作业: Stokes 定理的应用

课堂补充

A1)	证明向量场的导数公式: 假设 $X,Y$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的光滑向量场, $\phi$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上实值光滑函数, 那么, $$\begin{array}{rl}& \nabla \times (\nabla \phi )=0,\nabla \cdot (\nabla \times X)=0,△\phi =\nabla \cdot (\nabla \phi ),\\ & \nabla \times (\phi X)=\phi (\nabla \times X)+\nabla \phi \times X,\\ & \nabla \cdot (X\times Y)=(\nabla \times X)\cdot Y-(\nabla \times Y)\cdot X,\\ & \nabla \times (X\times Y)=X(\nabla \cdot Y)-Y(\nabla \cdot X)+(Y\cdot \nabla )X-(X\cdot \nabla )Y.\end{array}$$
A2)	(三维梯度、散度的几何定义) 假设 $X,Y$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的光滑向量场, $\phi$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的光滑实值函数, $B_{\epsilon }(x)$ 为以 $x\in {\mathbb{R}}^3$ 为球心以 $\epsilon >0$ 为半径的球. 1. 证明, $$\nabla \phi (x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{m(B_{\epsilon }(x))}{\int }_{\partial B_{\epsilon }(x)}\phi \cdot \nu d\sigma .$$ 2. 证明, $$\mathrm{div}(X)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{m(B_{\epsilon }(x))}{\int }_{\partial B_{\epsilon }(x)}X\cdot \nu d\sigma .$$
A3)	(二维旋度的几何定义) $D_{\epsilon }(x)$ 表示以 $x\in {\mathbb{R}}^2$ 为圆心以 $\epsilon >0$ 为半径的圆盘, 我们用 $\nu$ 表示其边界的单位法向量场. 证明, $$\begin{array}{r}\mathrm{curl}(X)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\sigma (D_{\epsilon })}{\oint }_{\gamma }X\cdot d\gamma \end{array}$$
A4)	令 $\Omega$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中的有界光滑带边区域, ]$\nu$ 为 $\partial \Sigma$ 的单位外法向量. 对于任意的 ${\mathbb{R}}^3$ 中的光滑函数 $f$, 证明, $${\int }_{\Omega }△fdxdydz={\int }_{\partial \Omega }{\nabla }_{\nu }fd\sigma .$$

Stokes 公式相关问题

B1)	(物理问题中, 根据定义, 我们写下一切都有定义) 假设一个粒子 $P$ 从 $A$ 点运动到 $B$ 点, 它的的运动轨迹 (${\mathbb{R}}^n$ 中) 由参数曲线$$\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$$给出, 其中 $\gamma (a)=A$, $\gamma (b)=B$. 粒子受到的力由向量场 $F(\gamma (t))$ 给出, 那么我们定义粒子 $P$ 在路径 $\gamma$ 上做的功由第二型曲线积分$${\int }_{\gamma }F\cdot d\gamma$$给出. 1. 证明, 做功与路径保定向的参数化无关, 即若$$\tau :[a,b]\to [\tau (a),\tau (b)]$$是光滑函数并且对任意的 $t\in [a,b]$, 都有 ${\tau }^{\prime }(t)>0$, 那么$$\begin{array}{r}{\int }_{\gamma }F\cdot d\gamma ={\int }_{\tilde{\gamma }}F\cdot d\tilde{\gamma }\left(={\int }_{\tau (a)}^{\tau (b)}F(\tilde{\gamma }(\tau ))\cdot \frac{d\tilde{\gamma }}{d\tau }d\tau \right)\end{array}$$其中$$\tilde{\gamma }=\gamma \circ {\tau }^{-1}:[\tau (a),\tau (b)]\to {\mathbb{R}}^n.$$ 2. 假设 $n=2$, 我们给定 ${\mathbb{R}}^2-\{(0,0)\}$ 上一个力场$$F(x,y)=(-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}).$$试计算 $F$ 分别沿路径 ${\gamma }_1$ 和 ${\gamma }_2$ 所做的功, 其中$$\begin{array}{rl}& {\gamma }_1:[0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^2-\{(0,0)\},t\mapsto (\cos t,\sin t),\\ & {\gamma }_2:[0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^2-\{(0,0)\},t\mapsto (2+\cos t,\sin t).\end{array}$$ 3. 假设$$f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$$是光滑函数, 对于 $x\in {\mathbb{R}}^3$, 我们定义 ${\mathbb{R}}^3-\{(0,0,0)\}$ 上的一个有心力场: $$F:{\mathbb{R}}^3-\{(0,0,0)\}\to \mathbb{R},x\mapsto f(|x|)x.$$任意给定光滑曲线$$\gamma :[0,1]\to {\mathbb{R}}^3-\{(0,0,0)\}$$试计算 $F$ 沿 $\gamma$ 做的功.
B2)	$F$ 是区域 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 上的光滑向量场 (力场) , 如果存在函数 $P\in C^{\infty }(U)$ , 使得 $F=-\nabla P$, 我们就称 $F$ 是保守的并把 $P$ 称为 $F$ 的势函数. 1. 证明, 保守力做的功只依赖于路径的起点和终点而与路径的选取无关, 即若 $F=-\nabla P$, 并且 ${\gamma }_i:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ 和 ${\gamma }_2:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ 是光滑曲线, 满足 ${\gamma }_1(a)={\gamma }_2(a),{\gamma }_1(b)={\gamma }_2(b)$, 那么$$\begin{array}{r}{\int }_{{\gamma }_1}F\cdot d{\gamma }_1={\int }_{{\gamma }_2}F\cdot d{\gamma }_2.\end{array}$$ 2. 证明, 如果 $F=-\nabla P$ 是保守力, 质点的运动满足 Newton 第二定律$$m\ddot{x}(t)=F(x(t)),$$其中, $\ddot{x}$ 代表两次导数, $m$ 是常数, 代表粒子的质量, 那么质点运动满足能量守恒, 即动能与势能之和为常数: $$\begin{array}{r}E(t)=\frac{1}{2}m|\dot{x}{|}^2+\Phi (x(t))=E(t_0).\end{array}$$ 3. 如果 $X$ 是保守的, 那么 $X$ 是无旋的, 即其旋度 $\nabla \wedge X=0$. 4. (重要) 给定 ${\mathbb{R}}^n$ 上的光滑向量场 $F$. 如果沿任意的光滑不自交的闭曲线$$\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$$(不自交指的是 $\gamma$ 是单射, 闭指的是 $\gamma (a)=\gamma (b)$) 上的环量$${\oint }_{\gamma }F\cdot d\gamma =0,$$证明, 那么 $F$ 是保守的.
B3)	$\Omega \subset {\mathbb{R}}^2$ 是有界光滑带边区域, 它的边界 $\gamma =\partial \Omega$ 是光滑的闭曲线, $\nu$ 是 $\gamma$ 的单位外法向量. 1. 证明, 对任意常值向量 $v\in {\mathbb{R}}^2$, 我们有$${\int }_{\gamma }⟨v,\nu ⟩d\sigma =0$$ 2. 试计算积分$${\int }_{\gamma }x{\nu }_1+y{\nu }_{2}d\sigma$$其中 $\nu =({\nu }_1,{\nu }_2)$.
B4)	1. 假设空间 ${\mathbb{R}}^3$ 有 $N$ 个点电荷, 它们的位置和电量分别为 $x_i\in {\mathbb{R}}^3$ 和 $q_i\in \mathbb{R}$, 其中 $i=1,\cdots ,N$. 根据 Coulomb 定律, 它们在 $x\in {\mathbb{R}}^3$ 处产生的电场 (向量场) 为$$E(x)=\sum _{i=1}^N\frac{q_i}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{x-x_i}{|x-x_i{|}^3},$$其中 ${\epsilon }_0>0$ 是介电常数. 试证明 Gauss 定律: $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 是有界光滑带边区域, 那么$$\begin{array}{r}\iint E\cdot d\vec{\sigma }=\frac{Q}{{\epsilon }_0},\end{array}$$其中 $Q=\sum _{i=1}^N{q}_i$ 是 $\Omega$ 内的总电荷并且我们假设对任意的 $i$, $x_i\in \mathring{\Omega }$. 2. 假设 $\rho \in C^{\infty }({\mathbb{R}}^3,\mathbb{R})$ 是电荷密度函数, 根据 Coulomb 定律, 它在 $x\in {\mathbb{R}}^3$ 处产生的电场 (向量场) 为 (如果可积的话) $$E(x)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{\rho (y)(x-y)}{|x-y{|}^3}dy.$$ 试证明 Gauss 定律: 如果 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 是有界光滑带边区域, $\mathrm{supp}\rho \in \mathring{\Omega }$, 那么$$\begin{array}{r}\iint E\cdot d\vec{\sigma }=\frac{Q}{{\epsilon }_0},\end{array}$$其中 $Q={\int }_{\Omega }\rho (x)dx$ 是 $\Omega$ 内的总电荷. 3. 证明, 如果电荷密度函数 $\rho \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^3)$ 是具有紧支集的光滑函数, 那么静电场$$E(x)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{\rho (y)(x-y)}{|x-y{|}^3}dy$$是无旋的, 即 $\nabla \times E=0$.
B5)	1. (只用区域边界的信息来计算区域的面积) 假设光滑闭曲线$$\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^2,t\mapsto (x(t),y(t))$$是有界光滑带边区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^2$ 的边界. 证明, $\Omega$ 的面积有如下表达式: $$\begin{array}{r}m(\Omega )=\frac{1}{2}{\int }_a^b\left|\det \left(\begin{array}{cc}x& y\\ x^{\prime }(t)& y^{\prime }(t)\end{array}\right)\right|dt\end{array}$$ 2. 计算下列曲线围成的面积$$\begin{array}{rl}& (1)\text{星形线}(a{\cos }^{3}t,a{\sin }^{3}t),t\in [0,2\pi ];\\ & (2)\text{双纽线}(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2)(\text{提示:令}y=x\tan \phi );\\ & (3){\left(\frac{x}{a}\right)}^{2n+1}+{\left(\frac{y}{b}\right)}^{2n+1}=c{\left(\frac{x}{a}\right)}^n{\left(\frac{y}{b}\right)}^n,\text{其中}a,b,c>0,n\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}.\end{array}$$ 3. 求环面 $((b+a\cos \theta )\cos \phi ,(b+a\cos \theta )\sin \phi ,a\sin \theta )$ 所围成区域的体积, 其中 $0<a⩽b$ 是给定的, 参数 $\theta ,\phi \in [0,2\pi ]$.

位势方程的基本解

我们研究 ${\mathbb{R}}^3$ 位势方程. 我用 $x\in {\mathbb{R}}^3$ 表示空间中的一个点, 令 $r=|x|$, ${\mathbf{S}}^2$ 表示 ${\mathbb{R}}^3$ 中的单位球面, $d\sigma$ 为 ${\mathbf{S}}^2$ 上的子流形测度.

C1)	证明, 如果 $\phi (x)$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上光滑的有紧支集的函数, 那么$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\phi (x)dx={\int }_0^{+\infty }{r}^2({\int }_{{\mathbf{S}}^2}\phi (r\vartheta )d\sigma )dr.$$其中, 我们用 $\vartheta \in {\mathbf{S}}^2$ 来表示 ${\mathbf{S}}^2$ 上的一个点 ($\vartheta$ 是单位长的向量, 所以 $r\vartheta$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个点) .
C2)	我们定义 ${\mathbb{R}}^3$ 上的函数$$E(x)=-\frac{1}{4\pi |x|},$$其中在原点处, 我们可以任意定义 $E(0)$ (比如说等于零. 在后面的运算中, 一个零测集的值将不会对问题有影响) . 证明, 对任意的 $R>0$, $E$ 在 $B(R)$ 上是 Lebesgue 可积的, 其中 $B(R)$ 是以原点为中心以 $R$ 为半径的球.
C3)	对任意的有界的并且在 ${\mathbb{R}}^3$ 上 Lebesgue 可积函数 $f$, 证明, 对任意的 $x_0\in {\mathbb{R}}^3$, $\frac{f(y)}{|x_0-y|}$ 对于 $dy$ 是可积函数. 从而, 我们可以定义函数$${\Phi }_f(x)=-\frac{1}{4\pi }{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{f(y)}{|x-y|}dy.$$证明, $$\underset{|x|\to \infty }{\lim }{\Phi }_f(x)=0.$$
C4)	对任意的有界的并且在 ${\mathbb{R}}^3$ 上 Lebesgue 可积函数 $f$, 证明, ${\Phi }_f(x)$ 是连续函数并且$$\underset{|x|\to \infty }{\lim }{\Phi }_f(x)=0.$$
C5*)	对任意 ${\mathbb{R}}^3$ 上 Lebesgue 可积函数 $f$, 证明, 除掉 ${\mathbb{R}}^3$ 上的一个零测集, ${\Phi }_f(x)$ 是良好定义的. (提示: 去证明 ${\Phi }_f(x)$ 在每个 $B(R)$ 上都可积)
C6**)	证明, 对任意的光滑的有紧支集的函数 $\phi (x,y,z)$, 我们有$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}E(x)△\phi (x)dx=\phi (0).$$(提示: 将 ${\mathbb{R}}^3$ 分为 $B(\epsilon )$ 和 ${\mathbb{R}}^3-B(\epsilon )$ 两个区域来考虑)
C7)	假设 $f\in C^2({\mathbb{R}}^3)$ 并且 $f$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 上 Lebesgue 可积. 证明, ${\Phi }_f(x)\in C^2({\mathbb{R}}^3)$ 并且$$△{\Phi }_f(x)=f.$$
C8***)	证明, 如果 $f$ 是 Lebesgue 可积的, 那么存在一个仅依赖于 $f$ 的常数 $C$, 使得对任意的 $\lambda >0$, 我们有$$m(x\in {\mathbb{R}}^3||{\Phi }_f(x)|>\lambda )⩽\frac{C}{{\lambda }^3}.$$

寄语. Les mathématiciens n’étudient pas des objets, mais des relations entre les objets.

(数学家研究的是数学对象之间的关系而不是对象本身)

——Henri Poincaré