作业: Heisenberg 测不准原理, Sobolev 空间的物理刻画

习题 A. (课堂细节的补充) 我们总假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空的开集.

A1)	假设 $p=1,2$ 或 $\infty$. 证明, 如果把函数空间 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 中的函数视为分布 (这些空间中的函数都是局部可积的函数) , 那么它们是缓增的分布. 从而, 我们有良好定义的嵌入$${\iota }_p:L^p({\mathbb{R}}^n)\hookrightarrow {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n).$$进一步证明 ${\iota }_p$ 都是连续的.
A2)	给定光滑函数 $p(x)$, 如果对任意的多重指标 $\alpha$, 存在正数 $C_{\alpha }$ 和 $d_{\alpha }$, 使得$$\left|{\partial }^{\alpha }p(x)\right|⩽C_{\alpha }(1+|x|{)}^{d_{\alpha }},$$我们就称 $p(x)$ 是具有多项式增长的函数. 证明, 给定具有多项式增长的函数 $p(x)$, 那么, 对任意的 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, $p\cdot \phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$; 对任意的 $u\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, $p\cdot u\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$. 证明, 如下两个映射都是连续的: $$\begin{array}{rl}& \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\to \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n),\phi \mapsto p\cdot \phi ;\\ & {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)\to {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n),u\mapsto p\cdot u.\end{array}$$
A3)	给定分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 和 ${\mathbb{R}}^n$ 上的光滑函数 $f(x)$. 假设 $f\cdot u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}0$, 那么, $$\mathrm{supp}(u)\subset Z(f)=\{x\in {\mathbb{R}}^n|f(x)=0\}.$$
A4)	证明, 对任意的 $a\in {\mathbb{R}}^n$, 任意的多重指标 $\alpha$, 我们有$$\widehat{{\partial }^{\alpha }{\delta }_a}=(i\xi {)}^{\alpha }{e}^{-ix\cdot a},\widehat{x^{\alpha }}=(2\pi {)}^n(i\partial {)}^{\alpha }{\delta }_0.$$特别地, $$\widehat{{\partial }^{\alpha }{\delta }_a}=(i\xi {)}^{\alpha }{e}^{-ix\cdot a},\widehat{x^{\alpha }}=(2\pi {)}^n(i\partial {)}^{\alpha }{\delta }_0.$$
A5)	证明, 分布 $d{\sigma }_R$ 是旋转不变的, 其中 $d{\sigma }_R$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上中心在原点半径为 $R$ ($>0$) 的球面的曲面测度.
A6)	给定 $u\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 给定可逆的 $n\times n$ 的实系数矩阵 $A$ 并把它视作是 ${\mathbb{R}}^n$ 到自身的线性变换. 证明, $A^{\ast }u$ 也是缓增的分布并且$$\widehat{A^{\ast }u}=|\det (A){|}^{-1}{\left({}^t{A}^{-1}\right)}^{\ast }\hat{u}.$$
A7)	证明, Heaviside 函数 $H(x)$ 的 Fourier 变换为$$\hat{H}(\xi )=-i\cdot \mathrm{vp}\frac{1}{x}+\pi {\delta }_0.$$
A8)	考虑 $\mathbb{R}$ 上的分布 $u=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\delta }_n$. 证明, $u\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 当且仅当存在常数 $C$ 和 $p$, 使得对所有的非负整数 $n$, 我们有$$|c_n|⩽C(1+n^p).$$
A9)	试找出一切 $f\in L^1(\mathbb{R})$, 使得 $f\ast f=f$.
A10)	(如果你不确定的话) 试验证如下的初等不等式: 给定正整数 $m$, 存在常数 $C_1$ 和 $C_2$, 使得对任意的 $\xi \ne 0$, 我们有$$C_1(1+|\xi {|}^2{)}^m⩽\sum _{|\alpha |⩽m}|{\xi }^{\alpha }{|}^2⩽C_2(1+|\xi {|}^2{)}^m,$$其中 $|{\xi }^{\alpha }|=|{\xi }_1^{{\alpha }_1}{\xi }_2^{{\alpha }_2}\cdots {\xi }_n^{{\alpha }_n}|$. 这个不等式我们之后一直会引用.
A11)	(某些分量的 Fourier 变换) 证明, $${\mathcal{F}}_{x\to \xi }:\mathcal{S}({\mathbb{R}}_t^n\times {\mathbb{R}}_x^m)\to \mathcal{S}({\mathbb{R}}_t^n\times {\mathbb{R}}_x^m).$$是连续的线性同构并进一步证明: $${\mathcal{F}}_{x\to \xi }:{\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}_t^m\times {\mathbb{R}}_x^n)\to {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}_t^m\times {\mathbb{R}}_x^n),$$是连续的线性同构.
A12)	(重要) 试构造函数局部可积的 $u\in H^{\frac{n}{2}}({\mathbb{R}}^n)$, 使得 $u\notin L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 即证明$$H^{\frac{n}{2}}({\mathbb{R}}^n)/\hookrightarrow L^{\infty }({\mathbb{R}}^n).$$

习题 B. (Fourier 变换的计算)

证明, 前八个问题中的分布都是 ${\mathbb{R}}^1$ 上的缓增分布并计算它们的 Fourier 变换.

B1)	$u=\frac{1}{1+x^2}$;
B2)	$u=e^{-|x|}$;
B3)	$u=1_{x⩾a}$, 其中 $a\in \mathbb{R}$;
B4)	$u=\frac{1}{x+i0}$;
B5)	$u=P(x)1_{x⩾0}$, 其中 $P(x)$ 为复系数多项式;
B6)	假设 $\alpha >-1$. 证明,$$\frac{1}{(i\xi +0{)}^{1+\alpha }}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(i\xi +\epsilon {)}^{-1-\alpha }$$定义了 $\mathbb{R}$ 上的一个分布. 其中 $\alpha >-1$. 请用 $\Gamma (z)$ ($\Gamma$ 函数) 1和 $\frac{1}{(i\xi +0{)}^{1+\alpha }}$ 来表示 $u=\mathrm{pf}{x}_{+}^{\alpha }$ 的 Fourier 变换; 1. ^ $\Gamma$ 函数的定义为$$\Gamma (z)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}{t}^{z-1}dt.$$
B7)	$u=\mathrm{pf}{x}_{+}^{\alpha }$, 其中 $\alpha <-1$ 且 $\alpha$ 不是整数;
B8)	$u=e^{-i{x}^2}$;
B9)	证明, ${\mathbb{R}}^n$ 上定义的函数$$f(x_1,\cdots ,x_n)=e^{-{\sum }_{i,j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j}$$为 Schwartz 函数并计算其 Fourier 变换, 其中 $A$ 为实 (对称) 正定矩阵.

习题 C. (Heisenberg 测不准原理)

C1)	对任意的 $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, 证明如下的不等式$$\left({\int }_{\mathbb{R}}{x}^2|f(x){|}^{2}dx\right)\left({\int }_{\mathbb{R}}{\xi }^2|\hat{f}(\xi ){|}^2\frac{d\xi }{2\pi }\right)⩾{\left({\int }_{\mathbb{R}}x\mathrm{Re}(\overline{f}{f}^{\prime })dx\right)}^2.$$
C2)	对任意的 $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, 证明, $$\left({\int }_{\mathbb{R}}{x}^2|f(x){|}^{2}dx\right)\left({\int }_{\mathbb{R}}{\xi }^2|\hat{f}(\xi ){|}^2\frac{d\xi }{2\pi }\right)⩾\frac{1}{4}{\left({\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^{2}dx\right)}^2.$$
C3)	对任意的 $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, 证明, 如果 $\Vert f{\Vert }_{L^2}=1$, 那么, 对任意的 $(x_0,{\xi }_0)\in T^{\ast }{\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}_x^n\times {\mathbb{R}}_{\xi }^n$, 我们都有$$({\int }_{\mathbb{R}}(x-x_0{)}^2|f(x){|}^{2}dx)({\int }_{\mathbb{R}}(\xi -{\xi }_0{)}^2|\hat{f}(\xi ){|}^2\frac{d\xi }{2\pi })⩾\frac{1}{4}.$$
C4)	证明, 当且仅当$$(x_0,y_0)=\left({\int }_{\mathbb{R}}x|f(x){|}^{2}dx,{\int }_{\mathbb{R}}\xi |\hat{f}(\xi ){|}^2\frac{d\xi }{2\pi }\right)$$时, 上式左边取得最小值.
C5)	试将 C3) 和 C4) 的结论推广到 ${\mathbb{R}}^n$ 上.
C6)	证明, 上述不等式可以取到等号. (提示: 利用 Gauss 函数)
C7)	当 $n⩾2$ 时, 证明, 能找到函数列 $\{f_k(x){\}}_{k⩾1}\subset L^2({\mathbb{R}}^n)$, 使得对任意的 $k$, 我们有 $\Vert f_k{\Vert }_{L^2}=1$ 并且$$\underset{k\to \infty }{\lim }({\int }_{\mathbb{R}}{x}_1^2|f_k(x){|}^{2}dx\left)\right({\int }_{\mathbb{R}}{\xi }_2^2|{\hat{f}}_k(\xi ){|}^2\frac{d\xi }{2\pi })=0.$$

习题 D. ${\mathbf{H}}^{\mathbf{s}}({\mathbb{R}}^{\mathbf{n}})$ 的物理空间刻画

我们要求 Sobolev 指标 $0<s<1$. 假定 $u\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们定义$$\mathbf{I}(u)=\int {\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}\frac{|u(x)-u(y){|}^2}{|x-y{|}^{n+2s}}dxdy.$$我们注意到 $\mathbf{I}(u)$ 可以是无穷大.

D1)	证明如下的等式: $$\begin{array}{rl}\mathbf{I}(u)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{1}{|t{|}^{n+2s}}({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|u(y+t)-u(y){|}^{2}dy)dt\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}|\hat{u}(\xi ){|}^2({\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{|e^{it\cdot \xi }-1{|}^2}{|t{|}^{n+2s}}\frac{dt}{(2\pi {)}^n})d\xi .\end{array}$$
D2)	令$$F(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{|e^{it\cdot \xi }-1{|}^2}{|t{|}^{n+2s}}\frac{dt}{(2\pi {)}^n}.$$证明, $F$ 是旋转对称的 $2s$-次的齐次函数.
D3)	证明, 存在常数 $c_0>0$, 使得$$F(\xi )=c_0|\xi {|}^{2s}.$$
D4)	假设 $0<s<1$. 证明, 对任意的 $u\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 如下等价 a) $u\in H^s({\mathbb{R}}^n)$; b) $\int {\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}\frac{|u(x)-u(y){|}^2}{|x-y{|}^{n+2s}}dxdy<\infty$.

习题 E. 一维情形的 Poisson 求和公式

给定 $\lambda >0$, 我们定义分布 ${\mathbb{R}}^1$ 上的分布$$W_{\lambda }=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\delta }_{\lambda k}.$$

E1)	证明, $W_{\lambda }\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$.
E2)	证明, $W_{\lambda }$ 满足下面关于分布的方程组$$\{\begin{array}{l}({\delta }_{\lambda }-{\delta }_0)\ast u=0\\ (e^{\frac{2\pi ix}{\lambda }}-1)u=0\end{array}$$
E3)	证明, 满足上述方程组的缓增分布一定是 $W_{\lambda }$ 的倍数.
E4)	证明, 存在常数 $C_{\lambda }$, 使得 $\widehat{W_{\lambda }}=C_{\lambda }{W}_{\lambda }$ 并计算 $C_{\lambda }$.
E5)	证明 Poisson 求和公式: 对每个 $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, 我们有$$\sum _{k\in \mathbb{Z}}f(2\pi k)=\frac{1}{2\pi }\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{f}(k).$$