习题课: 球极投影

隐函数定理的习题

第三次作业 B3)

 假设 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是光滑映射, $0$ 是 $f$ 的不动点, 即 $f(0)=0$. 假设 $1$ 不是 $f$ 在 $0$ 处的微分$$df(0):\underset{{\mathbb{R}}^n}{\underbrace{T_0{\mathbb{R}}^n}}⟶\underset{{\mathbb{R}}^n}{\underbrace{T_0{\mathbb{R}}^n}}$$的特征值.

•	证明, $0$ 是一个孤立的不动点, 即存在开集 $U$, 使得 $0\in U$, $f$ 在 $U$ 有且仅有 $0$ 为其不动点.
•	任意给定 $g\in C^1({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n)$. 对任意的 $\lambda \in \mathbb{R}$, 我们定义映射$$f_{\lambda }:{\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^n,x\mapsto f(x)+\lambda g(x),$$证明, 存在 $\epsilon >0$, 存在 $0$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 的开邻域 $V$ 以及 $C^1$ 的映射$$\omega :(-\epsilon ,\epsilon )\to V,\lambda \mapsto \omega (\lambda ),$$使得对任意的 $\lambda \in (-\epsilon ,\epsilon )$, $f_{\lambda }$ 在 $V$ 中恰好有一个不动点 $\omega (\lambda )$.

第三次作业 D2)

  (根对系数的光滑依赖性) 考虑实系数多项式 $P(X)=X^n+c_1{X}^{n-1}+\cdots +c_n$. 如果对 $(c_1^{\ast },\cdots ,c_n^{\ast })\in {\mathbb{R}}^n$, $P(X)$ 恰好有 $n$ 个两两不同的实根 $z_1(c_1^{\ast },\cdots ,c_n^{\ast })<\cdots <z_n(c_1^{\ast },\cdots ,c_n^{\ast })$. 证明, 存在 $(c_1^{\ast },\cdots ,c_n^{\ast })\in {\mathbb{R}}^n$ 的开邻域 $\Omega$ 和 $\Omega$ 上的光滑函数 $z_1,\cdots ,z_n$, 使得对任意的 $(c_1,\cdots ,c_n)\in \Omega$, 我们有$$z_1(c_1,\cdots ,c_n)<z_2(c_1,\cdots ,c_n)<\cdots <z_n(c_1,\cdots ,c_n)$$并且$$P(z_1(c_1,\cdots ,c_n))=P(z_2(c_1,\cdots ,c_n))=\cdots =P(z_n(c_1,\cdots ,c_n))=0.$$

子流形

子流形的切空间的线性结构 (参考第六课讲义的脚注)

假设 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ 是子流形, 我们想要说明 $T_{p}M$ 是线性空间. 根据定义, 存在开集 $U\subset {\mathbb{R}}^n$, $p\in U$, 存在开集 $V\subset {\mathbb{R}}^n$ 以及微分同胚, 使得 $\Phi :U\to V$ 是微分同胚. 所以, 我们有$$\Phi :M\cap U\to V\cap {\mathbb{R}}^d\times \{0\}.$$对于 $V\cap {\mathbb{R}}^d\times \{0\}\subset {\mathbb{R}}^n$ 这种情况, 我们课上已经计算了 $f(p)$ 处的切空间, 这是一个 $T_{f(p)}{\mathbb{R}}^n$ 的 $d$ 维线性子空间. 另外, 根据切空间的微分不变性, 我们有$${\mathbb{R}}^d\times \{0\}=T_{\Phi (p)}(V\cap {\mathbb{R}}^d\times \{0\})=T_{\Phi (p)}\Phi (U\cap M)=d\Phi {|}_{x=p}(T_{p}M).$$由于 $d\Phi (p):T_p{\mathbb{R}}^n\to T_p{\mathbb{R}}^n$ 是线性同构, 所以, $T_{p}M$ 作为一个线性子空间的逆像还是线性子空间.

你是否能说明, $T_{p}M$ 作为线性空间结构不依赖于开集 $U\subset {\mathbb{R}}^n$, $p\in U$, 开集 $V\subset {\mathbb{R}}^n$ 以及微分同胚 $\Phi :U\to V$ 的选取?

球极投影 (未完待续)

我们考虑 ${\mathbb{R}}^3$ (用坐标 $(x,y,z)$) 中的单位球面 ${\mathbf{S}}^2$, 令 $N=(0,0,1)$ 为其北极, $S=(0,0,-1)$ 为其南极. 我们知道, $T_S{\mathbf{S}}^2$ 就是平面 $z=-1$, 我们用 $\Sigma$ 来表示这个平面. 对任意的 $p\in {\mathbf{S}}^2$, $p\ne N$, 我们考虑从 $N$ 到 $p$ 的连线, 它与 $\Sigma$ 恰好相交于一个点 $\pi (p)$. 于是, 我们有映射$$\pi :{\mathbf{S}}^2-\{N\}\to \Sigma ,p\mapsto \pi (p).$$这个映射被称作是从北极到南极切平面的球极投影.

•	证明, ${\mathbb{R}}^3$ 中的任意的平面 (由某个线性函数 $ax+by+cz-d$ 的零点定义) 与 ${\mathbf{S}}^2$ 的交是圆 (如果非空的话, 半径可以是 $0$) . 我们称它们为球面上的圆.
•	证明, $\pi$ 是子流形之间的光滑映射并且给出了 ${\mathbf{S}}^2-\{N\}$ 与 $\Sigma$ 之间的微分同胚.
•	证明, 对任意的 $p\in {\mathbf{S}}^2-\{N\}$, 试计算微分 $d\pi (p):T_p{\mathbf{S}}^2\to \Sigma$.
•	证明, 这个映射是所谓的共形映射, 即它保持角度: 对于任意的 $v,w\in T_p{\mathbf{S}}^2$, 我们有 (用 ${\mathbb{R}}^3$ 中的内积) $$\frac{⟨d\pi (p)(v),d\pi (p)(w)⟩}{|d\pi (p)(v)||d\pi (p)(w)|}=\frac{⟨v,w⟩}{|v||w|}.$$
•	$\pi$ 把 ${\mathbf{S}}^2$ 上不过北极的圆映成圆, 把过北极的圆映射成直线并且 $\Sigma$ 上的每个圆和直线都可以这么得到.
•	如果把 $\Sigma$ 换成其他点 $q$ 处的切空间, 上面的结论是否成立?