72. Sobolev 空间的对偶性, Sobolev 空间的限制定理

我们来证明 Sobolev 空间之间的对偶性, 为此, 我们需要证明关于完备的内积空间的 Riesz 表示定理. 我们之后还会运用这个定理来求解偏微分方程.

引理 72.1 (向闭子空间的正交投影). 给定完备的内积空间 $(H,(\cdot ,\cdot ))$, $F\subset H$ 是闭线性子空间. 那么, 存在唯一的连续的线性映射$$\pi :H\to F,$$使得$$\Vert x-\pi (x)\Vert =\underset{y\in F}{\min }\Vert x-y\Vert .$$我们称 $\pi (x)$ 为 $x$ 在 $F$ 上的正交投影. 特别地, 我们还有 $x-\pi (x)\perp F$, 即对任意的 $y\in F$, 我们有 $(x-\pi (x),y)=0$.

证明. 我们考虑$$\underset{y\in F}{\inf }\Vert x-y\Vert .$$根据下确界的定义, 存在点列 $\{y_k{\}}_{k⩾1}\subset F$, 使得$$\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert x-y_k\Vert =\underset{y\in F}{\inf }\Vert x-y\Vert =I.$$(我们经常把这样的一个序列称作是 $\underset{y\in F}{\inf }\Vert x-y\Vert$ 的一个极小化子序列. )

我们回忆平面几何中的平行四边形等式: 一个平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和. 现在考虑由 $x,y_k,y_{\ell }$ 和 $y_k+y_{\ell }-x$ 所组成的平行四边形, 我们有$$4|x-\frac{y_k+y_{\ell }}{2}{|}^2+|y_k-y_{\ell }{|}^2=2(|x-y_k{|}^2+|x-y_{\ell }{|}^2).$$另外, 我们还有$$|x-\frac{y_k+y_{\ell }}{2}|⩽\frac{1}{2}(|x-y_k|+|x-y_{\ell }|).$$由于, 当 $k,\ell \to \infty$ 时, 我们有$$|x-y_k|\to I,|x-y_{\ell }|\to I.$$所以, 当 $k,\ell \to \infty$, 平行四边形等式表明$$|y_k-y_{\ell }{|}^2=2(|x-y_k{|}^2+|x-y_{\ell }{|}^2)-4|x-\frac{y_k+y_{\ell }}{2}{|}^2\to 0.$$这说明, $\{y_k{\}}_{k⩾1}$ 为 Cauchy 列, 利用 $F$ 是闭的, 这证明存在 $y\in F$, 使得 $I$ 可以被实现.

为了说明, $x-\pi (x)=x-y\perp F$, 我们利用变分的想法 (请参考第一学期我们证明两点之间线段最短) . 对任意的 $z\in F$, 对任意的 $s\in \mathbb{R}$, 按照定义, 我们知道$$\Vert x-y{\Vert }^2⩽\Vert x-y+sz{\Vert }^2.$$所以, $s=0$ 是二次函数$$f(s)=\Vert x-y+sz{\Vert }^2=\Vert x-y{\Vert }^2+2\mathrm{Re}((x-y,z))s+\Vert z{\Vert }^2{s}^2$$的最小值点. 从而, $f^{\prime }(0)=0$, 这就说明$$\mathrm{Re}((x-y,z))=0.$$类似地, 如果把 $s$ 换成 $is$, 我们就有$$\mathrm{Im}((x-y,z))=0.$$这就证明了对任意 $z\in F$, $x-y\perp z$, 从而完成了证明.

$\square$

注记. 我们注意到, $F$ 中满足 $x-y\perp F$ 的向量是唯一的, 就是 $\pi (x)$: 实际上, 如果 $y\in F$ 是另一个这样的向量, 那么, $$y-\pi (x)=(x-\pi (x))-(x-y)$$也与 $F$ 垂直, 从而, $y-\pi (x)\perp y-\pi (x)$, 即$$\Vert y-\pi (x){\Vert }^2=1,$$所以, $y=\pi (x)$. 据此, 对任意的 $x\in H$, 我们都可以把它唯一地写成$$x=x_{{}_F}+x_{\perp },$$其中, $x_{{}_F}\in F$, $x_{\perp }\perp F$. 这被称作是 $x$ 对于 $F$ 的正交分解.

假设 $H$ 是完备的内积空间, 我们用 $H^{\ast }$ 表示 $H$ 上的连续线性泛函所构成的空间并把它称作是 $H$ 在 Hilbert 空间的意义下的对偶: $$H^{\ast }=\{\text{线性映射}\ell :H\to \mathbb{C}|\ell \text{连续（有界）的}\}.$$我们需要强调, 在线性代数的意义下, 所谓的对偶空间指的是 $H$ 上的所有的线性函数所构成的线性空间, 此处不同之处在于我们要求这些线性函数还是连续的. 当 $H$ 是有限维的内积空间时, 这两个概念是一致的.

例子. 对任意的 $v\in H$, 我们考虑如下的线性泛函: $${\ell }_v:H\to \mathbb{C},x\mapsto (x,v).$$根据内积的性质, 这是线性映射. 另外, 根据 Cauchy–Schwarz 不等式, 我们有$$|\ell (x)|=|(x,v)|⩽\Vert v\Vert \cdot \Vert x\Vert .$$所有 ${\ell }_v$ 是有界的, 从而连续, 即 ${\ell }_v\in H^{\ast }$.

我们现在来证明, 上述的例子给出了所有的 $H^{\ast }$ 的元素.

定理 72.2 (Riesz 表示定理). 完备内积空间 $(H,(-,-))$ 上的连续线性泛函都可以用内积来实现, 即对每个 $\ell \in H^{\ast }$, 存在唯一的 $v\in H$, 使得 $\ell ={\ell }_v$. 换而言之,$$H⟶H^{\ast },v\mapsto {\ell }_v,$$是同构.

证明. 给定 $\ell$, 我们考虑$$F=\mathrm{Ker}(\ell )=\{x\in H|\ell (x)=0\}.$$由于 $\ell$ 是连续的, 所以, $F$ 是闭的线性子空间. 任选 $x\notin F$ (这样的 $x$ 总是存在的, 除非 $\ell =0$) , 那么, $x-\pi (x)$ 就给出了 $F$ 的一个法向量. 通过对这个法向量乘以一个系数, 我们可以得到 $v\in F^{\perp }$, $$\Vert v{\Vert }^2=\ell (v)>0.$$我们声明 $\ell ={\ell }_v$.

为此, 我们先说明 $\dim \left(F^{\perp }\right)=1$. 实际上, 如果 $w\in F^{\perp }$, 我们选取 $\lambda$, 使得 $\ell (\lambda w)=\ell (v)$. 此时, $\lambda w-v\in F$, 从而, $\lambda w-v$ 与自身是垂直的, 从而, $v=\lambda w$, 这就表明 $v$ 可以作为 $F^{\perp }$ 的基.

我们现在可以完成定理的证明: 对任意的的 $x\in H$, 利用正交投影 (及其唯一性) , 我们有$$x=\pi (x)+(x-\pi (x))=x_{{}_F}+x_{\perp }=x_{{}_F}+\lambda v..$$所以, $${\ell }_v(x)=\left(x_{{}_F},v\right)+(\lambda v,v)=\lambda \ell (v)=\ell \left(x_{{}_F}+\lambda v\right).$$证毕.

$\square$

利用 Riesz 表示定理, 我们来证明 $H^{-s}({\mathbb{R}}^n)$ 与 $H^s({\mathbb{R}}^n)$ 之间的对偶性.

固定一个 Sobolev 指标 $s$. 首先, 我们考虑分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 它满足如下的性质: 存在常数 $C$, 使得对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$|⟨u,\phi ⟩|⩽C\Vert \phi {\Vert }_{H^s}.$$由于 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)\subset H^s({\mathbb{R}}^n)$ 是稠密的, 所以, 分布 $u$ 可以被看作是 $H^s({\mathbb{R}}^n)$ 上的连续线性泛函.

反之, 对任意的 $H^s({\mathbb{R}}^n)$ 上的连续线性泛函 $\ell$, 存在常数 $C$, 使得对任意的 $f\in H^s{\mathbb{R}}^n$, 我们有$$|\ell (f)|⩽C\Vert f{\Vert }_{H^s}.$$特别地, 对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$|\ell (\phi )|⩽C\Vert \phi {\Vert }_{H^s}.$$由于$$\begin{array}{rl}\Vert \phi {\Vert }_{H^s}& ⩽C^{\prime }{N}_{s+n+1}(\phi ),\end{array}$$所以, 对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$|\ell (\phi )|⩽C^{\prime \prime }{N}_{s+n+1}(\phi ).$$所以, $\ell$ 可以被视作是一个 Schwartz 分布.

上面的推理表明, 我们可以把 ${\left(H^s({\mathbb{R}}^n)\right)}^{\ast }$ 刻画为$${\left(H^s({\mathbb{R}}^n)\right)}^{\ast }=\{u\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)|\text{存在常数 C，对任意 φ∈D(Rn)，有}|⟨u,\phi ⟩|⩽C\Vert \phi {\Vert }_{H^s}\}.$$

命题 72.3 ($H^{-s}$ 与 $H^s$ 的对偶). 对任意的 Sobolev 指标 $s\in \mathbb{R}$, 我们有$$\begin{array}{rl}{H}^{-s}({\mathbb{R}}^n)& =\{u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)|\text{存在常数 C，对任意 φ∈D(Rn)，有}|⟨u,\phi ⟩|⩽C\Vert \phi {\Vert }_{H^s}\}\\ & ={\left(H^s({\mathbb{R}}^n)\right)}^{\ast }.\end{array}$$

证明. 后面的一个等号我们已经证明.

对任意的 $u\in H^{-s}({\mathbb{R}}^n)\subset {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$\begin{array}{rl}⟨u,\phi ⟩& =⟨{\mathcal{F}}^{-1}\hat{u},\phi ⟩=(2\pi {)}^{-n}⟨\hat{u},(\hat{\phi })\stackrel{ˇ}{}⟩.\end{array}$$由于 $\hat{u}$ 是局部可积的函数, 所以上述的配对就是通常意义下的积分, 从而$$\begin{array}{rl}⟨u,\phi ⟩& =(2\pi {)}^{-n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{u}(\xi )\hat{\phi }(-\xi )d\xi \\ & =(2\pi {)}^{-n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(1+|\xi {|}^2{)}^{-\frac{s}{2}}\hat{u}(\xi )\cdot (1+|\xi {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}\hat{\phi }(-\xi )d\xi .\end{array}$$根据 Cauchy–Schwarz 不等式, 我们就有$$|⟨u,\phi ⟩|⩽C\Vert (1+|\xi {|}^2{)}^{-\frac{s}{2}}\hat{u}(\xi ){\Vert }_{L^2}\Vert (1+|\xi {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}\hat{\phi }(\xi ){\Vert }_{L^2}=C\Vert u{\Vert }_{H^{-s}}\Vert \phi {\Vert }_{H^s}.$$这就证明了$$H^{-s}({\mathbb{R}}^n)\subset {\left(H^s({\mathbb{R}}^n)\right)}^{\ast }.$$

反之, 对任意的分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 如果存在常数 $C$, 对任意 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 都有$$|⟨u,\phi ⟩|⩽C\Vert \phi {\Vert }_{H^s}.$$那么, 我们有$$|⟨u,\phi ⟩|⩽C^{\prime }{N}_{s+n+1}(\phi ),$$这说明, $u$ 是缓增分布. 特别地, 我们得到$$\hat{v}=(1+|\xi {|}^2{)}^{-\frac{s}{2}}\hat{u}\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n),$$其中缓增分布 $v$ 由它的 Fourier 变换定义 (在频率空间定义) . 从而, $$v=(1-△{)}^{-\frac{s}{2}}u.$$根据 Sobolev 空间在 Fourier 乘子下的映射性质, 我们只需要证明 $v\in L^2({\mathbb{R}}^n)$ 即可, 根据 Planchrel 等式, 这也等价于证明 $\hat{v}\in L^2({\mathbb{R}}^n)$.

对任意的 $\hat{\phi }\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$\begin{array}{rl}|⟨\hat{v},\hat{\phi }⟩|& =\left|⟨\hat{u},\mathcal{F}((1-△{)}^{-\frac{s}{2}}\phi )\right|\\ & =(2\pi {)}^n\left|⟨u,(1-△{)}^{-\frac{s}{2}}\phi ⟩\right|\\ & ⩽C\Vert (1-△{)}^{-\frac{s}{2}}\phi {\Vert }_{H^s}=C\Vert \phi {\Vert }_{L^2}\\ & =C^{\prime }\Vert \hat{\phi }{\Vert }_{L^2}.\end{array}$$将 $\hat{\phi }$ 换为 $\psi (\xi )$, 这说明分布所定义的映射$$L_v:\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\to \mathbb{C},\psi \mapsto ⟨\hat{v},\psi ⟩$$可以延拓 (根据稠密性) 成为 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 上的连续线性泛函. $$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)H^s({\mathbb{R}}^n)\mathbb{C}\iota L_v{L}_v$$由 Riesz 表示定理, 存在 $f(\xi )\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 使得对任意的 $\phi (\xi )\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$⟨\hat{v},\phi ⟩={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\phi (\xi )f(\xi )d\xi .$$所以, 作为分布, 我们有$$\hat{v}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f.$$根据 $L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^n)\hookrightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 是单射, 我们知道 $\hat{v}(\xi )=f(\xi )$ 几乎处处成立, 命题得证.

$\square$

注记. 根据上面的描述, 从 $H^{-s}({\mathbb{R}}^n)$ 到 ${\left(H^s({\mathbb{R}}^n)\right)}^{\ast }$ 的同构可以如下的构造: $$\begin{array}{rl}{H}^{-s}({\mathbb{R}}^n)⟶{\left(H^s({\mathbb{R}}^n)\right)}^{\ast },u\mapsto {\ell }_u:H^s({\mathbb{R}}^n)& \to \mathbb{C},\\ v& \mapsto {\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(x)v(x)dx.\end{array}$$

Sobolev 空间的物理空间描述

当 Sobolev 指标 $0<s<1$ 时, 假设 $u\in L^2({\mathbb{R}}^n)$. 我们可以证明 $u\in H^s({\mathbb{R}}^n)$ 当且仅当$$\int {\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}\frac{|u(x)-u(y){|}^2}{|x-y{|}^{n+2s}}dxdy<\infty .$$这就直接在物理空间刻画了 $H^s({\mathbb{R}}^n)$. 这个命题的证明请参考第四次作业.

Sobolev 空间的限制性定理

这一部分我们证明一个令人惊讶的结果. 给定函数 $u\in H^s({\mathbb{R}}^n)$, 其中, $s>0$. 考虑 $\Sigma \subset {\mathbb{R}}^n$ 为一个超平面 (余维数是 $1$ 的线性子空间) . 由于 $u\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 所以, $u$ 只是几乎处处定义的. 特别地, 在一个零测集上改变 $u$ 的取值不会改变 $u\in H^s({\mathbb{R}}^n)$. 所以, 我们可以任意地改变 $u$ 在 $\Sigma$ 上的值 (因为 $\Sigma$ 是一个零测集) . 然而, 我们将证明, 当 $s>\frac{1}{2}$ 时, 我们可以把 $u$“限制” 到 $\Sigma$ 上来得到一个落在 $H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^n)$ 的函数. 当然, 我们也可以这么想象这个结果, 当 $s$ 足够大的时候 (大于空间的维数的一半) , 此时, 根据 Sobolev 嵌入定理, $u$ 是连续函数, 自然可以在 $\Sigma$ 上限制.

为了把这个命题说清楚, 我们不妨假设$$\Sigma =\{(x_1,\cdots ,x_{n-1},x_n)|x_n=0\}.$$为了简单起见, 我们用 $x^{\prime }=(x_1,\cdots ,x_{n-1})$ 表示前面 $n-1$ 个坐标; 类似地, 我们可以在频率空间上用 ${\xi }^{\prime }$ 表示 $({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-1})$. 我们首先考虑限制映射$$\mathrm{Res}:\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)⟶\mathcal{S}({\mathbb{R}}^{n-1}),\phi (x^{\prime },x_n)\mapsto \phi (x^{\prime },0).$$当然, 我们需要说明对任意的 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, $\mathrm{Res}(\phi )\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^{n-1})$. 这是明显的, 因为对任意的多重指标 $\alpha$ 和 $\beta$, 我们都有$$\left|x^{\prime \alpha }{\partial }_{x^{\prime }}^{\beta }\phi (x^{\prime },0)\right|⩽\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }\left|x^{\alpha }{\partial }_x^{\beta }\phi (x^{\prime },x_n)\right|⩽N_{|\alpha |+|\beta |}(\phi ).$$通过复合, $$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\mathcal{S}({\mathbb{R}}^{n-1})H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1})\mathrm{Res}\mathrm{Res}\iota$$我们就得到$$\mathrm{Res}:\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)⟶H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1}),\phi (x^{\prime },x_n)\mapsto \phi (x^{\prime },0).$$其中, 我们假设了 $s>\frac{1}{2}$. 如果我们可以证明, 存在 $C>0$, 使得对任意的 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 如下的不等式成立 (连续性) : $$\Vert \mathrm{Res}\left(\phi \right){\Vert }_{H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1})}⩽C\Vert \phi {\Vert }_{H^s({\mathbb{R}}^n)},$$那么, 根据 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 在 $H^s({\mathbb{R}}^n)$ 中的稠密性, $\mathrm{Res}$ 就可以延拓成为连续线性映射: $$\mathrm{Res}:H^s({\mathbb{R}}^n)⟶H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1}).$$这就给出了 $\mathrm{Res}$ 的含义.

定理 72.4. 假设 $n⩾1$ 并且 Sobolev 指标 $s>\frac{1}{2}$. 限制映射$$\mathrm{Res}:\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)⟶H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1})$$可以唯一地延拓成连续线性映射$$\mathrm{Res}:H^s({\mathbb{R}}^n)⟶H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1})$$使得如下的图表是交换的: $$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\mathcal{S}({\mathbb{R}}^{n-1})H^s({\mathbb{R}}^n)H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1})\mathrm{Res}\iota \iota \mathrm{Res}$$特别地, 存在常数 $C>0$, 对任意的 $u\in H^s({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$\Vert \mathrm{Res}(u){\Vert }_{H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1})}⩽C\Vert u{\Vert }_{H^s({\mathbb{R}}^n)}.$$

注记. 习惯上, 对于 $u\in H^s({\mathbb{R}}^n)$, 我们把 $\mathrm{Res}(u)$ 写成 $u(x^{\prime },0)$.

证明. 根据之前的讨论, 我们只要对 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 证明$$\Vert \phi (x^{\prime },0){\Vert }_{H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1})}⩽C\Vert \phi {\Vert }_{H^s({\mathbb{R}}^n)}$$即可, 其中 $C$ 是一个待定的常数 (不依赖于 $\phi$ 的选取) .

我们用 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 表示仅对前面 $n-1$ 个坐标的 Fourier 变换或者表示在 ${\mathbb{R}}^{n-1}$ 上的 Fourier 变换, 用 $\hat{\phi }$ 表示对 $n$ 元函数的 Fourier 变换, 那么, 我们需要控制如下的积分$${\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{\left(1+|{\xi }^{\prime }{|}^2\right)}^{s-\frac{1}{2}}{\left|{\mathcal{F}}^{\prime }(\phi (\cdot ,0))({\xi }^{\prime })\right|}^{2}d{\xi }^{\prime }.$$为此, 我们先用 $n$ 维的 Fourier 变换来表示 ${\mathcal{F}}^{\prime }$: $$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}^{\prime }(\phi (\cdot ,0))({\xi }^{\prime })& ={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}\phi (x^{\prime },0)e^{-i{x}^{\prime }\cdot {\xi }^{\prime }}d{x}^{\prime }\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{\phi }({\xi }^{\prime },{\xi }_n)d{\xi }_n.\end{array}$$所以, $$\begin{array}{rl}{\left|{\mathcal{F}}^{\prime }(\phi (\cdot ,0))({\xi }^{\prime })\right|}^2& ={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^2{\left|{\int }_{\mathbb{R}}\hat{\phi }({\xi }^{\prime },{\xi }_n)d{\xi }_n\right|}^2\\ & ={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^2{\left|{\int }_{\mathbb{R}}\frac{1}{(1+|\xi {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}}\cdot (1+|\xi {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}\hat{\phi }({\xi }^{\prime },{\xi }_n)d{\xi }_n\right|}^2\end{array}$$根据 Cauchy–Schwarz 不等式, 我们得到$$\begin{array}{rl}{\left|{\mathcal{F}}^{\prime }(\phi (\cdot ,0))({\xi }^{\prime })\right|}^2& ⩽{\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^2\left({\int }_{\mathbb{R}}\frac{1}{(1+|\xi {|}^2{)}^s}d{\xi }_n\right)\left({\int }_{\mathbb{R}}(1+|\xi {|}^2{)}^s{\left|\hat{\phi }({\xi }^{\prime },{\xi }_n)\right|}^{2}d{\xi }_n\right).\end{array}$$在上面计算中, $\xi =({\xi }^{\prime },{\xi }_n)$ 中的 ${\xi }^{\prime }$ 是固定的. 从而, $$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}\frac{1}{(1+|\xi {|}^2{)}^s}d{\xi }_n& ={\int }_{\mathbb{R}}\frac{1}{(1+|{\xi }^{\prime }{|}^2+{\xi }_n^2{)}^s}d{\xi }_n\\ & =\frac{1}{(1+|{\xi }^{\prime }{|}^2{)}^{s-\frac{1}{2}}}{\int }_{\mathbb{R}}\frac{1}{{\left(1+{\left(\frac{{\xi }_n}{\sqrt{1+|{\xi }^{\prime }{|}^2}}\right)}^2\right)}^s}\cdot \frac{d{\xi }_n}{\sqrt{1+|{\xi }^{\prime }{|}^2}}\\ & =C_s\frac{1}{(1+|{\xi }^{\prime }{|}^2{)}^{s-\frac{1}{2}}}.\end{array}$$其中, 利用 $s>\frac{1}{2}$, 我们知道右边的积分是有限的, 我们用 $C_s$ 表示积分$$C_s={\int }_{\mathbb{R}}\frac{dy}{(1+y^2{)}^s}.$$综合上述, 我们得到$$\begin{array}{rl}{\left|{\mathcal{F}}^{\prime }(\phi (\cdot ,0))({\xi }^{\prime })\right|}^2& ⩽\frac{C_s}{4{\pi }^2}\frac{1}{(1+|{\xi }^{\prime }{|}^2{)}^{s-\frac{1}{2}}}\left({\int }_{\mathbb{R}}(1+|\xi {|}^2{)}^s{\left|\hat{\phi }({\xi }^{\prime },{\xi }_n)\right|}^{2}d{\xi }_n\right).\end{array}$$据此, 我们得到$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{\left(1+|{\xi }^{\prime }{|}^2\right)}^{s-\frac{1}{2}}{\left|{\mathcal{F}}^{\prime }(\phi (\cdot ,0))({\xi }^{\prime })\right|}^{2}d{\xi }^{\prime }& ⩽\frac{C_s}{4{\pi }^2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(1+|\xi {|}^2{)}^s{\left|\hat{\phi }({\xi }^{\prime },{\xi }_n)\right|}^{2}d{\xi }^{\prime }d{\xi }_n.\end{array}$$这等价于$$\Vert \phi (x^{\prime },0){\Vert }_{H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1})}^2⩽\frac{C_s}{4{\pi }^2}\Vert \phi {\Vert }_{H^s({\mathbb{R}}^n)}^2.$$命题得证.

$\square$

注记. 我们通常说一个 $H^s$ 的函数限制到余 $1$ 维的子流形上会丢失 $\frac{1}{2}$ 个导数.

注记. 上面的证明实际上表明了限制映射$$\mathrm{Res}:H^s({\mathbb{R}}^n)\twoheadrightarrow H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^{n-1})$$是满射.

根据$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}^{\prime }(\phi (\cdot ,0))({\xi }^{\prime })& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{\phi }({\xi }^{\prime },{\xi }_n)d{\xi }_n,\end{array}$$的提示, 对任意的 $u\in H^{s-\frac{1}{2}}({\mathbb{R}}^n)$, 我们构造一个 $U\in H^s({\mathbb{R}}^n)$, 使得$${\mathcal{F}}^{\prime }(u)({\xi }^{\prime })=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{U}({\xi }^{\prime },{\xi }_n)d{\xi }_n.$$实际上, 我们定义$$\hat{U}({\xi }^{\prime },{\xi }_n)=\hat{u}({\xi }^{\prime })\frac{2\pi (1+|{\xi }^{\prime }{|}^2{)}^{\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}}{C_s(1+|\xi {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}}.$$据此, 我们首先有 $U\in H^s({\mathbb{R}}^n)$, 这因为$$\begin{array}{rl}\Vert U{\Vert }_{H^s({\mathbb{R}}^n)}^2& =\frac{4{\pi }^2}{C_s^2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(1+|\xi {|}^2{)}^s{\left|\hat{u}({\xi }^{\prime })\right|}^2\frac{2\pi (1+|{\xi }^{\prime }{|}^2{)}^{2s-1}}{C_s^2(1+|\xi {|}^2{)}^{2s}}d\xi \\ & =\frac{4{\pi }^2}{C_s^2}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{\left|\hat{u}({\xi }^{\prime })\right|}^2(1+|{\xi }^{\prime }{|}^2{)}^{2s-1}{\int }_{\mathbb{R}}\frac{d{\xi }_n}{(1+|\xi {|}^2{)}^s}d{\xi }^{\prime }\\ & =\frac{4{\pi }^2}{C_s}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{\left|\hat{u}({\xi }^{\prime })\right|}^2(1+|{\xi }^{\prime }{|}^2{)}^{s-\frac{1}{2}}d{\xi }^{\prime }\\ & =\frac{4{\pi }^2}{C_s}\Vert u{\Vert }_{H^{n-1}}^2<\infty .\end{array}$$所以, $U\in H^s({\mathbb{R}}^n)$.

现在证明 $U(x^{\prime },0)=u(x^{\prime })$. 实际上, 我们只要说明$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{U}({\xi }^{\prime },{\xi }_n)d{\xi }_n& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{u}({\xi }^{\prime })\frac{2\pi (1+|{\xi }^{\prime }{|}^2{)}^{\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}}{C_s(1+|\xi {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}}d{\xi }_n\\ & =\frac{1}{C_s}\hat{u}({\xi }^{\prime })(1+|{\xi }^{\prime }{|}^2{)}^{\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}{\int }_{\mathbb{R}}\frac{1}{C_s(1+|\xi {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}}d{\xi }_n\\ & =\hat{u}({\xi }^{\prime }).\end{array}$$这就完成了证明.