作业: Lagrange 乘子法, Morse 引理, 横截相交性

A. 课堂相关

A1)	对任意的 $M$ 上的光滑函数 $f$, 任意的 $M$ 上的光滑切向量场 $X$ 和 $Y$, 我们可以定义它们之间的乘法和加法: $$(fX)(p)=f(p)X(p),(X+Y)(p)=X(p)+Y(p).$$证明, $fX$ 和 $X+Y$ 都是 $M$ 上的光滑向量场.
A2)	$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 为凸集, $f$ 和 $g$ 为 $\Omega$ 上的凸函数. 试证明, $$\max (f,g):\Omega \to \mathbb{R},x\mapsto \max (f(x),g(x))$$也是凸函数.
A3)	$I\subset \mathbb{R}$ 是区间, $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是递增的凸函数, $f:\Omega \to I$ 也是凸函数. 试证明, $g\circ f$ 是 $U$ 上的凸函数.
A4*)	假设 $M\subset {\mathbb{R}}^m$, $N\subset {\mathbb{R}}^n$ 是子流形, $f:M\to N$ 是光滑映射. 证明, $d:TM\to TN$ 是子流形之间的光滑映射. (这是一个重要的命题, 如果你搞清楚它的细节, 那么你就搞清楚了整个子流形的理论)
A5)	在 ${\mathbb{R}}^3$ 中考虑方程$$z^3+2z+e^{z-x-y^2}=\cos (x-y+z)$$所定义的集合 $\Sigma$. 证明, 存在开集 $U\subset {\mathbb{R}}^2$ 使得 $0\in U$ 以及函数 $\phi :U\to \mathbb{R}$, 使得 $\Sigma \cap \{(x,y,z)|(x,y)\in U\}$ 是函数 $\phi (x,y)$ 的图像 $\{(x,y,z)|z=\phi (x,y),(x,y)\in U\}$. 进一步计算 $\Sigma \cap \{(x,y,z)|(x,y)\in U\}$ 在 $(0,0,\phi (0,0))$ 处的切空间并计算 $\phi$ 的 Hesse 矩阵.

B. Lagrange 乘子法

B1)	求下列函数的条件极值: 1. $f(x)=xy+yz+xz$, $xyz=1,x,y,z>0$. 2. $f(x)=\sin x\sin y\sin z$, $x+y+z=\pi /2,x,y,z>0$. 3. 二次型 $f(x)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$, 其中 $a_{ij}=a_{ji}$, 求 $f$ 在单位球面 ${\mathbf{S}}^2$ 上的极值.
B2)	求椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的最大体积的内接长方体.
B3)	$f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的非负的连续函数并且如下的反常积分的值为 $1$: $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1.$$假设 $[a,b]$ 是使得 ${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{2}$ 的长度最短的区间. 证明, $$f(a)=f(b).$$
B4)	假定 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$ 和 $a\in {\mathbb{R}}_{>0}$ 是给定的. 考虑 $n$ 元函数$$f(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{k⩽n}{x}_k\log x_k.$$试求其最大值, 其中, 我们要求 $x_1+\cdots +x_n=a$.
B5)	给定 $n$ 个正实数 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$, 它们满足 ${\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n=1$. 利用 Lagrange 乘子法证明: 对任意的正实数 $x_1,\cdots ,x_n$, 我们都有$$\prod _{k=1}^n{x}_k^{{\alpha }_k}⩽\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{x}_k.$$

C. 实对称矩阵的对角化

我们在 ${\mathbb{R}}^n$ 上用坐标 $x_1,\cdots ,x_n$ 并假设它上面配备了标准的 Euclid 内积, 我们令 $e_i=\frac{\partial }{\partial x_i}$, 它们构成了一个单位正交基. 我们用 ${\mathbb{S}}^{n-1}$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的单位球面. 假设 $A=(A_{ij}{)}_{1⩽i,j⩽n}$ 是给定的实对称矩阵. 我们定义函数$$f:{\mathbb{R}}^n-\{0\}\to ,x\mapsto f(x)=\frac{⟨A\cdot x,x⟩}{|x{|}^2}.$$

C1)	证明, ${\mathbf{S}}^{n-1}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个紧的子流形.
C2)	证明, $f$ 的最大值可以在 ${\mathbf{S}}^{n-1}$ 上取到. 我们令 $v_1\in {\mathbf{S}}^{n-1}$ 为这样的一个最大值.
C3)	证明, $df(v_1):{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 可以如下表示: $$df(v_1)(x)=2⟨A\cdot v_1,x⟩-2⟨A\cdot v_1,v_1⟩⟨v_1,x⟩.$$
C4)	我们用 $v_1^{\perp }$ 表示和 $v_1$ 垂直的向量构成的线性子空间. 证明, 对任意的 $x\in v_1^{\perp }$, 我们有 $x\in (A\cdot v_1{)}^{\perp }$.
C5)	证明, $f(v_1)$ 是 $A$ 的特征值并且 $v_1$ 是相应的特征向量.
C6)	证明, $A$ 有 $n$ 个两两正交的 (非零) 特征向量 $v_1,\cdots ,v_n\in {\mathbb{R}}^n$ (提示: 通过约化到 $v_1^{\perp }$ 上对 $n$ 进行归纳)
C7)	证明, 存在正交矩阵 $P$, 使得 $P\cdot A\cdot P^{-1}$ 是对角矩阵.

D. Morse 引理

$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $f\in C^{\infty }(\Omega )$, $\overline{x}\in \Omega$. 如果 $df(\bar{x})=0$, 我们就称 $\bar{x}$ 是 $f$ 的一个临界点. 如果 $\bar{x}$ 是 $f$ 的临界点并且 Hesse 矩阵 ${\nabla }^{2}f(\bar{x})=\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(\bar{x})\right)$ 是可逆的, 我们就称 $\bar{x}$ 是一个非退化的临界点. 在非退化临界点 $\bar{x}$ 附近 $f$ 有 Taylor 展开$$f(x)=f(\bar{x})+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(\bar{x})(x_i-{\bar{x}}_i)(x_j-{\bar{x}}_j)+o(|x-\bar{x}{|}^2).$$这个练习的目的是证明 Morse 引理, 粗略的说, 我们可以换一下坐标系, 使得 Hesse 矩阵是对角的. 引理的精确叙述如下:

设 $f$ 是开集 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 上的光滑函数, $\bar{x}$ 是 $f$ 的非退化临界点. 那么, 存在 $\bar{x}$ 的一个开邻域 $U$, ${\mathbb{R}}^n$ 原点的开邻域 $V$, 以及微分同胚 $\phi :V\to U$ 使得对每个 $(y_1,\cdots ,y_n)\in V$, 都有$$\begin{array}{r}(f\circ \phi )(y)=f(\bar{x})-\sum _{k=1}^m(y_k{)}^2+\sum _{k=m+1}^n(y_k{)}^2,\end{array}$$其中整数 $m$ 称为临界点 $\bar{x}$ 的指标.

D1)	(Hadamard 引理)$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是凸的开集, $0\in \Omega$, 函数 $f\in C^{\infty }(\Omega )$ 且 $f(0)=0$. 证明, 存在光滑函数 $g_i\in C^{\infty }(\Omega )$, 使得对任意的 $(x_1,\cdots ,x_n)\in \Omega$, 都有$$f(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i{g}_i(x_1,\cdots ,x_n)$$并且 $g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$. (提示: 在射线 $t\mapsto (t{x}_1,\cdots ,t{x}_n)$ 上对 $f$ 用 Newton-Leibniz 法则)
D2)	(条件同上) 如果 $f(0)=0$ 并且 $0$ 是 $f$ 的非退化临界点, 证明, 存在 $0$ 的开邻域 $U\subset \Omega$ 以及 $U$ 上 $n^2$ 个光滑函数 $h_{ij}$ ($1⩽i,j⩽n$) , 它们满足 ∘ 对任意的指标 $i$ 和 $j$, $h_{ij}=h_{ji}$; ∘ 对任意的 $(x_1,\cdots ,x_n)\in U$, 矩阵 $(h_{ij}(x_1,\cdots ,x_n))$ 是可逆的; ∘ 对任意的 $(x_1,\cdots ,x_n)\in U$, 有$$f(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{i,j=1}^n{x}_i{x}_j{h}_{ij}(x_1,\cdots ,x_n).$$
D3)	证明, 存在 $0$ 的邻域 $U_1\subset U$ 和 $V_1$ (它的坐标用 $u_1,\cdots ,u_n$) , 微分同胚 ${\phi }_1:V_1\to U_1$, 光滑函数 $H_{ij}$ ($2⩽i,j⩽n$) , 使得$$(f\cdot {\varphi }_1)(u)=c_1(u_1{)}^2+\sum _{i,j=2}^n{u}_i{u}_j{H}_{ij}(u),u=(u_1,\cdots ,u_n)\in U_1.$$其中常数 $c_1=1$ 或者 $-1$ 并且 $H_{ij}=H_{ji}$.
D4)	(用归纳法) 对于 $r⩽n-1$, 证明, 存在 $0$ 的邻域 $U_r\subset U$ 和 $V_r$ (它的坐标用 $u_1,\cdots ,u_n$) , 微分同胚 ${\phi }_r:V_r\to U_r$, 光滑函数 $H_{ij}$ ($r+1⩽i,j⩽n$) , 使得$$(f\cdot {\varphi }_r)(u)=\sum _{k=1}^r{c}_k(u_k{)}^2+\sum _{i,j=r+1}^n{u}_i{u}_j{H}_{ij}(u),u=(u_1,\cdots ,u_n)\in U_r,$$其中 $c_i\in \{\pm 1\}$ 是常数并且 $H_{ij}=H_{ji}$. (这就证明了 Morse 引理)
D5)	(非退化临界点是孤立的) 证明, 如果 $\bar{x}$ 是 $f$ 的非退化临界点, 那么存在 $\bar{x}$ 的开邻域 $U$, 使得 $\bar{x}$ 是 $f$ 在 $U$ 上唯一的临界点.
D6)	$\bar{x}$ 是 $f$ 的非退化临界点. 证明, 指标 $m$ 与局部坐标 $\phi$ 的选取无关并且等于 ${\nabla }^{2}f(\bar{x})$ 的负特征值的个数 (按重数计算). (我们注意到, Hesse 矩阵本身是依赖于坐标选取的)

T. 横截相交性 (transversality) (选做)

假设 $M_1,M_2\subset M\subset {\mathbb{R}}^n$ 均为是微分子流形, 如果对所有的 $p\in M_1\cap M_2$, 我们都有$$T_p{M}_1+T_p{M}_2=T_{p}M,$$我们就称 $M_1$ 与 $M_2$ (作为 $M$ 的子流形) 横截相交 (特别地, 如果 $M_1\cap M_2=\varnothing$, 它们也是横截相交) , 记作 $M_1⋔M_2$. 我们的目标是证明, 如果 $M_1⋔M_2$, 那么 $M_1\cap M_2$ 是 $M$ 的子流形.

T1)	试找出微分子流形 $M_1,M_2\subset {\mathbb{R}}^n$, 使得 $M_1\cap M_2$ 不是子流形.
T2)	假设 $L_1,L_2$ 是 $V={\mathbb{R}}^n$ 的线性子空间并且 $L_1+L_2=V$. 证明, $L_1\cap L_2$ 是 $V$ 的线性子空间并且$$\mathrm{codim}{L}_1\cap L_2=\mathrm{codim}{L}_1+\mathrm{codim}{L}_2.$$
T3)	$C_1,C_2\subset {\mathbb{R}}^2$ 是光滑曲线. 证明, $C_1⋔C_2$ 的充要条件是 $C_1,C_2$ 在它们的所有交点上都不相切 (即它们在相交处的切空间不同) .
T4)	$C_1,C_2\subset {\mathbb{R}}^3$ 是光滑曲线. 证明, $C_1⋔C_2$ 的充要条件是 $C_1\cap C_2=\varnothing$.
T5)	横截相交性的概念可以延拓到映射: 假设 $M\subset {\mathbb{R}}^m$ 和 $N\subset {\mathbb{R}}^n$ 是微分子流形, $f:N\to M$ 是光滑映射, $S\subset M$ 是子流形. 如果对所有的 $p\in f^{-1}(S)$, 都有$$df(T_{p}N)+T_{f(p)}S=T_{f(p)}M,$$我们称光滑映射 $f$ 与 $S$ 是横截相交的并记作 $f⋔S$. 微分子流形 $M_1,M_2\subset M$, 我们用 $i_1:M_1\subset M$ 表示包含映射. 证明, $M_1⋔M_2$ 等价于 $i_1⋔M_2$ .
T6*)	证明, 如果 $M_1,M_2\subset M\subset {\mathbb{R}}^n$ 是子流形并且横截相交, 那么 $M_1\cap M_2$ 是 $M$ 的子流形并且$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{M}_1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{M}_2=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{M}_1\cap M_2.$$(提示: 在局部上用函数的零点集来定义子流形)
T7*)	$M\subset {\mathbb{R}}^m$ 和 $N\subset {\mathbb{R}}^n$ 是微分子流形, $S\subset M$ 是子流形, $f:N\to M$ 是光滑映射并且 $f⋔S$. 证明, $f^{-1}(S)$ 是 $N$ 的子流形并且$$\dim N-\dim f^{-1}(S)=\dim M-\dim S.$$(提示: 如果局部上 $S=g^{-1}(0)$, 其中 $g:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^{m-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}S}$, 那么 $f^{-1}(S)=(g\circ f{)}^{-1}(0)$)
T8)	如果微分子流形 $M_1,M_2\subset M$ 横截相交, 那么$$T_p(M_1\cap M_2)=T_p{M}_1\cap T_p{M}_2.$$
T9)	如果 $N$ 是紧的, $f⋔S$, 证明: 对于任意的光滑映射$$F:N\times [0,1]\to M,$$满足 $F(x,0)=f(x)$ ($F$ 称为 $f$ 的一个光滑同伦), 存在 $\epsilon >0$, 使得对任意的 $t\in [0,\epsilon )$, 都有 $f_t⋔S$, 其中 $f_t(x)=F(x,t)$. (这说明横截性在小形变下是稳定的)
T10)	证明: 设 $f:[0,1]\to {\mathbb{R}}^3$ 是不自相交的光滑曲线, $S\subset {\mathbb{R}}^3$ 是光滑曲面. 证明, 对于 $\epsilon >0$, 存在 $f$ 的光滑同伦 $f_t$, 使得 ∘ $f_1⋔S$; ∘ $\underset{t,x\in [0,1]}{\sup }|f_t(x)-f(x)|<\epsilon$.

寄语. Analytical geometry has never existed. There are only people who do linear algebra badly, by taking coordinates and this they call analytical geometry.

—— Jean Dieudonné