4.5 (四则运算与序关系的交换性). 假设 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 和 $\{y_n{\}}_{n⩾1}$ 是两个收敛的实数数列, 那么我们有

1)	数列 $\{x_n+y_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n+y_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$.
2)	数列 $\{x_n-y_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n-y_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$.
3)	$\{x_n\cdot y_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\cdot y_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$. 特别地, 对任意实数 $\lambda \in \mathbb{R}$, $\underset{n\to \infty }{\lim }\lambda \cdot x_n=\lambda \cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$.
4)	如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n\ne 0$, 则存在 $N$, 使得当 $n⩾N$ 时, $y_n\ne 0$, 那么数列 ${\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}}_{n⩾N}$ 收敛并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n}$.
5)	如果对足够大的 $n$ (即存在 $N$, 使得 $n⩾N$ 时) , 有 $x_n⩽y_n$, 那么 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n⩽\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$.

证明. 这几个命题的证明不困难, 但是对初学者而言, 细节的训练是重要的. 我们假设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=y$.

1)	任意给定 $\epsilon >0$, 我们要证明存在 $N$, 使得对所有的 $n⩾N$, 我们都有 $|(x_n+y_n)-(x+y)|<\epsilon$. 因为 $x_n\to x$, 对于正数 $\frac{\epsilon }{2}$ 而言, 所以存在 $N_1$, 使得对所有的 $n⩾N_1$, 我们都有 $|x_n-x|<\frac{1}{2}\epsilon$; 因为 $y_n\to y$, 所以存在 $N_2$, 使得对所有的 $n⩾N_1$, 我们都有 $|y_n-y|<\frac{1}{2}\epsilon$. 此时, 我们可以选取 $N=\max (N_1,N_2)$, 所以当 $n⩾N$ 时, 我们有$$|(x_n+y_n)-(x+y)|⩽|x_n-x|+|y_n-y|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$
2)	把上面证明中的适当位置的加号换成减号即可.
3)	由于两个数列都收敛, 所以它们都是有界的, 所以存在一个常数 $C$, 使得对任意的 $n⩾1$, 我们都有 $|x_n|⩽C$, $|y_n|⩽C$. 为了证明极限存在, 我们先做计算$$\begin{array}{rl}|x_n{y}_n-xy|& =|x_n(y_n-y)+(x_n-x)y|⩽|x_n||y_n-y|+|x_n-x||y|\\ & ⩽C(|y_n-y|+|x_n-x|).\end{array}$$任意给定 $\epsilon$, 我们可以选取 $N$, 使得当 $n⩾N$ 时, $|x_n-x|<\epsilon$ 和 $|y_n-y|<\epsilon$ 同时成立, 此时, 对于 $n⩾N$, 我们就有$$|x_n{y}_n-xy|⩽C(\epsilon +\epsilon )=2C\epsilon .$$由于 $\epsilon$ 可以任意选取, 命题就得到了证明 (实际上, 为了把证明写的和定义完全一致, 我们应该回头把原来的 $\epsilon$ 替换成 $\frac{\epsilon }{2C}$) .
4)	这一条性质的证明我们留成作业.
5)	我们可以利用反证法: 如若不然, 我们有 $x>y$, 选取 $\epsilon =\frac{|x-y|}{2}$, 根据极限的定义, 我们可以选取 $N$, 使得当 $n⩾N$ 时, $|x_n-x|<\epsilon$ 和 $|y_n-y|<\epsilon$ 同时成立, 从而对于任意一个这样的 $n$, 我们都有$$x_n=(x_n-x)+x>x-\epsilon =\frac{x+y}{2},$$$$y_n=(y_n-y)+y<y+\epsilon =\frac{x+y}{2},$$从而, 我们得到 $x_n>y_n$, 矛盾!

$\square$

注记. 我们对命题本身稍加解释:

a)	在命题的 $5)$ 中出现的 “对足够大的 $n$” 的讲法, 指的是 “存在 $N$, 使得 $n⩾N$ 时”, 我们将经常使用这种分析中的 “黑话”.
b)	命题 $1)$ 的等号左边说我们先逐项求和然后取极限, 右边我们可以先求极限再求和, 所以交换了求和和取极限这两种操作之后, 我们得到了同样的结果. 其他几个命题都是将极限符号和四则运算可以交换. 在数学和物理的很多分支中, 两种操作的顺序是否可交换的是很重要的, 比如说在线性代数里两个矩阵的乘积何时可交换是很核心的话题, 时空的弯曲与此有关, 量子力学中的 Heisenberg 测不准原理也是.
c)	命题的 $5)$ 说的是 $\lim$ 与 $⩽$ 可以交换. 如果我们要求对足够大的 $n$, 有 $x_n<y_n$, 那么取极限之后 $x<y$ 未必成立 (试举一个反例, 举反例是很重要的练习, 尤其是接触新概念时, 这不失为理解抽象概念的最好方式之一) , 即严格大小关系和极限不交换. 另外, 将 $⩽$ 换成 $⩾$ 结论也成立, 课程后面这种平行的命题我们一般只选择证明其中的一条.
d)	在命题的 $3)$ 的证明中, 我们不需要区别 $\epsilon$ 和 $2C\epsilon$ 或者 $10000\epsilon$, 这是因为 $\epsilon$ 可以任意选取. 这是数学分析的行规: $\epsilon \approx 10000\epsilon$.
e)	这个性质最重要的应用是用于计算! 通过交换极限和四则运算, 很多复杂极限问题可以化成简单的四则运算问题 (四则运算我们更熟悉) 比说, 我们要计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+3n+2}{n^2+1}$, 我们可以按照下面的步骤来做: $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+3n+2}{n^2+1}& =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}\\ & =\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\\ & =\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }1+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{n}+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{n^2}}{\underset{n\to \infty }{\lim }1+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}}=\frac{1+0+0}{1+0}=1.\end{array}$$

我们现在回到最本质的一个问题: 极限的存在性. 我们有一种内蕴的方式来判断极限的存在性:

定理 4.6 (Cauchy 列与 Cauchy 判别准则). 假设 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是实数的数列, 那么如下命题等价:

1)	$\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛;
2)	对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $N>0$, 使得对任意的 $m,n>N$, 都有 $|x_n-x_m|<\epsilon$.

满足第二条性质的数列被称作是 Cauchy 列.

为了证明这个重要的定理, 我们先做一些准备工作. 如果实数数列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 满足 $x_1⩽x_2⩽x_3⩽\cdots$, 就称之为单调上升的或者递增的; 如果它满足 $x_1<x_2<x_3<\cdots$, 就称之为严格单调上升的或者严格递增的. 类似地可定义 (严格) 单调下降的或者 (严格) 递减的的序列.

定理 4.7. 如果单调上升的实数序列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 是有界的, 那么 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛并且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n⩾1}{\sup }{x}_n$. (单调下降的序列也满足类似的结论)

证明. 根据确界原理, 我们令 $s={\sup }_{n⩾1}{x}_n$. 我们将证明对任意给定的 $\epsilon$, 存在 $N$, 使得当 $n⩾N$ 时, $|x_n-s|<\epsilon$.

在第二课确界原理证明之后的评注中, 我们知道可以如下地刻画上确界: 对 $\epsilon >0$, 存在 $x_{n_0}$, 使得 $s-\epsilon <x_{n_0}$. 我们选取 $N=n_0$, 根据单调性, 对任意的 $n⩾N=n_0$, 我们有 $x_n⩾x_{n_0}>s-\epsilon$. 另外, 根据上确界的定义, 我们还有 $x_n⩽s$. 所以, 对任意的 $n⩾N$, 都有 $|x_n-s|<\epsilon$. 证毕.

$\square$

作为应用, 我们证明级数 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}$ 是收敛的:

例子. 级数 $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$ 是收敛的.

我们定义部分和 $x_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$, 所谓的级数收敛指的就是 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 这个数列有极限. 这是一个单调上升的数列, 根据上面的定理, 我们只需要说明 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$ 有界即可: $$\begin{array}{rl}0<x_n& =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(n-1{)}^2}+\frac{1}{n^2}\\ & ⩽1+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{(n-1)\times n}+\frac{1}{n\times (n+1)}\\ & =1+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ & =2-\frac{1}{n+1}<2.\end{array}$$

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