51. L2 与 L∞ 的完备性, 卷积与逼近

多元微积分的应用举例: 偶数维球面上的切向量场

考虑 ${\mathbb{R}}^n$ 中的单位球面$${\mathbf{S}}^{n-1}=\{(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n|x_1^2+\cdots +x_n^2=1\}.$$如果 $n-1=2k-1$ 是偶数, 在点 $(x_1,x_2,\cdots ,x_{2k-1},x_{2k})\in {\mathbf{S}}^{n-1}$ 处, 我们指定向量$$v(x_1,\cdots ,x_{2k})=(-x_2,x_1,\cdots ,-x_{2k},x_{2k-1}).$$这是 ${\mathbf{S}}^{2k-1}$ 的一个单位切向量. 当 $(x_1,x_2,\cdots ,x_{2k-1},x_{2k})\in {\mathbf{S}}^{n-1}$ 变动的时候, 我们就得到了 ${\mathbf{S}}^{2k-1}$ 上的一个处处非零的光滑向量场. 我们现在证明:

定理 51.1. 在 ${\mathbf{S}}^{2k}$ 上不存在处处非零的光滑向量场, 其中 $k⩾1$.

假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是一个有界开集并且 $V$ 是 $\Omega$ 上的一个有界的光滑向量场, 我们假设 $dV$ 是有界的 (把 $V$ 看成映射) . 我们现在定义光滑映射$${\Phi }_t:\Omega \to {\mathbb{R}}^n,x\mapsto x+tV(x).$$它在 $x$ 处的微分为$$d\Phi (x)=\mathbf{Id}+tdV(x).$$所以, 当 $t$ 足够小时, $d\Phi (x)$ 可逆, 从而, ${\Phi }_t$ 是局部微分同胚 (反函数定理) . 另外, 对任意的 $x,y\in \Omega$, 我们有$$\begin{array}{rl}|x-y|& =|{\Phi }_t(x)-{\Phi }_t(y)-t(V(x)-V(y))|\\ & ⩽|{\Phi }_t(x)-{\Phi }_t(y)|+t|V(x)-V(y)|\\ & ⩽|{\Phi }_t(x)-{\Phi }_t(y)|+tM|x-y|.\end{array}$$其中, 我们用了 $dV$ 的有界性, 从而 $|V(x)-V(y)|⩽M|x-y|$. 所以, 当 $t<(2M{)}^{-1}$ 时, 我们有$$|{\Phi }_t(x)-{\Phi }_t(y)|⩾\frac{1}{2}|x-y|.$$这表明 ${\Phi }_t$ 是单射, 所以当 $t$ 足够小的时, 映射$${\Phi }_t:\Omega \to {\Phi }_t(\Omega ),x\mapsto x+tV(x).$$是微分同胚. 特别地, 我们可以用换元积分公式计算 ${\Phi }_t(\Omega )$ 的体积: $$m({\Phi }_t(\Omega ))={\int }_{\Omega }|\det (\mathbf{I}+t\left(\frac{\partial V_i}{\partial x_j}\right)|dx.$$将行列展开, 我们发现, 这是关于 $t$ 的一个次数不超过 $n$ 的多项式.

我们现在用反正法证明这个定理: 如若不然, 我们假设 $X(x)$ 是 ${\mathbf{S}}^{n-1}$ 上的一个处处非零的光滑向量场, 其中 $n-1=2k$. 通过考虑 $\frac{X(x)}{|X(x)|}$ 这个向量场, 我们不妨假设 $V$ 在每个点处都是单位长度的. 令$$\Omega =\{(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n|\frac{1}{2}<x_1^2+\cdots +x_n^2<2\}.$$

那么, $$\Omega =\bigcup _{\frac{1}{2}<r<2}{S}_r=\bigcup _{\frac{1}{2}<r<2}(r{\mathbf{S}}^{n-1}).$$我们定义 $\Omega$ 上的向量场为$$V(x)=|x|X\left(\frac{x}{|x|}\right)$$对任意的 $r$, 我们知道 ${\Phi }_t(S_r)\subset \sqrt{1+t^2}{S}_r$, 所以, 当 $r$ 足够小的时候, ${\Phi }_t$ 将 $\Omega$ 映射成了$${\Phi }_t(\Omega )=\{(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n|\frac{1}{2}t\sqrt{1+t^2}<x_1^2+\cdots +x_n^2<2t\sqrt{1+t^2}\}.$$那么, 根据 Lebesgue 测度在伸缩变换下的性质, 我们有$$m({\Phi }_t(\Omega ))=(1+t^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}m(\Omega )$$这不是 $t$ 的多项式, 矛盾.

函数空间的完备性: 继续

定理 51.2. 对任意的测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$, $L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 是 Hilbert 空间.

证明. 根据之前的引理, 我们只需要证明绝对收敛的级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{f}_i$ 在 $L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 中收敛即可, 其中 $f_i\in L^2(X,\mathcal{A},\mu )$. 仿照 Fischer-Riesz 定理, 我们定义$$S_N(x)=\sum _{i=1}^N{f}_i(x),|S{|}_N(x)=\sum _{i=1}^N|f_i(x)|,$$并令$$F(x)=(\underset{N\to \infty }{\lim }|S{|}_N{)}^2=(\sum _{i=1}^{\infty }|f_i(x)|{)}^2.$$根据 Fubini 定理和 Cauchy-Schwarz 不等式, 我们有$$\begin{array}{rl}{\int }_X|F|& ={\int }_X\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }|f_i(x)||f_j(x)|d\mu (x)\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\int }_X|f_i(x)||f_j(x)|d\mu (x)\\ & ⩽\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }\Vert f_i{\Vert }_{L^2}\Vert f_j{\Vert }_{L^2}\\ & =(\sum _{i=1}^{\infty }\Vert f_i(x){\Vert }_{L^2}{)}^2<\infty .\end{array}$$所以, $F$ 是可积函数 (显然可测) 并且 $A=F^{-1}(+\infty )$ 是零测集. 根据 $F$ 的定义, 当 $x\notin A$ 时, $|S{|}_N(x)$ 收敛到 $\sqrt{F(x)}$, 从而存在 $S(x)$, 使得当 $x\notin A$ 时, 我们有 $\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N(x)=S(x)$, 即$$\sum _{i=1}^{\infty }{f}_i(x)=S(x),x\notin A.$$我们现在选取 $4F(x)$ 作为控制函数: $$|S_N(x)-S(x){|}^2⩽2|S_N(x){|}^2+2|S(x){|}^2⩽4F(x).$$由于 $\underset{N\to \infty }{\lim }|S_N(x)-f(x){|}^2=0$ (几乎处处) , 根据 Lebesgue 控制收敛定理, 我们有$$\underset{N\to \infty }{\lim }{\int }_X|S_N(x)-S(x){|}^{2}d\mu (x)=0.$$这就完成了证明.

$\square$

推论 51.3. 给定 $L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 中的函数序列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$, 我们假设它们在 $L^2$ 范数下收敛到 $f$, 即$$f_i\stackrel{L^2(X,\mathcal{A},\mu )}{⟶}f,i\to \infty .$$那么, 存在子函数序列 $\{f_{i_p}{\}}_{p⩾1}$, 使得对几乎处处的 $x\in X$, 我们都有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{f}_{i_p}(x)=f(x)$$

我们把推论的证明留成作业.

定理 51.4. 对任意的测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$, $L^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )$ 是完备的.

证明. 对于 $L^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )$ 中的 Cauchy 列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$, 我们定义$$A_{ij}=\{x\in X||f_i(x)-f_j(x)|>\Vert f_i-f_j{\Vert }_{L^{\infty }}\}.$$按定义, 这是一个零测集, 所以 $A=\bigcup _{i,j=1}^{\infty }{A}_{ij}$ 是零测集. 对于 $x\notin A$, $\{f_i(x){\}}_{i=1,2,\cdots }$ 为 Cauchy 列: $$|f_i(x)-f_j(x)|⩽\Vert f_i-f_j{\Vert }_{L^{\infty }}\to 0.$$从而, 存在 $f(x)\in \mathbb{C}$, 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)$, 所以函数$$f:X\to \mathbb{C}$$几乎处处有定义. 对任意的 $\epsilon >0$, 存在正整数 $N$, 使得当 $i,j⩾N$ 时, 我们有$$\Vert f_i-f_j{\Vert }_{L^{\infty }}<\epsilon .$$所以, 对任意的 $x\notin A$, 我们有$$|f_i(x)-f_j(x)|⩽\Vert f_i-f_j{\Vert }_{L^{\infty }}<\epsilon .$$令 $j\to \infty$, 所以对任意的 $i⩾N$, 我们都有$$|f_i(x)-f(x)|⩽\epsilon ,x\notin A.$$这表明 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$ 在 $L^{\infty }$ 范数下收敛到 $f$.

$\square$

注记. (重要: 在不同的意义下收敛) 给定一个函数列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$, 在我们谈论它收敛到某个函数 $f$ 时, 一定要事先界定用的哪个范数. 不同的范数可能给出不同的结论, 比如说, 函数列$$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n},& 0⩽x⩽\frac{1}{n},\\ 0,& \frac{1}{n}<x⩽1\end{array}$$它在 $L^2([0,1])$ 上收敛到 $0$, 在 $L^1([0,1])$ 上不收敛.

另外, 如果 $X$ 是有限维赋范线性空间, $X$ 上任意范数定义出的收敛性都是等价的.

我们将在作业中证明上面的论断.

最后, 我们讨论所谓的 (赋范线性空间之间) 连续线性映射.

引理 51.5. 给定赋范线性空间 $(E,\Vert \cdot {\Vert }_E)$, $(F,\Vert \cdot {\Vert }_F)$ 和它们之间的 ($\mathbb{C}$-) 线性映射 $L:E\to F$. 那么, 如下三个论断是等价的:

1)	$L$ 在 $0\in E$ 处连续;
2)	$L$ 是连续的;
3)	$L$ 是有界, 即存在 $C>0$, 对每个 $e\in E$, 我们都有$$\Vert L(e){\Vert }_F⩽C\Vert e{\Vert }_E.$$

证明. 2)$\Rightarrow$1) 是显然; 为了说明 3)$\Rightarrow$ 2), 对任意的 $e\in E$, 以及 $x\in E$, 我们有$$\begin{array}{rl}{d}_F\left((L(x),L(e)\right)& =\Vert L(x)-L(e){\Vert }_F=\Vert L(x-e){\Vert }_F\\ & ⩽C\Vert x-e{\Vert }_E=C\Vert x-e{\Vert }_E=d_E(x,e).\end{array}$$所以, 当 $x\to e$ 时, 我们有 $L(x)\to L(e)$, 从而, $2)$ 成立.

现在证明 1) $\Rightarrow$ 3). 由连续性, 对于 $\epsilon =1$, 存在 $\delta >0$, 当 $\Vert e{\Vert }_E⩽\delta$ 时, 我们有 $\Vert L(e){\Vert }_F<1$. 那么, 对任意的 $e\in E$, 我们有$$\Vert L\left(\frac{\delta e}{\Vert e{\Vert }_E}\right){\Vert }_F⩽1.$$我们选取 $C={\delta }^{-1}$ 即可.

$\square$

注记. 这个命题说的是连续线性映射一定是有界线性映射, 我们之后对这两个名词不加区分.

推论 51.6 (线性映射的延拓). 给定赋范线性空间 $(E,\Vert \cdot {\Vert }_E)$, $(E^{\prime },\Vert \cdot {\Vert }_{E^{\prime }})$ 和 $(F,\Vert \cdot {\Vert }_F)$, 其中 $F$ 完备, $E^{\prime }\subset E$ 为线性子空间且其范数为诱导范数, 即对任意的 $e^{\prime }\in E$, 我们有$$\Vert e^{\prime }{\Vert }_{E^{\prime }}=\Vert e^{\prime }{\Vert }_E.$$假设 $E^{\prime }$ 在 $E$ 中是稠密的. 如果存在连续线性映射 $L^{\prime }:E^{\prime }\to F$, 那么存在唯一的连续线性映射 $L:E\to F$, 使得 $L{|}_{E^{\prime }}=L^{\prime }$.

证明. 唯一性: 对任意的 $e\in E$, 根据稠密性, 我们可以选取 $\{e_i^{\prime }{\}}_{i⩾1}\subset E^{\prime }$, 使得$$\underset{i\to \infty }{\lim }{e}_i^{\prime }=e.$$所以, $$L(e)=\underset{i\to \infty }{\lim }L(e_i^{\prime })=\underset{i\to \infty }{\lim }{L}^{\prime }(e_i^{\prime })$$是被唯一决定的. 反之, 对任意的 $e$, 我们任取 $\{e_i^{\prime }{\}}_{i⩾1}\subset E^{\prime }$, 使得 $\underset{i\to \infty }{\lim }{e}_i^{\prime }=e$, 我们就定义$$L(e):=\underset{i\to \infty }{\lim }{L}^{\prime }(e_i^{\prime })$$为了说明这是良好定义的, 假设 $\{e_i^{\prime \prime }{\}}_{i⩾1}\subset E^{\prime }$, 使得 $\underset{i\to \infty }{\lim }{e}_i^{\prime \prime }=e$, 我们只要说明$$\underset{i\to \infty }{\lim }{L}^{\prime }(e_i^{\prime })=\underset{i\to \infty }{\lim }{L}^{\prime }(e_i^{\prime \prime })$$即可. 这因为$$\Vert L^{\prime }(e_i^{\prime })-L^{\prime }(e_i^{\prime \prime }){\Vert }_F=\Vert L^{\prime }(e_i^{\prime }-e_i^{\prime \prime }){\Vert }_F⩽C\Vert e_i^{\prime }-e_i^{\prime \prime }{\Vert }_E.$$所以, $\underset{i\to \infty }{\lim }\Vert L^{\prime }(e_i^{\prime })-L^{\prime }(e_i^{\prime \prime }){\Vert }_F=0$, 从而, $L$ 是良好定义的. 上面的计算还表明$$\Vert L(e){\Vert }_F=\underset{i\to \infty }{\lim }\Vert L^{\prime }(e_i^{\prime }){\Vert }_F⩽\underset{i\to \infty }{\lim }C\Vert e_i^{\prime }{\Vert }_E=C\Vert e{\Vert }_E.$$这说明 $L$ 是连续线性映射.

$\square$

注记. 这个不起眼的定理是贯穿分析学始终的想法: 研究一个连续函数我们只需要搞清楚它在有理数 (或者其他稠密子集) 上的取值即可. 从此往后, 为了构造赋范线性空间之间的连续线性映射, 我们只需要在稠密的子空间上面构造即可. 我们会证明, 很多函数空间都包含光滑函数作为子空间, 所以, 为了定义好的连续线性算子, 我们只要对光滑函数进行构造即可.

函数的逼近

定理 51.7. 给定测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$, 我们仍然用 $\mathcal{E}(X)$ 表示简单函数所构成的线性空间 (这是阶梯函数的商掉 $\mathcal{N}$ 的商空间) . 那么, $\mathcal{E}(X)$ 是 $L^p(X,\mathcal{A},\mu )$ 的稠密子空间, 其中 $p=1$ 或者 $2$.

注记. 对于 $p=\infty$ 也有类似的结果, 然而, 我们要指出, 此时它依赖于我们对于阶梯函数的定义, 即是否容许测度为 $\infty$ 的集合的示性函数作为简单函数. 这些都是概念上的腾挪, 没有太多的意思, 所以我们忽略掉这个情况.

证明. 首先, 对 $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 来证明这个结论. 任意选取 $f\in L^1(X,\mathcal{A},\mu )$, 我们分情况讨论:

1)	如果 $f$ 是正函数, 那么存在上升的简单函数列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$, 它逐点地收敛到 $f$, 从而$$\Vert f_i-f{\Vert }_{L^1}={\int }_{X}f(x)-f_i(x)d\mu \to 0.$$
2)	如果 $f$ 是实值函数, 我们将它写成正函数的差: $$f=f_{+}-f_{-}.$$我们可以选取简单函数序列 $\{f_{i,+}{\}}_{i⩾1}$ 和 $\{f_{i,-}{\}}_{i⩾1}$, 使得$$\underset{i\to \infty }{\lim }\Vert f_{i,\pm }-f_{\pm }{\Vert }_{L^1}=0.$$从而, $$\underset{i\to \infty }{\lim }\Vert (f_{i,+}-f_{i,-})-f{\Vert }_{L^1}⩽\underset{i\to \infty }{\lim }\Vert f_{i,+}-f_{+}{\Vert }_{L^1}+\underset{i\to \infty }{\lim }\Vert f_{i,-}-f_{-}{\Vert }_{L^1}=0.$$这就给出了 $f$ 的逼近.
3)	如果 $f$ 是复值函数, 我们可以类似地将它写成实部和虚部来逼近.

其次, 我们对 $L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 来证明这个结论. 我们仍然先处理 $f\in L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 是正函数的情形, 此时, 我们知道 $f^2$ 是可积函数, 所以我们选取上升的简单函数列 $\{F_i{\}}_{i⩾1}$, 它逐点地收敛到 $f^2$, 我们令 $f_i=\sqrt{F_i}$. 我们考虑函数序列 $\{|f_i-f{|}^2{\}}_{i⩾1}$, 很明显, 这个序列逐点地收敛到 $0$. 我们可以用 $4|f{|}^2$ 作为控制函数 (因为 $f_i(x)⩽f(x)$) : $$|f_i(x)-f(x){|}^2⩽4|f{|}^2.$$根据 Lebesgue 控制收敛定理, 我们有$${\int }_X|f_i(x)-f(x){|}^{2}d\mu \to 0.$$即$$\underset{i\to \infty }{\lim }\Vert f_i-f{\Vert }_{L^2}=0.$$这就给出了这种情形的证明. 如果 $f$ 是实值函数或者复值函数, 我们把它拆成正函数的和然后利用线性即可.

$\square$

根据积分的定义, 用简单函数来逼近 $L^p$ 中的函数算是理所当然的事情, 我们现在要用光滑函数来逼近 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 中的函数. 为此, 我们要引入所谓的卷积的概念. 之后在不加说明的情况下, 我们都用 Lebesgue 测度.

任意给定 $f,g\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 根据 Fubini 定理, 我们有$${\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}|f(x-y)||g(y)|dxdy=\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f|dx\right)\cdot \left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|g|dx\right)=\Vert f{\Vert }_{L^1}\Vert g{\Vert }_{L^1}.$$这表明函数$$(x,y)\mapsto |f(x-y)||g(y)|$$是 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$ 上的可积函数. 特别地, 利用 Fubini 定理 (正函数版本) 的结论, 对几乎处处的 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 关于 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 的函数$$y\mapsto f(x-y)g(y)$$是可积的, 这里可积是对 $dy$ 而言的, 我们将 $x$ 视作是固定的. 所以, 对几乎处处的 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 函数$$f\ast g:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{C},x\mapsto (f\ast g)(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-y)g(y)dy,$$是良好定义的并且是 Lebesgue 可积的 (对测度 $dx$) , 我们称 $f\ast g$ 是 $f$ 和 $g$ 的卷积.

注记. 还有一种观点来看卷积: 在每个点处用 $g$ 做为权函数, 对 $f$ 进行平均. 比如说 $g(x)=\frac{1}{|B_1|}{1}_{B_1}$, 这是单位球的示性函数并乘了正确的因子, 那么$$f\ast g(x)=\frac{1}{|B_1|}{\int }_{B_1}f(x-y)dy.$$这就是 $f$ 在每个点 $x$ 处以此点为中心以 $1$ 为半径的球内做平均.

另外, Fubini 定理表明$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f\ast g|⩽({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f|dx)({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|g|dy),\Rightarrow \Vert f\ast g{\Vert }_{L^1}⩽\Vert f{\Vert }_{L^1}\Vert g{\Vert }_{L^1}.$$这说明$$L^1({\mathbb{R}}^n)\times L^1({\mathbb{R}}^n)\stackrel{\ast }{⟶}{L}^1({\mathbb{R}}^n).$$这给出了 $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 上面一个新的乘法结构. 这个乘法结构用到了 ${\mathbb{R}}^n$ 上的群结构. 我们将在作业中证明, $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 上卷积没有单位元, 也就是说不存在某个函数 $e\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 使得对任意的 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有 $e\ast f=f$. 我们将在作业中证明这个结论. 我们在下个学期课程的开始能够更好的理解 $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 上卷积没有单位元的原因 (它的单位元生活在更大的空间里) .

我们现在证明, 卷积满足交换律和结合律:

引理 51.8. 假设 $f,g,h\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 那么, 我们有

1)	乘法交换律: 对于几乎处处的 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 都有$$(f\ast g)(x)=(g\ast f)(x).$$(从而这两个函数在 $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 中对应着同一个函数)
2)	乘法结合律: 对于几乎处处的 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 都有$$((f\ast g)\ast h)(x)=(f\ast (g\ast h))(x).$$

证明. 先证明交换律, 根据换元积分公式, 我们有$$\begin{array}{rl}(f\ast g)(x)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-y)g(y)dy\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(z)g(x-z)dy\\ & =(g\ast f)(x).\end{array}$$其中, 我们令 $z=x-y$. 现在证明结合律, 根据 Fubini 定理 (很明显, 取绝对值之后所出现的函数仍然可积) , 我们有$$\begin{array}{rl}((f\ast g)\ast h)(x)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}f((x-z)-y)g(y)dy\right)h(z)dz\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}f(x-z-y)g(y)h(z)dydz\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}f(x-t)g(y)h(t-y)dydt.\end{array}$$其中, 我们做了坐标替换 $t=y+z$. 所以, 再次利用 Fubini 定理, 我们得到$$\begin{array}{rl}((f\ast g)\ast h)(x)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-t)\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(y)h(t-y)dy\right)dt\\ & =f\ast (g\ast h)(x).\end{array}$$这就完成了证明.

$\square$

另外, 对于其它的 $L^p$ 空间, 我们有

引理 51.9. 对于 $p=2$ 或 $\infty$, 我们有$$L^1({\mathbb{R}}^n)\times L^p({\mathbb{R}}^n)\stackrel{\ast }{⟶}{L}^p({\mathbb{R}}^n),$$即若 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, $g\in L^p({\mathbb{R}}^n)$, 那么$$(f\ast g)(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-y)g(y)dy$$在 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 中是良好定义的 (几乎处处) . 特别地, 我们有$$\Vert f\ast g{\Vert }_{L^p}⩽\Vert f{\Vert }_{L^1}\Vert g{\Vert }_{L^p}.$$

证明. 对于 $g\in L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$\begin{array}{rl}|(f\ast g)(x)|& =|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-y)g(y)dy|\\ & ⩽{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(x-y)||g(y)|dy\\ & ⩽\Vert g{\Vert }_{L^{\infty }}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(x-y)|dy\\ & =\Vert f{\Vert }_{L^1}\Vert g{\Vert }_{L^{\infty }}.\end{array}$$所以命题成立.

对于 $g\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们有考虑正函数$$F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}_{⩾0},x\mapsto {\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(x-y)||g(y)|dy.$$根据 Fubini 定理, 我们有$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|F(x){|}^2& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(x-y)||g(y)|dy{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(x-z)||g(z)|dz\right)dx\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^{3n}}|f(x-y)||g(y)||f(x-z)||g(z)|dxdydz\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^{2n}}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(x-y)||f(x-z)|dx\right)|g(y)||g(z)|dydz\\ & ⩽{\int }_{{\mathbb{R}}^{2n}}{\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(x-y){|}^{2}dx\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(x-z){|}^{2}dx\right)}^{\frac{1}{2}}|g(y)||g(z)|dydz\\ & =\Vert f{\Vert }_{L^2}^2{\int }_{{\mathbb{R}}^{2n}}|g(y)||g(z)|dydz\\ & =\Vert f{\Vert }_{L^2}^2{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|g(y)|dy{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|g(z)|dz.\end{array}$$从而, $$\begin{array}{r}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|F(x){|}^2⩽\Vert f{\Vert }_{L^2}^2\Vert g{\Vert }_{L^1}^2.\end{array}$$这表明, $|F(x){|}^2$ 是 $L^1$ 函数, 从而几乎处处有定义, 所以, 函数$$x\mapsto f\ast g(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-y)g(y)dy$$也几乎处处有定义, 上面的不等式自然表明$$\Vert f\ast g{\Vert }_{L^2}^2⩽\Vert f{\Vert }_{L^1}^2\Vert g{\Vert }_{L^2}^2.$$开方之后就证明了命题.

$\square$

我们需要说一下光滑的这个情形是每个点都有定义的.

利用 Lebesgue 控制收敛定义, 我们可以说明与光滑函数做卷积可以提升函数的正则性:

引理 51.10. 我们用 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)=C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 表示所有 ${\mathbb{R}}^n$ 上的光滑并且支集是紧集的函数.

如果 $\phi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, $g\in L^p({\mathbb{R}}^n)$, 其中, $p=1,2$ 或者 $\infty$, 那么 $\phi \ast g\in L^p({\mathbb{R}}^n)\cap C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$.

证明. 给定 $g\in L^p({\mathbb{R}}^n)$, 只需要证明, 对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, $\phi \ast g\in C^1({\mathbb{R}}^n)$ 并且对任意的 $i⩽n$, 我们有$$\frac{\partial (\phi \ast g)}{\partial x_i}={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(x-y)g(y)dy$$即可: 因为我们可以继续用 $\frac{\partial \phi }{\partial x_i}$ 代替 $\phi$ 继续求导数, 从而对任意的多重指标 $\alpha$, 我们有$${\partial }^{\alpha }(\phi \ast g)=({\partial }^{\alpha }\phi )\ast g.$$我们只对 $p=1$ 的情形进行证明, 其它情况留作作业. 由于$$\begin{array}{rl}|\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(x-y)g(y)|& =|\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(x-y)||g(y)|\\ & ⩽M|g(y)|,\end{array}$$其中, 由于 $\frac{\partial \phi }{\partial x_i}$ 也是有紧支集的光滑函数, 所有存在 $M$, 对任意的 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 我们都有 $\left|\frac{\partial \phi }{\partial x_i}\right|⩽M$. 此时, 我们可以用 Lebesgue 控制收敛定理的第二个推论 (对含参数积分的求导公式) 来直接推出上面的结论.

$\square$

注记. 在 $\phi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 这种情形下, 我们知道存在 $A$, 使得对任意的 $x\in {\mathbb{R}}^n$, $|\phi (x)|⩽A$. 所以, $$\phi \ast g(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\phi (x-y)g(y)dy$$在任意一个点 $x$ 处都有的定义, 这是因为 $|\phi (x-y)g(y)|⩽A|g(y)|$ 是可积函数, 我们不需要用 Fubini 定理的结论来说明 $\phi \ast g(x)$ 的存在性了.